电磁场与电磁波3

第3章静态电磁场及其边值问题 将静态电磁场 静电场 恒定电场和恒定磁场 作为时变电磁场的特例 介绍静态电磁场的分析方法和边值问题的解法 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 2 第3章静态电磁场及其边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 3 第3章静态电磁场及其边值问题 本章学习内容3 1静电场分析3 2恒定电场分析3 3恒定磁场分析3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理3 5镜像法3 6分离变量法3 7有限差分法 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 4 第3章静态电磁场及其边值问题 由不随时间变化的场源所激发的电磁场 称为静态电磁场 时变电磁场的一种特殊形式 包括 静止电荷产生的静电场伴随稳恒电流的恒定电场稳恒电流产生的恒定磁场 静态情况下 电场和磁场是相互独立 可分别讨论 本章将分别介绍三种静态电磁场的分析方法和静态电磁场边值问题的解法 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 5 第3章静态电磁场及其边值问题 由静态电磁场的特性引入位函数 标量位函数和矢量位函数 从而可以简化静态电磁场问题的求解 静态电磁场问题可分为无界空间场由源分布确定 也称为分布型问题 有界空间场由源分布和边界条件确定 也称为边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 6 第3章静态电磁场及其边值问题 静态电磁场的边值问题 可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程 以唯一性定理为指导求解边值问题 根据唯一性定理可以采用多种求解方法 包括某些特殊 简便的方法 甚至是直接观察的方法 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 7 第3章静态电磁场及其边值问题 边值问题的求解方法解析法镜像法 分离变量法 格林函数法 保角变换法 积分变换法等数值法有限差分法 变分法 矩量法 有限元法 边界元法等 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 8 第3章静态电磁场及其边值问题 镜像法 用等效电荷代替边界上的感应电荷或极化电荷 分离变量法 将齐次偏微分程化为常微分方程 有限差分法 将偏微分程化为网格点上的代数方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 9 第3章静态电磁场及其边值问题 学习重点与难点静态电磁场场量的辅助位函数 标量位 矢量位 的引入 位函数的积分计算式 微分方程 边界条件 与对应场量的关系 边值问题求解的惟一性定理 为各种求解方法提供理论依据和正确性判据 镜像法中确定像电荷的原则 分离变量法中由边界条件确定通解的形式 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 10 3 1静电场分析 静电场是由静止 空间分布不随时间变化的电荷激发的 是电磁场的一种重要的和特殊的形式 静电场的空间分布与变化取决于电荷的分布及周围媒质 静电场的基本方程和边界条件电位函数导体系统的电容静电场的能量静电力 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 11 3 1静电场分析 静电场的基本方程静电场的特征是源量 静止电荷q 和场量 E D 不随时间变化 由麦克斯韦方程组得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 12 3 1静电场分析 静电场的性质静电场是有散无旋场 静止电荷是产生静电场的通量源或散度源 电场线 E线 从正电荷发出 终于负电荷 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 13 3 1静电场分析 静电场的边界条件电场强度切向分量满足电场位移矢量法向分量满足 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 14 3 1静电场分析 当 有将上式表示为可见 当 1 2时 E的法向分量不连续 这是因为分界面上存在束缚电荷面密度 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 15 3 1静电场分析 静电场的微分方程在均匀 线性和各向同性的媒质空间由和得电场的微分方程为矢量泊松方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 16 3 1静电场分析 利用可以证明电场的积分表达式是泊松方程在无界空间 均匀 线性和各向同性媒质 的解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 17 3 1静电场分析 在无界均匀介质空间 当电荷分布已知的情况下 电场为只有在电荷分布简单或者在一些特殊场点的情况下 由上式可得解析解 一般情况下 特别是在边值问题中 电场微分方程难以直接求解 可引入辅助函数间接求解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 18 3 1静电场分析 电位函数由静电场的基本方程和矢量恒等式可将电场强度表示为式中的标量函数称为静电场的电位函数 简称为电位 单位为V 伏特 静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 19 3 1静电场分析 电位的计算式 无界均匀介质空间 点电荷的电位由得式中 C为任意常数 由电位参考点确定 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 20 3 1静电场分析 根据点电荷电位计算式 应用叠加原理 可得点电荷系的电位线电荷的电位 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 21 3 1静电场分析 面电荷的电位体电荷的电位上式可直接由静电场的基本方程 在均匀 线性和各向同性的无界空间 和亥姆霍兹定理导出 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 22 3 1静电场分析 若已知电荷分布 由以上各式可求得电位函数 再利用求得电场强度 由于电位计算是标量积分 比直接求电场强度的矢量积分更简单 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 23 3 1静电场分析 等位面 电位等值面 通常用等位面形象地描述电位的空间分布 根据和标量函数梯度的性质可知 E线垂直于等位面 且指向电位下降最快的方向 例如 点电荷的电场中 等位面为一系列同心球面 电场线为等位面法向的放射状线 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 24 3 1静电场分析 电偶极子的电场强度与等位面 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 25 3 1静电场分析 电场强度与电位的积分关系由有故P Q两点的电位差的物理意义是把一个单位正电荷从点P沿任意路径移动到点Q的过程中 电场力所做的功 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 26 3 1静电场分析 为使电场中各电位具有确定的值 必须选定场中某一固定点作为电位参考点 即规定该固定点的电位为零 若选Q点为电位参考点 即则P点的电位为当场源电荷分布在有限区域 通常选定无限远处为电位参考点 此时 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 27 3 1静电场分析 关于电位参考点的说明在同一电场中 只能选择一个电位参考点 选取不同的参考点 电位不同 选取不同的电位参考点并不影响要计算的两点间的电位差 电压 和电场强度 选取参考点可根据情况视其方便而定 应使电位的表达式有意义 而且使电位的表达式尽可能简单 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 28 3 1静电场分析 当电荷分布在有限区域内时 通常选择无穷远处为电位参考点 在电荷分布到无限远时 选有限区域中的点作为参考点 在工程上 由于大地电位相对稳定 一般取大地为电位参考点 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 29 3 1静电场分析 电位的微分方程在均匀 线性和各向同性电介质中 是常数 将代入得故即电位满足标量泊松方程 在有源区 此方程求解较电场的微分方程简单 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 30 3 1静电场分析 利用可以证明电位的积分表达式是泊松方程在无界空间 均匀 线性和各向同性媒质 的解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 31 3 1静电场分析 当在有限空间内无自由电荷分布 即 0 则电位满足拉普拉斯方程此方程结合边界条件求解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 32 3 1静电场分析 电位的边界条件求解电位的泊松方程或拉普拉斯方程时 边界条件用来确定积分常数 紧贴介质分界面两侧的相邻点P1和P2 其电位分别为 1和 2 由于在两种介质中E均为有限值 当P1和P2其间距时 有即 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 33 3 1静电场分析 以上关系也可以如下导出 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 34 3 1静电场分析 由得一般界面的边界条件为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 35 3 1静电场分析 在理想介质的分界面上不存在自由面电荷 有 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 36 3 1静电场分析 在理想介质与理想导体分界面上 若第二种媒质为导体 因达到静电平衡后导体内部的电场为零 导体为等位体 故导体表面上 电位的边界条件为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 37 3 1静电场分析 求解电场分布的主要方法 在源分布已知的情况下 直接应用电场强度的积分公式求解 用于计算一些在无界均匀介质空间中比较简单的电荷分布 在空间某些特殊位置的电场 已在第二章中讨论 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 38 3 1静电场分析 应用高斯定理求解对称分布的电场用于电场分布具有某种空间对称性 如平面对称 轴对称 球对称等 对于某些非对称分布的场 若能将其表示为若干个对称分布的场的叠加 当存在介质分界面时 有两种情况适宜用高斯定理求解 电场垂直于介质分界面 或电场平行于分界面 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 39 3 1静电场分析 由电位的梯度求电场强度先由电荷分布计算电位 再由电位计算电场强度 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 40 3 1静电场分析 求解电位分布的主要方法 直接应用电位的积分公式求解 这一方法主要用于计算在无界空间一些比较简单的电荷分布在空间某些特殊位置的电位 由电场强度的积分求电位 在有界空间求解泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题 这将在后面讨论 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 41 3 1静电场分析 例题例3 1 1 P93 由电荷分布通过点电荷电位的叠加 求和或积分 计算电位 再由电位计算电场 可使电场计算简化 例3 1 2 P93 利用电位与电场的积分关系 由电场的分布计算电位的分布 注意 均匀电场并不对应均匀的电位分布例3 1 3 P94 当源和边界具有一定对称性 电位为一维分布时 泊松方程或拉普拉斯方程退化为常微分方程 可采用直接积分求解电位 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 42 3 1静电场分析 思考题 P166 3 1 3 2 3 3 3 4习题 P166 3 1 3 3 3 4 3 5 3 7 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 43 3 1静电场分析 导体系统的电容电容是导体系统的一种基本属性 它是描述导体系统储存电荷能力的物理量 电容分为孤立导体 双导体系统的电容及多导体系统的部分电容 自部分电容和互部分电容 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 44 3 1静电场分析 双导体系统的电容定义为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比 即电容的单位是F 法拉 电容的大小与电荷量 电位差无关 只与导体系统的物理尺度 形状 大小 相互位置 及电介质的介电常数有关 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 45 3 1静电场分析 双导体的电容计算例如平行板线 平行双线 同轴线都属于双导体系统 通常 这类传输线的纵向尺寸远大于横向尺寸 因而可作为二维场来研究 只需计算传输线单位长度的电容 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 46 3 1静电场分析 电容的计算步骤 1 根据导体的几何形状 选取合适的坐标系 2 假定两导体上分别带电荷 q和 q 3 根据假定的电荷求出E 4 由求得电位差 5 求出比值 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 47 3 1静电场分析 计算电容的两种方法 假设极板上的电荷q 按的步骤计算 当场分布具有对称性时 这种方法最简便 假设极板间的电压U 解电位 的边值问题 按的步骤计算 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 48 3 1静电场分析 孤立导体的电容可视为两导体电容的一种特殊情况 两导体之一移到无限远处 电容为导体所带电量与其电位之比 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 49 3 1静电场分析 在多导体静电系统中 任何两个导体间的电压都要受其余导体上电荷的影响 电容的概念有所扩展 引入部分电容的概念 一个导体在其余导体的影响下 与另一个导体构成的电容 部分电容又分为自 有部分 电容和互 有部分 电容 P97 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 50 3 1静电场分析 例题 P96 例3 1 4平行双传输线单位长度的电容例3 1 5同轴线单位长度的电容思考题 P166 3 5 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 51 3 1静电场分析 静电场的能量静电场最基本的性质是对静止电荷有作用力 这表明静电场有能量 电场能量存在于电场所在区域内 电场能量来源于建立电荷系统的过程中外界提供的能量 从外力建立电场过程做功来推导计算电场能量的公式 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 52 3 1静电场分析 静电场能量的计算式假设导体和介质都是固定的 且介质是线性和各向同性的 假设系统从电荷为零开始被充电 充电完毕后的最终电荷分布为 电位函数为 在电场建立过程中无能量损耗 外力做的功全部转化为电场能量 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 53 3 1静电场分析 假设在充电过程中 设各点的电荷和电位按同一因子 增加 整个充电过程对应 从0到1 充电过程中某一时刻的电荷分布为 其电位分布为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 54 3 1静电场分析 在 到 d 微分过程中 整个空间增加的能量为充电过程完成后 系统的电场总能量为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 55 3 1静电场分析 电场能量为如果电荷是以面密度分布在曲面上 则上式变为式中 是电荷元所在点的电位 积分遍及整个有电荷的区域 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 56 3 1静电场分析 尽管积分仅限于电荷不为零的区域 但不能认为静电场能量仅存在于电荷分布区域 其被积函数也并不表示电场能量密度 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 57 3 1静电场分析 对于多导体带电系统 每个导体上的电位为常数 则上式变为对于双导体带电系统被充电后 导体带电荷分为 q和 q 电位分别为是 1和 2 则电场能量为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 58 3 1静电场分析 用场量计算电场能量的公式将代入并利用矢量公式和高斯散度定理得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 59 3 1静电场分析 当闭合面无限扩大时 只要电荷分布在有限区域内 可近似为一个点电荷 点电荷的电位 电位移矢量D有以下关系而闭合面有 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 60 3 1静电场分析 则得上式用电场矢量计算电场能量的公式 表明电场能量储存在电场不为零的空间 对于线性和各向同性介质有则 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 61 3 1静电场分析 静电场的能量密度静电场能量既可以通过电荷的分布计算 也可以通过电场计算 但能量密度函数只能表示为电场的函数 能量密度与电场强度的平方成正比 电场能量不服从叠加原理 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 62 3 1静电场分析 例3 1 6 P102 思考题 P166 3 7习题 P167 3 8 3 9 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 63 3 2导电媒质中的恒定电场分析 在导电媒质中伴随恒定电流场J r 的电场称为恒定电场E r 恒定电场是动态平衡下的电荷 驻立电荷 产生的 与静电场有相似之处 J r 作为描述恒定电场E r 的一个辅助场矢量 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场与静电场的比拟 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 64 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场的基本方程对于恒定电流 有由电流连续性方程得相应的微分方程为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 65 3 2导电媒质中的恒定电场分析 在恒定电流的状态下 电荷分布并不随时间改变 恒定电场与静电场一样 也是保守场 电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零 即相应的微分形式 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 66 3 2导电媒质中的恒定电场分析 电源外 恒定电场的基本方程为恒定电场的微分方程由基本方程和得在均匀 线性 各向同性导体中 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 67 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场的电位由可知恒定电场也表示为均匀导电媒质 常数 中将代入得电位满足拉普拉斯方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 68 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场的边界条件将应用到不同导电媒质的分界面上 可得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 69 3 2导电媒质中的恒定电场分析 利用可得E J在分界面上的折射关系 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 70 3 2导电媒质中的恒定电场分析 利用得电位的边界条件为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 71 3 2导电媒质中的恒定电场分析 介质与导体的分界面媒质 为理想介质 媒质 为导电媒质 有 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 72 3 2导电媒质中的恒定电场分析 一般情况下 在导体表面上的恒定电场既有法向分量 又有切向分量 电场矢量E并不垂直于表面 因而导体表面不是等位面 这不同于静电场中的导体 只有当导体为理想导体时 才与静电场中的导体一样 电场垂直于导体表面 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 73 3 2导电媒质中的恒定电场分析 非理想介质分界面 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 74 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场与静电场的比拟 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 75 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场与静电场的场方程 特性方程以及边界条件有完全相同的形式 在两组方程中占据相同位置的物理量称为对偶物理量 形式完全相同的两组方程称为对偶方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 76 3 2导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场与静电场中的对偶量E恒 E静 恒 静J DI q 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 77 3 2导电媒质中的恒定电场分析 如果两种场具有相同的边界形状和相等效的边界条件 可由其中已知的一种场的解按对偶物理量关系的替换直接写出另一种场的解 这种方法称为静电比拟法 从数学上看 求解这两种场分布是同一个数学问题 只需要求出一种场的解 就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 78 3 2导电媒质中的恒定电场分析 例如 两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示 利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 79 3 2导电媒质中的恒定电场分析 在静电场中 两导体间充满均匀电介质时的电容为式中 q是带正电荷的导体上的电量 U是两导体间的电压 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 80 3 2导电媒质中的恒定电场分析 在恒定电场中 两个电极间充满均匀导电媒质时的电导为式中 I是从电极表面流出的电流 U是两电极间的电压 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 81 3 2导电媒质中的恒定电场分析 比较以上两式可看出 两电极之间的电导与电容的关系为如果在静电场中两导体的电容为已知 则用同样的两个导体作电极时 填充均匀导电媒质的电导就可直接从电容的表达式中将 换成 而得到 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 82 3 2导电媒质中的恒定电场分析 平板电容器的电容漏电导单位长度内同轴线的电容漏电导 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 83 3 2导电媒质中的恒定电场分析 静电比拟法也在实验中得到应用 为了用实验研究静电场 常采用恒定电流来模拟静电场 因为在恒定电场中进行测量要比在静电场中测量容易得多 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 84 3 2导电媒质中的恒定电场分析 计算电导的方法 利用恒定电场的基本关系式计算假设两电极间流过电流I 按的步骤计算 假设两电极间的电压U 按的步骤计算 根据静电比拟 利用计算 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 85 3 2导电媒质中的恒定电场分析 例3 2 1 P108 例3 2 2 P109 思考题 P166 3 9 3 10习题 P167 3 13 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 86 3 3恒定磁场分析 恒定磁场是由恒定电流激发的 是电磁场的另一种重要的和特殊的形式 恒定磁场的基本方程和边界条件矢量磁位和标量磁位电感恒定磁场的能量磁场力 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 87 3 3恒定磁场分析 恒定磁场的基本方程恒定磁场的特征是源量 J 和场量 B H 不随时间变化 由麦克斯韦方程组得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 88 3 3恒定磁场分析 恒定磁场的性质恒定磁场是无散有旋场 恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源 磁场线是与源电流相交链的闭合曲线 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 89 3 3恒定磁场分析 恒定磁场的微分方程在均匀 线性和各向同性的媒质空间由和得磁场的微分方程为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 90 3 3恒定磁场分析 可以证明是上述磁场微分方程在无界均匀 线性 各向同性媒质空间的解 一般情况下 此方程同样难以直接求解 可引入辅助函数间接求解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 91 3 3恒定磁场分析 恒定磁场的边界条件在分界面上B满足的关系式为在分界面上H满足的关系式为当分界面上不存在自由面电流 则 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 92 3 3恒定磁场分析 矢量磁位由和可令式中 A为矢量磁位 或磁矢位 单位是 特斯拉 米 或 韦伯 米 矢量磁位没有明确的物理意义 仅是一个计算辅助量 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 93 3 3恒定磁场分析 满足的矢量场A有很多 A 为任意标量场 对不同的 A 旋度相同 但散度不同 为不同的矢量场 根据亥姆霍兹定理 要惟一确定一个矢量场必须同时给定其旋度和散度 对于恒定磁场 一般规定称这种规定为库仑规范 在这种规范下 磁矢位A就被惟一确定 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 94 3 3恒定磁场分析 磁矢位A的微分方程在均匀 线性和各向同性磁介质中 将代入得利用矢量恒等式和库仑规范得上式称为磁矢位A的泊松方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 95 3 3恒定磁场分析 可以证明在无界均匀 线性 各向同性媒质中磁矢位微分方程的解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 96 3 3恒定磁场分析 在直角坐标系中 磁矢位A的泊松方程可分解为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 97 3 3恒定磁场分析 可参照电位 微分方程的解直接写出在无界均匀 线性 各向同性介质中 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 98 3 3恒定磁场分析 将以上三个分量合并即得矢位磁位泊松方程的解式中 它的存在不会影响B 上式为是矢量磁位方程在无界空间中的特解 也可由恒定磁场基本方程和亥姆霍兹定理导出 且上式满足A的散度为零 参见P49式 2 3 16 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 99 3 3恒定磁场分析 同样可得面电流 线电流的磁矢位电流元产生的磁矢位与电流元矢量平行 通过矢量磁位取旋度来计算B比直接计算B更简单 这是引入磁矢位的意义所在之处 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 100 3 3恒定磁场分析 在有源区 磁矢位A的微分方程较磁场强度H的微分方程简单 A作为辅助函数可简化磁场的求解 在有界的无源区域 有上式为磁矢位A的拉普拉斯方程 与无源区H的微分方程相同 磁矢位无简化作用 可引入标量磁位 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 101 3 3恒定磁场分析 磁矢位的边界条件 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 102 3 3恒定磁场分析 根据恒定磁场的边界条件以及可得磁矢位A的边界条件为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 103 3 3恒定磁场分析 利用磁矢位计算磁通将代入得再利用斯托克斯定理 得可见 利用矢量磁位A可计算磁通 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 104 3 3恒定磁场分析 标量磁位 有界的无源区 在无自由电流的空间 有可以将H表示为式中的 m称为标量磁位 或磁标位 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 105 3 3恒定磁场分析 标量磁位的微分方程在均匀 线性和各向同性媒质中 将代入得即标量磁位满足拉普拉斯方程 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 106 3 3恒定磁场分析 标量磁位的边界条件在无自由电流的分界面上 由边界条件可得标量磁位的边界条件为注意 标量磁位仅适用于无源区 而电位可用于有源区与无源区 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 107 3 3恒定磁场分析 在无源区 非均匀 线性 各向同性磁介质中 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 108 3 3恒定磁场分析 无源区的磁标位与静电位的比较 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 109 3 3恒定磁场分析 求解磁场分布主要有以下几种方法 直接应用磁场的矢量积分公式计算 仅用于计算在无界均匀空间一些比较简单的电流分布在空间某些特殊位置的磁场 应用安培环路定理求解磁场 当磁场分布具有某种空间对称性 如平面对称 轴对称等 时 可应用安培环路定理求解磁场强度 且最为简单 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 110 3 3恒定磁场分析 对于某些非对称分布的磁场 若能将其表示为若干个对称分布的磁场的叠加 也能应用安培环路定理求解 当存在介质分界面时 有两种情况适宜用安培环路定理求解 一种情况是在介质分界面上 磁场平行于介质分界面 即磁场只有切向分量 另一种情况是在介质分界面上 磁场垂直于分界面 即磁场只有法向分量 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 111 3 3恒定磁场分析 由矢量磁位求磁场 在无界空间可由矢量磁位的积分公式计算 有界空间解矢量磁位的边值问题 再由矢量磁位求出磁感应强度 由标量磁位求磁场 在无自由电流的有界区域内 解标量磁位的边值问题 再由标量磁位求磁场 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 112 位函数 引入位函数依据 位与场的关系 微分方程 无界均匀区域的解 电位 磁标位 m 磁矢位A 有源或无源 有界无源 有源或无源 磁标位 磁矢位与电位的比较 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 113 3 3恒定磁场分析 例3 3 1 P113 例3 3 2 P115 思考题 P166 3 11习题 P168 3 14 3 15 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 114 3 3恒定磁场分析 电感在恒定磁场中 把穿过回路的磁链 或磁通量 与其交链的电流的比值称为电感系数 简称电感 在线性介质中 B与产生磁场的电流I成正比 因而 或 都与电流I成正比 因此 电感只与导体系统的几何参数和周围媒质有关 与电流 磁通量无关 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 115 3 3恒定磁场分析 磁链与磁通不同 磁链是指与某电流交链的磁通 单匝细线圈回路的磁链定义为穿过该回路的磁通量 多匝细线圈回路的磁链定义为所有线圈的磁通总和 若各匝的磁通为 N匝线圈的磁链为 N 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 116 3 3恒定磁场分析 电感与电容 电阻一样 是电磁工程问题中的基本物理量 电容器能存储电场能 电感器能存储磁场能 而电阻是耗能的器件 电感可分为自感和互感 粗导线的自感又有外自感与内自感之分 它们都是通过磁链来定义的 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 117 3 3恒定磁场分析 自感细导线回路中的电流为I 它所产生的磁场在自身回路所围面积上的磁链为 则其比值称为回路的自感系数 简称为自感 自感的单位是H 亨利 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 118 3 3恒定磁场分析 粗导线回路的自感可表示为内自感与外自感之和 式中 i为导体内部磁场的磁链 称为内磁链 对应外自感 0为导体外部磁场的磁链 称为外磁链 对应内自感 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 119 3 3恒定磁场分析 互感两彼此靠近的细导线回路C1和C2 由回路C1的电流I1产生的磁场与回路C2相交链的互感磁链 21 比值称为回路C1对回路C2间的互感系数 简称互感 互感的单位是H 亨利 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 120 3 3恒定磁场分析 同理 回路C2对回路C1间的互感为由自感和互感系数可很容易计算磁通和感应电动势 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 121 3 3恒定磁场分析 计算互感的一般公式 纽曼公式 由回路C1中的电流I1产生的矢量磁位为得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 122 3 3恒定磁场分析 故同理可得比较两式可得即两导线回路之间的互感满足互易关系 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 123 3 3恒定磁场分析 两线圈匝数分别为N1和N2时 M正比于N1N2当dl1与dl2处处垂直 M 0 若dl1与dl2处处平行 则M最大 在实际电路中 彼此平行放置可增强两线圈的耦合 相互垂直放置要避免两线圈的耦合 M可正可负 其正负取决于两线圈的电流方向 若互感磁通与自感磁通方向相同 则互感为正值 反之为负值 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 124 3 3恒定磁场分析 电感的计算假设回路中的电流 假设某一回路的电流I1 按以下的步骤计算还可直接按纽曼公式计算互感 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 125 3 3恒定磁场分析 由自感和互感系数可以方便计算磁链 磁通 和感应电动势 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 126 3 3恒定磁场分析 电路元件的特性参数比较 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 127 3 3恒定磁场分析 例3 3 3 P117 例3 3 4 P118 例3 3 5 P120 例3 3 6 P121 思考题 P166 3 12习题 P168 3 18 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 128 3 3恒定磁场分析 恒定磁场的能量载流导线在恒定磁场中受到磁场力的作用而发生运动 这表明恒定磁场储存着能量 磁场能量存在于磁场所在空间 磁场能量是在建立电流的过程中由电源供给的 当电流从零开始增加时 回路中的感应电动势要阻止电流的增加 电源克服回路中的感应电动势作功所供给的能量转化成磁场能量 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 129 3 3恒定磁场分析 根据电源在建立磁场过程中所作的功来计算磁场能量假设系统包括N个回路 各回路中的电流同时从零开始以相同的比 上升到Ij 所有的电流回路都固定不动 即没有机械功 导线中流过电流时产生的焦耳热损耗可以忽略 在恒定电流建立过程中 电流的变化足够缓慢 没有辐射损耗 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 130 3 3恒定磁场分析 t时刻 回路j的磁链为式中 Mij的是互感系数 当i j时 Mjj是回路j的自感系数 回路j中的感应电动势为而外加电压等于 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 131 3 3恒定磁场分析 dt时间内与回路j相连接的电源所做的功为N个回路增加的磁能为 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 132 3 3恒定磁场分析 得而则于是 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 133 3 3恒定磁场分析 则整个电流建立过程电源所做的功 即载流回路的磁场能量为当N 1时 当N 2时 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 134 3 3恒定磁场分析 将末时刻的磁链代入得上式只适用于细导线回路的情况 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 135 3 3恒定磁场分析 对于体分布电流 有上式中的积分是对所有J 0的空间进行的 把积分区域扩大到整个空间不影响到积分的值 实际上 磁场能量不只存在于有电流的导体内 而是储存在于整个磁场空间 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 136 3 3恒定磁场分析 用磁场矢量表示恒定磁场能量的公式将代入得 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 137 3 3恒定磁场分析 当电流分布在有限区域时 由于而面积按R2变化 故当R 时 上式右边第二项积分为零 故得上式的积分对整个磁场不等于零的空间 表明磁场能量储存于磁场分布空间 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 138 3 3恒定磁场分析 磁场能量密度由上式得能量密度的单位为 磁场能量可用场量和源量 与矢量磁位 计算 但能量密度只能用场量计算 磁场能量密度与磁场强度平方成正比 磁场能量也不符合叠加原理 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 139 3 3恒定磁场分析 电场能量与磁场能量的比较 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 140 3 3恒定磁场分析 例3 3 7 P125 由单位长度储存的总磁场能量可计算出单位长度的总自感 思考题 P166 3 13习题 P168 3 19 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 141 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 静态场的边值问题静态场的边值问题解的惟一性定理 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 142 静态场问题的类型 分布型问题 无界均匀空间 仅由源分布可确定场分布 采用场源积分法 边值型问题 有界空间或分区均匀 由源分布和边界条件确定场分布 在给定边界条件下求解场或位函数的微分方程 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 143 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 静态场边值问题的解法解析法给出的结果是场函数的解析表达式 本章只介绍镜像法和分离变量法 数值法给出场量的一组离散数据 本章只介绍有限差分法 由于电子计算机技术的发展和广泛应用 数值法获得极大的发展 应用前景广阔 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 144 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题在静态场情况下 电场可用标量电位来描述 磁场可用矢量磁位来描述 在无源 J 0 的区域内 磁场也可用标量磁位来描述 在均匀媒质中 位函数满足泊松方程或拉普拉斯方程 位函数的微分方程和位函数的边界条件一起构成位函数的边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 145 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 静态场边值问题的求解 都可归结为在给定的边界条件下 求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程 位函数方程是偏微分方程 位函数的边界条件提供解位函数方程的定解条件 从数学本质上看 位函数的边值问题就是偏微分方程的定解问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 146 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 边值问题的类型根据在场域V的边界面S上给定的边界条件的类型把边值问题分为三类 第一类边界条件是已知位函数在场域边界面上各点的值 即给定这类问题称为第一类边值问题或狄里赫利问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 147 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 第二类边界条件是已知位函数在场域边界面上各点的法向导数值 即给定这类问题称为第二类边值问题或纽曼问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 148 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 第三类边界条件是已知一部分边界面上位函数的值 而在另一部分边界面上已知位函数的法向导数值 即给定和这里 这类问题称为第三类边值问题或混合边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 149 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 如果场域延伸到无限远处 还必须给出无限远处的边界条件 对于源分布在有限区域的情况 在无限远处的位函数应为有限值 即给出有限值或称为自然边界条件 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 150 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 若整个场域分区均匀介质 则位函数还应满足不同介质分界面上的附加边界条件 衔接条件 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 151 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 对于由导体边界 有给定导体的电位为第一类边界条件 给定导体表面的电荷为第二类边界条件 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 152 第三类边值问题 例 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 写边值问题举例第一类边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 153 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 第三类边值问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 154 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 静态场的边值问题解的惟一性定理定理的表述在场域V的边界面S上给定 或的值 则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V内具有惟一解 n 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 155 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 定理的证明采用反证法证明 设有两个位函数 1和 2在边界面S包围的场域V内都满足泊松方程 即 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 156 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 在边界面S上满足边界条件 对于第一类边值问题对于第二类边值问题对于第三类边值问题 S S1 S2 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 157 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 令 则在场域V内有在S上有或或 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 158 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 由于将上式在整个场域上体积分并利用散度定理 有 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 159 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 无论是哪一类边值问题 都有由于是非负的 要使上式成立 必须在场域内处处有 这表明在整个场域内恒为常数 即 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 160 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 对于第一类边值问题 由于在边界面上 所以C 0 故在整个场域内有 即 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 161 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 对于第二类边值问题 若 1和 2取同一个参考点 则在参考点处 所以 故在整个场域内也有 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 162 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 对于第三类边值问题 由于 综合前面两种情况可得 在整个场域内也有故定理得证 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 163 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 在边界面上的任一点只须给定 或的值 而不能同时给定两者的值 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 164 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 惟一性定理的意义指出了静态场边值问题具有惟一解的条件 与V外情况无关 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 165 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 求解边值问题的原则惟一性定理的重要性在它保证所采用方法的灵活性 无论采用什么方法 只要求出的位函数既满足相应的泊松方程 或拉普拉斯方程 又满足给定的边界条件 则此函数就是惟一正确解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 166 3 4静态场的边值问题及解的惟一性定理 思考题 P166 3 15 3 16 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 167 3 5镜像法 问题的提出当导体表面或介质分界面附近有电荷存在时 导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷 由感应电荷或极化电荷与自由电荷共同确定空间的位函数分布 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 168 3 5镜像法 接地无限大导体板附近有一个点电荷 上半空间的电位分布由点电荷和感应电荷共同确定 而感应电荷的分布事先不知道 可以根据边界条件确定等效点电荷来替代感应电荷 从而方便地求出电位分布 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 169 3 5镜像法 接地导体球附近有一个点电荷 也可以用等效点电荷来替代非均匀感应电荷 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 170 3 5镜像法 接地导体柱附近有平行于轴线的线电荷 也可用等效线电荷代替非均匀感应电荷 ql 非均匀感应电荷 ql 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 171 3 5镜像法 镜像法的基本思想在所求解的场域外适当的位置上 用一些虚设的电荷或电流 称为镜像电荷或镜像电流 等效替代导体表面的感应电荷 感应电流或介质分界面上的极化电荷 磁化电流 把原来的边值问题的求解转换为无界均匀空间问题 把求解偏微分方程的问题转化为求解简单分布电荷或电流产生场的问题 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 172 3 5镜像法 镜像法的理论依据 静态场的边值问题解的惟一性定理 根据惟一性定理 只要不改变求解空间的电荷分布 虚设电荷或电流与场域内原有的实际电荷或电流一起所产生的场满足原问题所给定的边界条件 所得结果就是原问题的解 2020 4 9 第3章静态电磁场及其边值问题的解 173 3 5镜像法 应用镜像法求解边值问题的关键如何确定镜像电荷或镜像电流的大小和位置 确定镜像电荷或镜像电流的两条原则 1 所有镜像电荷或镜像电流必须位于所求的场域以外的空间中 2 镜像电荷或镜像电流的个数 位置及量的大小以满足场域边界面上的