高中数学必修五解三角形教案

20162016 届文科人教版数学届文科人教版数学 解三解三 角形角形 姓 名 沈金鹏沈金鹏 院 系 数学学院数学学院 专 业 数学与应用数学数学与应用数学 2015 年 10 月 20 日 数学数学 5 5 第一章第一章 解三角形解三角形 章节总体设计章节总体设计 一 课标要求 一 课标要求 本章的中心内容是如何解三角形 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具 最后落实在解三角形的 应用上 通过本章学习 学生应当达到以下学习目标 1 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理 余弦定理 并能解决一些简单的三 角形度量问题 2 能够熟练运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问 题 二 编写意图与特色 二 编写意图与特色 1 1 数学思想方法的重要性 数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分 有利于学生加深数学知识的理解和掌握 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学 并且在提出问题 思考解决问题的策略等方面对 学生进行具体示范 引导 本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理 它们都是关于三角形的边 角关系的结论 在初中 学生已经学习了相关边角关系的定性的知识 就是 在任意三角形中有大边对 大角 小边对小角 如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等 那么这两个三角形全 等 教科书在引入正弦定理内容时 让学生从已有的几何知识出发 提出探究性问题 在任意三角形 中有大边对大角 小边对小角的边角关系 我们是否能得到这个边 角的关系准确量化的表示呢 在引 入余弦定理内容时 提出探究性问题 如果已知三角形的两条边及其所夹的角 根据三角形全等的判定方 法 这个三角形是大小 形状完全确定的三角形 我们仍然从量化的角度来研究这个问题 也就是研究如 何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题 设置这些问题 都是为了加强数 学思想方法的教学 2 2 注意加强前后知识的联系 注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系 注意复习和应用已学内容 并为后续章节教学内容做好准备 能 使整套教科书成为一个有机整体 提高教学效益 并有利于学生对于数学知识的学习和巩固 本章内容处理三角形中的边角关系 与初中学习的三角形的边与角的基本关系 已知三角形的边和 角相等判定三角形全等的知识有着密切联系 教科书在引入正弦定理内容时 让学生从已有的几何知识 出发 提出探究性问题 在任意三角形中有大边对大角 小边对小角的边角关系 我们是否能得到这个边 角的关系准确量化的表示呢 在引入余弦定理内容时 提出探究性问题 如果已知三角形的两条边及 其所夹的角 根据三角形全等的判定方法 这个三角形是大小 形状完全确定的三角形 我们仍然从量化 的角度来研究这个问题 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的 问题 这样 从联系的观点 从新的角度看过去的问题 使学生对于过去的知识有了新的认识 同时使 新知识建立在已有知识的坚实基础上 形成良好的知识结构 课程标准 和教科书把 解三角形 这部分内容安排在数学五的第一部分内容 位置相对靠后 在此内容之前学生已经学习了三角函数 平面向量 直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容 这 使这部分内容的处理有了比较多的工具 某些内容可以处理得更加简洁 比如对于余弦定理的证明 常 用的方法是借助于三角的方法 需要对于三角形进行讨论 方法不够简洁 教科书则用了向量的方法 发挥了向量方法在解决问题中的威力 在证明了余弦定理及其推论以后 教科书从余弦定理与勾股定理的比较中 提出了一个思考问题 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的 关系 如何看这两个定理之间的关系 并进而指出 从余弦定理以及余弦函数的性质可知 如果一 个三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么第三边所对的角是直角 如果小于第三边的平方 那么 第三边所对的角是钝角 如果大于第三边的平方 那么第三边所对的角是锐角 从上可知 余弦定理是勾 股定理的推广 3 3 重视加强意识和数学实践能力 重视加强意识和数学实践能力 学数学的最终目的是应用数学 而如今比较突出的两个问题是 学生应用数学的意识不强 创造能 力较弱 学生往往不能把实际问题抽象成数学问题 不能把所学的数学知识应用到实际问题中去 对所 学数学知识的实际背景了解不多 虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强 但当面临一 种新的问题时却办法不多 对于诸如观察 分析 归纳 类比 抽象 概括 猜想等发现问题 解决问 题的科学思维方法了解不够 针对这些实际情况 本章重视从实际问题出发 引入数学课题 最后把数 学知识应用于实际问题 三 教学内容及课时安排建议 三 教学内容及课时安排建议 1 1 正弦定理和余弦定理 约 3 课时 1 2 应用举例 约 4 课时 1 3 实习作业 约 1 课时 四 评价建议 四 评价建议 1 要在本章的教学中 应该根据教学实际 启发学生不断提出问题 研究问题 在对于正弦定理和 余弦定理的证明的探究过程中 应该因势利导 根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得 到自己对于定理的证明 如对于正弦定理 可以启发得到有应用向量方法的证明 对于余弦定理则可以 启发得到三角方法和解析的方法 在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中 一个问题 也常常有多种不同的解决方案 应该鼓励学生提出自己的解决办法 并对于不同的方法进行必要的分析 和比较 对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序 得到在实际中可以直接应用的算 法 2 适当安排一些实习作业 目的是让学生进一步巩固所学的知识 提高学生分析问题的解决实际问 题的能力 动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力 增强学生应用数学的意识和 数学实践能力 教师要注意对于学生实习作业的指导 包括对于实际测量问题的选择 及时纠正实际操 作中的错误 解决测量中出现的一些问题 1 1 1 1 1 1 正弦定理正弦定理 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明方法 会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的关系 引导学生通 过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本应用的实践操作 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学生合情推理探索 数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之 间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 教学过程教学过程 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定ABC 的边 CB 及B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 A 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 显然 边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 C B 讲授新课讲授新课 图 1 1 1 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的等式关系 如 图 1 1 2 在 RtABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函数的定义 有 si n a A c 又 Asi n b B c si n1 c C c 则 b c si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 C a B si nsi nsi n abc ABC 图 1 1 2 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数的定义 有 CD 则 Csi nsi naBbA si nsi n ab AB 同理可得 b a si nsi n cb CB 从而 A c B si nsi n ab AB si n c C 图 1 1 3 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 证法二 过点 A 作 CjAC 由向量的加法可得 ABACC B 则 A B jABjACC B jABjACjC B j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC 即sinsin cA aC sinsin ac AC 同理 过点 C 作 可得 jBC sinsin bc BC 从而 si nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为同一正数 即存在正数 k 使 si nakA si nbkB si nckC 2 等价于 si nsi n ab AB si n c C si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 从而知正弦定理的基本作用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 si n si n bA a B 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如 si nsi n a AB b 一般地 已知三角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 例题分析例题分析 例 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精确到 边长精确到 1cm ABC20 a28 b 0 40 A 0 1 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 所以 或 0 0B 0 180 0 64 B 0 116 B 当时 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当时 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 练习练习 已知ABC 中 求 si n si n si n1 2 3ABC a b c 答案 1 2 3 课时小结课时小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式 si nsi n ab AB si n c C 0 si nsi nsi n abc k k ABC 或 si nakA si nbkB si nckC 0 k 2 正弦定理的应用范围 已知两角和任一边 求其它两边及一角 已知两边和其中一边对角 求另一边的对角 1 1 21 1 2 余弦定理余弦定理 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题 过程与方法 过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论 并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 通过三角函数 余弦定 理 向量的数量积等知识间的关系 来理解事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 教学过程教学过程 课题导入课题导入 C 如图 1 1 4 在ABC 中 设 BC a AC b AB c 已知 a b 和C 求边 c b a A c B 图 1 1 4 讲授新课讲授新课 联系已经学过的知识和方法 可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求 发现因 A B 均未知 所以较难求边 c 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研究这个问题 A 如图 1 1 5 设 那么 则 C Ba C A b ABc cab b c C B 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b a 从而 图 1 1 5 222 2coscababC 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考 这个式子中有几个量 从方程的角度看已知其中三个量 可以求出第四个量 能否由三边求出一 角 由学生推出 从余弦定理 又可得到以下推论 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边 已知三角形的三条边就可以求出其它角 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系 余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系 如何看这两个定理之间的关系 由学生总结 若ABC 中 C 则 这时 0 90cos0 C 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例 例题例题 例 1 在ABC 中 已知 求 b 及 A 2 3 a62 c 0 60 B 解 222 2cos bacacB cos 22 2 3 62 2 2 3 62 0 45 2 12 62 4 3 3 1 82 2 b 解法一 cos 222222 2 2 62 2 3 1 22 2 2 2 62 bca A bc 0 60 A 解法二 sin 0 2 3 sinsin45 2 2 a AB b 又 62 2 4 1 4 3 8 2 32 1 8 3 6 即 ac 0 0A 0 90 0 60 A 例 2 在ABC 中 已知 解三角形 134 6 acm87 8 bcm161 7 ccm 见课本第 8 页例 4 可由学生通过阅读进行理解 解 由余弦定理的推论得 cos 222 2 b ca A bc 222 87 8161 7134 6 2 87 8 161 7 0 5543 0 56 20 A cos 222 2 cab B ca 222 134 6161 787 8 2 134 6 161 7 0 8398 0 32 53 B 0000 180 180 56 2032 53 CA B 练习练习 在ABC 中 若 求角 A 答案 A 120 222 abcbc 0 课时小结课时小结 1 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律 勾股定理是余弦定理的特例 2 余弦定理的应用范围 已知三边求三角 已知两边及它们的夹角 求第三边 1 1 1 1 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 三 角形各种类型的判定方法 三角形面积定理的应用 过程与方法 过程与方法 通过引导学生分析 解答三个典型例子 使学生学会综合运用正 余弦定理 三角函数公 式及三角形有关性质求解三角形问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过正 余弦定理 在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能 从而从本质上反映了事物之间的内在联系 教学重点教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 三角形各种类型的判定方法 三角形面积定理的应用 教学难点教学难点 正 余弦定理与三角形的有关性质的综合运用 教学过程教学过程 课题导入 思考 在ABC 中 已知 解三角形 22acm 25bcm 0 133A 从此题的分析我们发现 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 在某些条件下会出现 无解的情形 下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题 讲授新课 例例 1 1 在ABC 中 已知 讨论三角形解的情况 a b A 分析 先由可进一步求出 B si n si n bA B a 则 从而 0 180 CAB si naC c A 1 当 A 为钝角或直角时 必须才能有且只有一解 否则无解 ab 2 当 A 为锐角时 如果 那么只有一解 ab 如果 那么可以分下面三种情况来讨论 ab 1 若 则有两解 si nabA 2 若 则只有一解 si nabA 3 若 则无解 si nabA 以上解答过程详见课本第 910 页 评述 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 只有当 A 为锐角且 时 有两解 其它情况时则只有一解或无解 si nbA ab 练习练习 1 1 1 在ABC 中 已知 试判断此三角形的解的情况 80a 100b 0 45A 2 在ABC 中 若 则符合题意的 b 的值有 个 1a 1 2 c 0 40C 3 在ABC 中 如果利用正弦定理解三角形有两解 求 x 的取值范围 axcm 2bcm 0 45B 答案 1 有两解 2 0 3 22 2x 例例 2 2 在ABC 中 已知 判断ABC 的类型 7a 5b 3c 分析 由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcA ABC 是锐角三角形 注意 是锐角A ABC 是锐角三角形 解 即 222 753 222 abc ABC 是钝角三角形 练习练习 2 2 1 在ABC 中 已知 判断ABC 的类型 si n si n si n1 2 3ABC 2 已知ABC 满足条件 判断ABC 的类型 coscosaA bB 答案 1 2 ABC 是等腰或直角三角形 ABC 是钝角三角形 例例 3 3 在ABC 中 面积为 求的值 0 60A 1b 3 2si nsi nsi n abc ABC 分析 可利用三角形面积定理以及正弦定理 111 si nsi nsi n 222 SabCacBbcA si nsi n ab AB si n c C si nsi nsi n abc ABC 解 由得 13 si n 22 SbcA 2c 则 3 即 从而 222 2cosabcbcA 3a si nsi nsi n abc ABC 2 si n a A 课堂练习课堂练习 1 在ABC 中 若 且此三角形的面积 求角 C 55a 16b 220 3S 2 在ABC 中 其三边分别为 a b c 且三角形的面积 求角 C 222 4 abc S 答案 1 或 2 0 60 0 120 0 45 课时小结课时小结 1 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时 有两解或一解或无解等情形 2 三角形各种类型的判定方法 3 三角形面积定理的应用 课后作业课后作业 1 在ABC 中 已知 试判断此三角形的解的情况 4b 10c 0 30B 2 设 x x 1 x 2 是钝角三角形的三边长 求实数 x 的取值范围 3 在ABC 中 判断ABC 的形状 0 60A 1a 2bc 4 三角形的两边分别为 3cm 5cm 它们所夹的角的余弦为方程的根 2 5760 xx 求这个三角形的面积 1 2 解三角形应用举例一解三角形应用举例一 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题 了解常用 的测量相关术语 过程与方法 过程与方法 首先通过巧妙的设疑 顺利地引导新课 为以后的几节课做良好铺垫 其次结合学生的实 际情况 采用 提出问题 引发思考 探索猜想 总结规律 反馈训练 的教学过程 根据大 纲要求以及教学内容之间的内在关系 铺开例题 设计变式 同时通过多媒体 图形观察等直观演示 帮助学生掌握解法 能够类比解决实际问题 对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论 开放多种思 路 引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观 情感态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣 并体会数学的应用价值 同时培养学生运用图形 数学符 号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 教学重点教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形 然后逐个解决三角形 得到实际问题的解 教学难点教学难点 根据题意建立数学模型 画出示意图 教学过程教学过程 课题导入课题导入 1 1 复习复习 复习提问什么是正弦定理 余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形 2 2 设置情境设置情境 请学生回答完后再提问 前面引言第一章 解三角形 中 我们遇到这么一个问题 遥不可及的月 亮离我们地球究竟有多远呢 在古代 天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离 是什么 神奇的方法探索到这个奥秘的呢 我们知道 对于未知的距离 高度等 存在着许多可供选择的测量方 案 比如可以应用全等三角形 相似三角形的方法 或借助解直角三角形等等不同的方法 但由于在实 际测量问题的真实背景下 某些方法会不能实施 如因为没有足够的空间 不能用全等三角形的方法来 测量 所以 有些方法会有局限性 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的 今天我们开始 学习正弦定理 余弦定理在科学实践中的重要应用 首先研究如何测量距离 讲授新课讲授新课 1 解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意 正确做出图形 把实际问题里的条件和所 求转换成三角形中的已知和未知的边 角 通过建立数学模型来求解 例题讲解例题讲解 2 例 1 如图 设 A B 两点在河的两岸 要测量两点之间的距离 测量者在 A 的同侧 在所在的 河岸边选定一点 C 测出 AC 的距离是 55m BAC ACB 求 A B 两点的距离 精确到 0 1m 51 75 启发提问 1 ABC 中 根据已知的边和对应角 运用哪个定理比较适当 启发提问 2 运用该定理解题还需要那些边和角呢 请学生回答 分析 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边 AB 的对角 AC 为已知边 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角 应用正弦 定理算出 AB 边 解 根据正弦定理 得 ACB AB sinABC AC sin AB 65 7 m ABC ACBAC sin sin ABC ACB sin sin55 7551180sin 75sin55 54sin 75sin55 答 A B 两点间的距离为 65 7 米 变式练习 两灯塔 A B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 灯塔 B 在 观察站 C 南偏东 60 则 A B 之间的距离为多少 老师指导学生画图 建立数学模型 解略 a km2 例例 2 2 如图 A B 两点都在河的对岸 不可到达 设计一种测量 A B 两点间距离的方法 分析 这是例 1 的变式题 研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题 首先需要构造三角形 所 以需要确定 C D 两点 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法 分别 求出 AC 和 BC 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离 解 测量者可以在河岸边选定两点 C D 测得 CD a 并且在 C D 两点分别测得BCA ACD CDB BDA 在ADC 和BDC 中 应用正弦定理得 AC 180sin sin a sin sin a BC 180sin sin a sin sin a 计算出 AC 和 BC 后 再在ABC 中 应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB cos2 22 BCACBCAC 分组讨论 还没有其它的方法呢 师生一起对不同方法进行对比 分析 变式训练 若在河岸选取相距 40 米的 C D 两点 测得BCA 60 ACD 30 CDB 45 BDA 60 略解 将题中各已知量代入例 2 推出的公式 得 AB 206 评注 可见 在研究三角形时 灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案 但有些过程较繁复 如何找到最优的方法 最主要的还是分析两个定理的特点 结合题目条件来选择最佳的计算方式 课时小结课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤 1 分析 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 建模 根据已知条件与求解目标 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解斜三 角形的数学模型 3 求解 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 1 2 解三角形应用举例二解三角形应用举例二 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的 问题 过程与方法 过程与方法 本节课是解三角形应用举例的延伸 采用启发与尝试的方法 让学生在温故知新中学会正 确识图 画图 想图 帮助学生逐步构建知识框架 通过 3 道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三 角形实际问题的一般方法 教学形式要坚持引导 讨论 归纳 目的不在于让学生记住结论 更多的要 养成良好的研究 探索习惯 作业设计思考题 提供学生更广阔的思考空间 情感态度与价值观 情感态度与价值观 进一步培养学生学习数学 应用数学的意识及观察 归纳 类比 概括的能力 教学重点教学重点 结合实际测量工具 解决生活中的测量高度问题 教学难点教学难点 能观察较复杂的图形 从中找到解决问题的关键条件 教学过程教学过程 课题导入课题导入 提问 现实生活中 人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢 又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机 下方山顶的海拔高度呢 今天我们就来共同探讨这方面的问题 讲授新课讲授新课 范例范例 例例 1 1 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物 A 为建筑物的最高点 设计一种测量建筑物高度 AB 的方法 分析 求 AB 长的关键是先求 AE 在ACE 中 如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA 再测出由 C 点观 察 A 的仰角 就可以计算出 AE 的长 解 选择一条水平基线 HG 使 H G B 三点在同一条直线上 由在 H G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分 别是 CD a 测角仪器的高是 h 那么 在ACD 中 根据正弦定理可得 AC sin sin a AB AE h AC h sin h sin sinsin a 例例 2 2 如图 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 54 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 50 0 4 已知铁塔 BC 部分的高为 27 3 m 求出山高 CD 精确到 1 m 1 师 根据已知条件 大家能设计出解题方案吗 给时间给学生讨论思考 若在ABD 中求 CD 则关键需 要求出哪条边呢 生 需求出 BD 边 师 那如何求 BD 边呢 生 可首先求出 AB 边 再根据BAD 求得 解 在ABC 中 BCA 90 ABC 90 BAC BAD 根据正弦定理 sin BC 90sin AB 所以 AB sin 90sin BC sin cos BC 解 RtABD 中 得 BD ABsinBAD sin sincos BC 将测量数据代入上式 得 BD 1500454sin 0454sin150cos 3 27 934sin 0454sin150cos 3 27 177 m CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为 150 米 师 有没有别的解法呢 生 若在ACD 中求 CD 可先求出 AC 师 分析得很好 请大家接着思考如何求出 AC 生 同理 在ABC 中 根据正弦定理求得 解题过程略 例 3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 的方向上 行驶 5km 后到达 B 处 测得此山顶在东偏南 25 的方向上 仰角为 8 求此山的高度 CD 师 欲求出 CD 大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢 生 在BCD 中 师 在BCD 中 已知 BD 或 BC 都可求出 CD 根据条件 易计算出哪条边的长 生 BC 边 解 在ABC 中 A 15 C 25 15 10 根据正弦定理 A BC sinC AB sin BC C AAB sin sin 10sin 15sin5 7 4524 km CD BCtanDBC BCtan8 1047 m 答 山的高度约为 1047 米 课时小结课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时 要学会审题及根据题意画方位图 要懂得从所给的背景资料中进 行加工 抽取主要因素 进行适当的简化 课后作业课后作业 1 为测某塔 AB 的高度 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 测得塔基 B 的 俯角为 45 则塔 AB 的高度为多少 m 答案 20 m 3 320 1 2 解三角形应用举例三解三角形应用举例三 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法 过程与方法 本节课是在学习了相关内容后的第三节课 学生已经对解法有了基本的了解 这节课应通 过综合训练强化学生的相应能力 除了安排课本上的例 1 还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题 强调知识的传授更重能力的渗透 课堂中要充分体现学生的主体地位 重过程 重讨论 教师 通过导疑 导思让学生有效 积极 主动地参与到探究问题的过程中来 逐步让学生自主发现规律 举 一反三 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生提出问题 正确分析问题 独立解决问题的能力 并在教学过程中激发学 生的探索精神 教学重点教学重点 能根据正弦定理 余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 提问 前面我们学习了如何测量距离和高度 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的 问题 然而在实际的航海生活中 人们又会遇到新的问题 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向 保持一定的航速和航向呢 今天我们接着探讨这方面的测量问题 讲授新课讲授新课 范例范例 例例 1 1 如图 一艘海轮从 A 出发 沿北偏东 75的方向航行 67 5 n mile 后到达海岛 B 然后从 B 出发 沿 北偏东 32的方向航行 54 0 n mile 后达到海岛 C 如果下次航行直接从 A 出发到达 C 此船应该沿怎样的 方向航行 需要航行多少距离 角度精确到 0 1 距离精确到 0 01n mile 学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析 首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角ABC 即可用余弦定 理算出 AC 边 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB 解 在ABC 中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 AC ABCBCABBCAB cos2 22 137cos 0 54 5 672 0 54 5 67 22 113 15 根据正弦定理 CAB BC sinABC AC sin sinCAB 0 3255 AC ABCBC sin 15 113 137sin0 54 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东 56 1的方向航行 需要航行 113 15n mile 例例 2 2 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 沿 BE 方向前进 30m 至点 C 处测得顶端 A 的仰角 为 2 再继续前进 10m 至 D 点 测得顶端 A 的仰角为 4 求的大小和建筑物 AE 的高 3 师 请大家根据题意画出方位图 生 上台板演方位图 上图 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法 让学生动手练习 请三位同学用三种不同方法板演 然后教 师补充讲评 解法一 用正弦定理求解 由已知可得在ACD 中 AC BC 30 AD DC 10 ADC 180 4 3 2sin 310 4180sin 30 因为 sin4 2sin2cos2 cos2 得 2 30 15 在 RtADE 中 AE ADsin60 15 2 3 答 所求角为 15 建筑物高度为 15m 解法二 设方程来求解 设 DE x AE h 在 RtACE 中 10 x h 30 3 222 在 RtADE 中 x h 10 两式相减 得 x 5 h 15 22 3 2 3 在 RtACE 中 tan2 2 30 15 x h 310 3 3 答 所求角为 15 建筑物高度为 15m 解法三 用倍角公式求解 设建筑物高为 AE 8 由题意 得 BAC CAD 2 AC BC 30m AD CD 10m3 在 RtACE 中 sin2 30 x 在 RtADE 中 sin4 310 4 得 cos2 2 30 15 AE ADsin60 15 2 3 答 所求角为 15 建筑物高度为 15m 例例 3 3 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船 正沿南偏东 75的方向以 10 海 里 小时的速度向我海岸行驶 巡逻艇立即以 14 海里 小时的速度沿着直线方向追去 问巡逻艇应该沿什 么方向去追 需要多少时间才追赶上该走私船 分析 这道题的关键是计算出三角形的各边 即需要引入时间这个参变量 解 如图 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船 则 CB 10 x AB 14x AC 9 ACB 75 45 120 14x 9 10 x 2910 xcos 222 120 化简得 32x 30 x 27 0 即 x 或 x 舍去 2 2 3 16 9 所以 BC 10 x 15 AB 14x 21 又因为 sinBAC AB BC 120sin 21 15 2 3 14 35 BAC 38 或BAC 141 钝角不合题意 舍去 38 83 3 1 7 4 3 1 453 1 答 巡逻艇应该沿北偏东 83方向去追 经过 1 4 小时才追赶上该走私船 3 1 评注 评注 在求解三角形中 我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 但作为有关现实生活的应用题 必 须检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题的解 课时小结课时小结 解三角形的应用题时 通常会遇到两种情况 1 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 依次 利用正弦定理或余弦定理解之 2 已知量与未知量涉及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的 三角形优先研究 再逐步在其余的三角形中求出问题的解 课后作业课后作业 1 我舰在敌岛 A 南偏西相距 12 海里的 B 处 发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以 10 海里 小时的速 50 10 度航行 问我舰需以多大速度 沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰 角度用反三角函数表示 1 2 解三角形应用举例四解三角形应用举例四 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 能够运用正弦定理 余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题 掌握三角形的 面积公式的简单推导和应用 过程与方法 过程与方法 本节课补充了三角形新的面积公式 巧妙设疑 引导学生证明 同时总结出该公式的特点 循序渐进地具体运用于相关的题型 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用 教师要放手 让学生摸索 使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点 能不拘一格 一题多解 只 要学生自行掌握了两定理的特点 就能很快开阔思维 有利地进一步突破难点 情感态度与价值观 情感态度与价值观 让学生进一步巩固所学的知识 加深对所学定理的理解 提高创新能力 进一步培 养学生研究和发现能力 让学生在探究中体验愉悦的成功体验 教学重点教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点教学难点 利用正弦定理 余弦定理来求证简单的证明题 教学过程教学过程 课题导入课题导入 创设情境创设情境 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式 今天我们来学习它的另一个表达公式 在 ABC 中 边 BC CA AB 上的高分别记为 h h h 那么它们如何用已知边和角表示 abc h bsinC csinB h csinA asinC h asinB bsinaA abc 根据以前学过的三角形面积公式 S ah 应用以上求出的高的公式如 h bsinC 代入 可以推导出下面 2 1 a 的三角形面积公式 S absinC 大家能推出其它的几个公式吗 2 1 同理可得 S bcsinA S acsinB 2 1 2 1 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外 知道哪些条件也可求出三角形的面积呢 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1 在ABC 中 根据下列条件 求三角形的面积 S 精确到 0 1cm 2 1 已知 a 14 8cm c 23 5cm B 148 5 2 已知 B 62 7 C 65 8 b 3 16cm 3 已知三边的长分别为 a 41 4cm b 27 3cm c 38