三角函数模型的简单应用

三角函数模型的简单应用 习题（含答案） 一、单选题1已知x(0,6)，y(0,6)，且xtany=2(1-cosx)，则（ ）A yx4 B x4yx2 C x2yx2已知fx是定义在R上的偶函数，且xR时，均有f3+x=f2-x，2fx8，则满足条件的fx可以是A fx=2,xQ8,xCRQ B fx=5+3cosx5C fx=6+3cos2x5 D fx=2,x08,x03若函数f(x)=asinx+cosx在-4,4为增函数，则实数a的取值范围是A 1,+) B (-,-1C -1,1 D (-,-11,+)4已知函数fx=cosxx0的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则1+2sin2=（ ）A -2 B -1 C 0 D 25已知函数f(x)=sin(x+)(0，|2)，x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(18，536)上单调，则的最大值为()A 11 B 9 C 7 D 56已知sin=35，且2,，函数fx=sinx+0的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2，则f4的值为（）A -35 B -45 C 35 D 457已知函数fx=cos2x+（为常数）为奇函数，那么cos=（ ）A 0 B -22 C 22 D 18函数y=1-tanx-4的定义域为A k,k+4,kZ B k,k+2,kZC k-4,k+2,kZ D k-4,k,kZ9已知关于x的方程sin(-x)+sin(2+x)=2m-1在区间0,2上有两个根x1,x2，且x1-x2，则实数m的取值范围是（ ）A (-1,0 B 12,1) C (0,12 D 0,1二、解答题10已知a=(sinx,cosx),b=(3,-1).（1）若a/b，求sin2x-6cos2x的值；（2）若fx=ab，求函数f2x的单调减区间.11函数y=23cosx+(0,02)的图象与y轴交于点0,6，周期是（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点A2,0，点P是该函数图象上一点，点Qx0,y0是PA的中点，当y0=62 ， x02,时，求x0的值12已知函数a=(sinx,cosx),b=(sinx,3sinx),f(x)=ab（）求f(x)的最小正周期； （）若f(x)在区间-3,m上的最大值为32，求m的最小值.13如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积14如图，在ABC中，tanA=7，ABC的平分线BD交AC于点D，设CBD=，其中是直线2x-4y+5=0的倾斜角（1）求C的大小；（2）若f(x)=sinCsinx-2cosCsin2x2,x0,2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x的值15如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设点B与地面距离是h.(1)求h与间的函数关系式;(2)设从OA开始转动,经过t s后到达OB,求h与t之间的函数解析式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少.16已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC=12r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在AB 上要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值17已知函数fx=Asinx+ A0,0,2的一段图象如图所示.（1）求fx的解析式；（2）求fx的单调递增区间.18已知函数f(x)=sin(x+)+3cos(x+)(0)在0,3上单调递增，且满足f(x)=f(23-x)（）求的值；（）若f(x0)=1，求sin(2x0-6)的值19如图，某机械厂欲从AB=2米，AD=22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E,F分别在边BC,AD上，且EB=EF，AFAE.设BEF=，四边形ABEF的面积为f()（单位：平方米）.（1）求f()关于的函数关系式，求出定义域；（2）当BE,AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值.20已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x（）求f(x)最小正周期；（）求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.21已知函数f(x)=3sin(2x+6)-2sinxcosx+1.（）求函数f(x)的单调递增区间；（）当x-4,4时，求函数f(x)的最大值和最小值.22如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB,AC和以BC为直径的半圆弧BC组成，其中AC为2百米，ACBC,A为3若在半圆弧BC，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭D,E,F，再修两条栈道DE,DF，使DE/AB,DF/AC. 记CBD=30,0,|0,0)，若fxf6对于xR恒成立，fx的一个零点为3，且在区间2,34上不是单调函数，则的最小值为_.27方程在区间上的解为_ .试卷第6页，总6页参考答案1C【解析】因为x(0,6)，所以sinxxtanx, tany=2(1-cosx)x=4sin2x2xyy2cos6-1=0t(x)是增函数.t（x)t(0)=02sinxxtanytanx2yx2综上所述，故选C.点睛：本题的难点在于要解题思路的探寻，本题是一个难度较大的题目，其中要用到结论sinxxtanx. 2A【解析】【分析】B容易判断不满足f（3+x）=f（2x），C容易判断不满足2f（x）8，根据A的表达式即可判断满足f（3+x）=f（2x），2f（x）8，从而得出正确选项为A【详解】AxQ时，3+x，2xQ；f（3+x）=2，f（2x）=2；即f（3+x）=f（2x）；同理，xRQ时，有f（3+x）=f（2x）；显然2f（x）8，A正确；B显然f（x）不满足f（3+x）=f（2x），即B错误；C.3f（x）9，不满足2f（x）8，即C错误；Df（0）=2，f（5）=8；不满足f（3+2）=f（22）；即不满足f（3+x）=f（2x），D错误故答案为：A【点睛】本题主要考查偶函数的概念，余弦函数的值域，考查了分段函数的概念及分段函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.3A【解析】【分析】先看a=0时，已知条件不成立，再由a0时，化简得fx=a2+1sin(x+)，其中tan=1a，根据三角函数的图象与性质，求得的范围，进而求得答案.【详解】由题意，当a=0时，fx=cosx在区间-4,4不是单调函数，不符合题意；当a0时，fx=asinx+cosx=a2+1sin(x+)，其中tan=1a，要使得函数fx单调递增，则-2x+2，即-2-x2-，因为函数fx在区间-4,4上单调递增，所以-2-4且2-4，解得-44，所以-1tan1，即-11a1恒成立，所以a1,+)，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的辅助角公式，化简三角函数的解析式，合理利用三角函数的图象与性质是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.4A【解析】分析：依题意，过原点的直线与函数y=|cosx|（x0）在区间（32，2）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得=-1tan，代入所求关系式即可求得答案详解：函数f（x）=|cosx|（x0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数y=|cosx|（x0）在区间（32，2）内的图象相切，在区间（32，2）上，y的解析式为y=cosx，故由题意切点坐标为（，cos），切线斜率k=y=-sinx|x=-sin，由点斜式得切线方程为：y-cos=-sin（x-），即 y=-sinx+sin+cos，直线过原点，sin+cos=0，得=-1tan，点睛：本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得=-1tan是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题5B【解析】从所给的选项中的最大值逐个进行考查：若=11，fx=sin11x+，当x=-4时，有：11-4+=k,=k+114kZ，令k=-3可得：=-4，函数的解析式为：fx=sin11x-4,x18,536，则11x-41336,4636，函数在区间18,536内不单调，选项A错误；若=9，fx=sin9x+，当x=-4时，有：9-4+=k,=k+94kZ，令k=-2可得：=4，函数的解析式为：fx=sin9x+4,当x=4时，f4=sin94+4=sin52=1，则x=4为y=f(x)图像的对称轴,x18,536，则9x+434,32，函数在区间18,536内单调，据此可得，的最大值为9.本题选择B选项.6B【解析】【分析】本题先通过sin=35和2,求出cos=-45，再通过相邻对称轴之间的距离计算出函数的周期，借此算出的值，最后带入4得出结果。【详解】因为sin=35，且2,所以cos=-45因为相邻两条对称轴之间的距离等于2所以周期为，=2，fx=sin2x+所以f4=sin2+=cos=-45【点睛】本题在计算过程中需要特别注意题目所给出的角的取值范围以及三角函数之间的转化。7A【解析】【分析】根据奇函数定义f0=0，代入即可求得cos的值。【详解】因为函数fx=cos2x+（为常数）为奇函数所以f0=0，代入cos=0所以选A【点睛】本题考查了奇函数的应用及三角函数的求值，属于基础题。8C【解析】【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围。【详解】由题可知，1-tanx-40x-42+k kZ，1-tanx-40，tanx-41，-2+kx-44+k kZ，xk-4,k+2。【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题。9B【解析】分析：首先利用诱导公式化简所给的方程，然后数形结合整理计算即可求得最终结果.详解：由诱导公式可知：sin-x+sin2+x=sinx+cosx=2sinx+4，绘制函数gx=2sinx+4在区间0,2上的图象如图所示，由题意可知函数gx与函数y=2m-1有两个不同的交点，且交点横坐标满足：x1-x2，则y=1和x轴为临界条件，据此有：02m-11，解得：12m916r2，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为338r2【点睛】本题考查了三角函数及面积表达式的简单应用，属于基础题。17（1）fx=3sin25x-10；（2）32+5k,4+5kkZ【解析】分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而求得函数的解析式（2）根据正弦函数的单调性可得2+2k25x-1032+2kkZ求得fx的单调递增区间详解：（1）由图象可以得到函数fx的振幅A=3，设函数周期为T，则34T=4-4=154，所以T=5，则=2T=25，由f4=3sin10+=0，且2，得=-10，所以fx=3sin25x-10.（2）由2+2k25x-1032+2kkZ得32+5kx4+5kkZ所以函数fx的单调减区间为32+5k,4+5kkZ.点睛：本题主要考查由函数y=Asin（x+） 的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，属于基础题18() =-6.() sin(2x0+6)=-12.【解析】【分析】（）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式（）利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果【详解】（）由函数满足满足f（x）=f（23x）得知函数f（x）关于x=3对称，又函数f（x）在0，3上单调递增，所以f（x）在x=3取得最大值又f(x)=sin(x+)+3cos(x+)，=2sin(x+3)，所以f(3)=2sin(+23)=2，故+23=2k+2（kZ），由于0|，所以：=-6（）由f（x0）=1，知sin(x0+6)=12，所以：sin(2x0-6)，=sin2（x0+6）2，=cos2（x0+6），=2sin2(x0+6)-1，=12【点睛】解决函数fx=Asinx+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数A,的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将x+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化19(1) 函数f()=4sin-2tan的定义域为4,2.(2) 当BE,AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米.【解析】分析：（1）过点F作FMBE，可得MF=2,EMF=2,FEM=，所以EF=2sin,ME=2tan故AF=BM=EF-EM=2sin-2tan，利用梯形的面积公式可得结果；（2）由（1）可知，f()=4sin-2tan=4(sin22+cos22)2sin2cos22-22tan21-tan22=3tan2+1tan2，利用基本不等式可得结果.当且仅当3tan2=1tan2时，不等号取等号详解：（1）过点F作FMBE，垂足为M.在RtFME中,MF=2,EMF=2,FEM=所以EF=2sin,ME=2tan故AF=BM=EF-EM=2sin-2tan所以f()=12(AF+BE)AB=12(2sin-2tan+2sin)2=4sin-2tan据题意，AFBE，所以2且当点E重合于点C时，EF=EB=22,FM=2,=4所以函数f()=4sin-2tan的定义域为4,2.（2）由（1）可知，f()=4sin-2tan=4(sin22+cos22)2sin2cos22-22tan21-tan22=2tan2+1tan2-1tan2-tan2=3tan2+1tan223tan21tan2=23当且仅当3tan2=1tan2时，不等号取等号又4,2,28,4故tan2=33,2=6,=3BE=2sin=433,AF=2sin-2tan=233答：当BE,AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米.点睛：本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及二倍角公式、基本不等式求最值的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20（）；（）最大值为1+2，最小值为0【解析】试题分析：（）利用三角函数基本公式将函数式整理化简为f(x)=2sin(2x+4)+1，函数的周期为T=2=22；（）由定义域0,2得到2x+4的取值范围，借助于三角函数单调性可求得函数的最大值和最小值试题解析：（）f(x)的最小正周期T=2|2|=（）f(x)max=1+2,f(x)min=0考点：1三角函数式化简；2三角函数性质21（）k-512,k+12,kZ；（）见解析.【解析】【分析】（）由题意fx=sin(2x+3)+1，根据三角函数的图象与性质，即可求解；（）由题意x-4,4，得2x+3-6,56，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（）f(x)=3(32sin2x+12cos2x)-sin2x+1=12sin2x+32cos2x+1 =sin(2x+3)+1由2k-22x+32k+2，得k-512xk+12，所以，函数f(x)的单调递增区间是k-512,k+12,kZ；（）f(x)=sin(2x+3)+1，由x-4,4，得2x+3-6,56，当2x+3=2，即x=12时，f(x)有最大值f(12)=1+1=2；当2x+3=-6，即x=-4时，f(x)有最大值f(-4)=-12+1=12；【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22（1）23cos；（2）E与C重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示BD的长.(2)先利用正弦定理求出DF4cossin(6)， 再求出DEAF=44cos2，再利用三角函数求DEDF的最大值.详解：（1）连结DC在ABC中，AC为2百米，ACBC，A为3，所以CBA6，AB4，BC23 因为BC为直径，所以BDC2，所以BDBC cos23cos （2）在BDF中，DBF6，BFD3，BD23cos，所以DFsin+6=BFsin2-=BDsinBFD， 所以DF4cossin(6)， 且BF4cos2，所以DEAF=44cos2， 所以DEDF44cos24 cos sin(6)=3 sin2cos232 sin(26)3 因为32，所以22656，所以当262，即3时，DEDF有最大值5，此时E与C重合答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法. (2)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DEDF=3 sin2cos232 sin(26)3，再根据32，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.23（1）T=,f(x)=sin2x+6；（2）-12.【解析】【分析】1由图象可得A=1，T2=2，从而可求，再由图象经过点6，1可以求得，代入即可写出函数的解析式2求出gx=sin2x-6，以2x-6为整体求值即可【详解】(1)由图可得A=1,T2=23-6=2,所以T=,因此=2.当x=6时,由f(x)=1,可得sin26+=1,即3+=k+2,kZ,又|2,所以=6,故f(x)=sin2x+6.(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin2x+6-cos 2x=32sin 2x+12cos 2x-cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=sin2x-6,因为x0,2,所以-62x-656,故当2x-6=-6,即x=0时,函数g(x)取最小值-12.【点睛】本题主要考查了y=Asinx+的部分图象确定其解析式，只要结合图形代入点坐标计算就可以得到答案，还考查了三角函数的最值，属于基础题。24（1）见解析;（2）=6.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出CP=3- ，利用直角三角形边角关系求出PQ=1-cos ，则总长为f=CP+PQ=-cos+3+1 ，求出f= -1+sin0) ，则总成本为g()=a(-2cos+3+2)，03，求出g()=a(-1+2sin)，g()=0求出=6，分两区间0,6,6,3 讨论g()的单调性，以证明=6为极小值点.试题解析：（1）由题意，CAP=3-，所以CP=3-，又PQ=AB-APcos=1-cos，所以观光专线的总长度f()=3-+1-cos =-cos+3+1，03，因为当03时，f()=-1+sin0)，则总成本