基于Matlab软件的激光谐振腔振荡模式

中国石油大学（华东）本科毕业设计(论文)本 科 毕 业 设 计（论文）题 目：基于Matlab软件的激光谐振腔振荡模式学生姓名：杨 睿学 号：10133207专业班级：光信息科学与技术10-2班指导教师：焦志勇 2014年 6 月 20 日1基于Matlab软件的激光谐振腔振荡模式摘 要光束质量是激光器的重要指标，激光谐振腔内模式的产生和特性与光束质量有极其密切的联系，因此对腔内模式的研究有重要的理论意义和实际意义。腔内模式的经典理论只指出部分简单腔的解析解，而随着激光技术的不断发展，对于一些复杂腔型，无法求解其解析解，只能使用数值解。本文基于Matlab软件，建立自再现模式方程，通过Fox-Li数值迭代法对谐振腔内的模式进行仿真，作出振幅分布和相位分布图，对谐振腔模式进行分析。关键词：谐振腔；模式；Fox-Li数值迭代Laser resonator oscillation mode based on Matlab AbstractOutput and characteristics of the laser resonant mode has an extremely close relationship with the beam quality what is an important indicator of the laser, so the study of the resonant mode has important theoretical and practical significance. The classic theory of the resonant model is only pointed out the analytical solutions of some simple resonator. With the development of the laser technology, analytical solution is no longer applicable for some complex resonator. Only the numerical solution is useful. Building self-reproduction mode equation, it is possible to simulate the resonant mode by Fox-Li iterative method based on the Matlab software. The purpose is to analyze the resonator mode for making the amplitude and phase distribution figures . Keywords: Resonator ; Mode ; Fox-Linumerical iteration目 录第1章 绪论11.1 谐振腔综述11.1.1 谐振腔结构11.1.2 谐振腔稳定性判断11.1.3 稳定腔和非稳腔的结构特点31.2 腔内模式研究31.3 Matlab软件简介5第2章 光腔理论72.1 光腔理论72.2 光腔损耗72.3 模式分析82.3.1 横模82.3.2 纵模82.4 菲涅耳-基尔霍夫衍射892.5 自再现模102.6 分离变量法9102.7 迭代法11第3章 方形镜共焦腔133.1 自再现模分析133.2 迭代解法10143.3 Matlab 数值仿真143.3.1 基模143.3.2 高阶模153.4 精确解1116第4章 圆形镜共焦腔184.1 自再现模分析184.2 数值模拟18第5章 结论21致 谢23参考文献24第1章 绪论1.1 谐振腔综述工作介质、泵浦源和谐振腔三个部分构成了激光振荡器的基本结构。其中，泵浦源构成粒子数反转，激光形成的外在因素；光波在增益介质中传播放大，激光产生的内在原理；谐振腔提供反馈，具备模式选择效应。在增益介质的两头垂直于其轴线方向适当地安放两块反射镜，便可构成一个最为简略的谐振腔。为了输出光束和减小损耗，需保证两块反射镜为全反射和部分反射。谐振腔对其内部的电磁场具有一定的约束作用，当光波在腔内来回不断反射时，谐振腔将反馈放大特定传播方向和频率的光，而抑制其余方向和频率的光。沿轴线方向不断反馈放大的光，在腔内形成传播方向一致、频率和相位相同的强光束，这就是激光1。光学谐振腔在激光振荡器中具备无可替换的作用：当工作介质因为泵浦源作用造成粒子数反转，构成增益介质，在谐振腔内传播的光经过介质时将受激放大，即为谐振腔的正反馈作用。但是，在谐振腔内各个方向上都有可能发生受激发射，而且受激放大的光在谐振腔内传播一定间距后，部分受激光将会射出谐振腔；且激发光具有多频，对应多个模式，难以构成单色强度高的光束。只有当增益大于损耗，才能形成持续相干振荡。根据电磁场理论，惟有波长或者频率满足干涉相长条件的光波，才能够在腔内建立并稳定持续振荡，从而限制了振荡模式数目2。1.1.1 谐振腔结构可以存在于谐振腔内的电磁场本征态称为腔的模式，可划分为纵模和横模。按照反射镜的几何外形，可将谐振腔分为：平面腔、球面腔等类型；而按照腔内模式的横向偏折损耗，有稳定腔、非稳定腔、亚稳腔等腔型。不同类型的谐振腔，对于腔内光场分布具备不同的限制作用。1.1.2 谐振腔稳定性判断图1-1 光线在共轴球面腔中往返传播假定初始时，光线从腔镜出发，其初始处坐标是，到达腔镜上，则由傍轴光线几何光学原理可知(1-1)此中，是谐振腔的腔长，是谐振腔腔镜的曲率半径，是谐振腔腔镜的曲率半径，则光线在谐振腔内来回渡越过程当中，其坐标转换方程(1-2)其中(1-3)（1）当满足条件(1-4)或(1-5)得到(1-6)引入参数，即(1-7)则谐振腔为稳定腔。（2）而满足条件(1-8)的腔为临界腔。（3）满足条件(1-9)的腔为非稳腔。（4）满足表达式（1-8）的谐振腔即为临界腔，临界腔是谐振腔的特殊状态，在谐振腔的理论研究和现实利用中，临界腔均具有重要的意义。平行平面腔：共心腔：对称共焦腔：1.1.3 稳定腔和非稳腔的结构特点稳定腔的腔内损耗低，近轴光线的几何损耗几乎为零；横模模式体积过小，鉴别能力过低，难以实现高功率输出。若要实现高功率输出，则必须采取非稳腔。非稳腔相对于稳定腔具备如下特点：（1）横模鉴别能力高。对于非稳腔体系来讲，可以在谐振腔的一端得到单一球面波型或单一平面波型(即基模)，因为在几何光学近似情况下，惟有一组球面-平面波型或者球面波型可以存在于谐振腔中，从而可以提高输出光束的定向性和亮度。除此之外，实验分析证明，尽管在菲涅尔数较小情况下，非稳腔内仍然可能有场分布杂乱无章的高阶模式存在；然而，对于具有大的模直径和大菲涅耳数的非稳腔，低阶模和高阶模的损耗具有较大的差异，是以能够轻易获得单横模振荡输出。（2）可以轻易获得单端输出以及对光束进行准直。一般情况下，理想化的非稳腔体系中的两个谐振腔腔镜都是全反射镜，反射率达到100%。为了能够使得光线单端输出，需要改变两个腔镜的尺寸，使得两个腔镜的尺寸不相同，从而使得光线可以从一端溢出谐振腔，实现单端输出。同时，为了得到准直平行光束，可以应用透镜或别的光学体系对非稳腔体系的单端输出球面波进行准直。1.2 腔内模式研究1960年，应用平行平面腔的世界上第一台红宝石固体激光器降生。因为其独特的性质，引起人们的普遍关注与深入研究，此中尤以模式分析最为突出。然而，谐振腔模式的经典理论只是提供了一些简单的谐振腔的解析解，随着研究的不断深入，根据谐振腔的不同类型，精确的解析方法已不再适用，必须转而使用数值计算的方法进行求解。近30年来，各种数值计算法层见叠出。当前谐振腔模式的数值研究方法，主要有如下几种：(1)快速傅立叶变换法（FFT）快速傅里叶变换法（FFT）于19世纪70年代提出，之后FFT被广泛地应用在模式计算和光束传输中。傅立叶变换揭示了信号时域特性和频域特性之间的内在联系3。在针对谐振腔的内光束进行研究时，利用快速傅里叶变换法（FFT），首先将空域中的传输转换成频域的等效传输进行计算，即对输入频谱进行操作。之后，进行傅立叶逆变换，将获得的输出场频谱转换成空域中的光场分布。然而，快速傅里叶变换法（FFT）需要采用矩形或类似网格的单元划分，计算量庞大，不能得到广泛应用。（2)有限差分法（FDM）有限差分法（FDM）的基本原理是应用由有限的分离点构成的网格来代替连续的定解区域，这些有限个分离点被称作网格的节点。利用定义在网格上的离散变量函数近似连续定解区域的连续变量函数，用差商近似原方程以及定解条件中的微商，用积分和近似积分，即以代数方程组近似地取代原微分方程和定解条件，形成有限差分方程组。求解有限差分方程组，即可得到在离散点上的原问题近似解4。有限差分法（FDM）不要求网格之间具有完全相同的距离，可以在光场传播方向上的任何位置，采用随意尺寸的网格；可以将弯曲波导利用等效波导法等效成平板波导，使之更易于求解。如此，可以对连续的定解区域进行有选择性的划分区域，如：采用密网格表征光场波动程度剧烈的区域，而采用疏网格表征其它“次要”区域（光场变化相对平缓），从而提高其计算效率和精度。相对的有限差分法（FDM）也具有比较明显的缺点，利用等效波导法以平板波导等效弯曲波导时，其计算量庞大，计算效率低下。而多数情况下对谐振腔进行模式计算，其腔镜都是圆形镜或者复曲面镜，因而其不适用于光腔的模式计算。另外，算法自身也存在缺点，且这些缺点至今仍未得到解决。(3)有限元光束传播法（FEM-BPM）有限元光束传播法（FEM-BPM）是将连续域的求解离散化，利用几个单元离散求解域，并且在每个离散域中使用近似函数分解求解对未知领域的方程求解。有限元光束传播法（FEM-BPM）以变分原理为基础，将连续性问题转变成离散性问题，简化其求解复杂程度，被广泛的应用于以泊松方程以及拉普拉斯方程所描述的各类物理场中。有限元法由于其自身的局限性，只能够间接的对谐振腔内光场传输进行运算分析。可是，在处理相对复杂的几何曲面（如复曲面镜）时，有限元法能够自由设置有限单元的尺寸和外形的特点，对于处理问题具有其独特的效应。同时，它容许各个单元内每一个元素具有不同的介质特征，使其可以更加准确地描述光波导结构。而且，矩阵的维数小，计算时间少5。（4）Fox-Li 迭代法Fox-Li数值迭代法的基本原理是将无数多个本征函数以一定比例叠加，其中每一个本征函数对应一个特定的模式，以此来取代初始的光波场分布；光波在谐振腔内的来回渡越过程当中，各个模式由于损耗的不同，造成不同水平的衰减。因为衰减程度的不一致，在经由多次来回渡越后，谐振腔内只存在不变的光场分布。Fox-Li数值迭代法的每次迭代都相当于一次渡越进程，其迭代方程能够表示为6(1-10)这样就可以计算出经过多次渡越后光场的分布情况。Fox-Li数值迭代法的基本理论清晰明了，具有普遍适用性，特别是在计算低阶模时效果显著；但是，多次迭代会使偏差逐级放大，对于积分单元的划分具备很高的要求。另外，多次迭代使得计算量增大，计算效率低下。现在，数值分析方法已经被普遍地应用在工程和科学等范畴当中。对于谐振腔内模式的分析，上述介绍的几种数值分析方法，各自具有各自的优缺点。相对而言，Fox-Li迭代方法尽管相对复杂，但是具备广泛的适用性。本文中，对方形镜共焦腔和圆形镜共焦腔的横模模式进行理论推导，并且利用Fox-Li迭代法对谐振腔内光波场的模式进行计算。1.3 Matlab软件简介上个世纪70年代以前，多维的矩阵运算非常复杂繁琐。为了能够方便简洁并且快速的获得矩阵计算结果，针对于此Cleve Moler编写了世界上最早的Matlab。Matlab是一种高级技能计算语言和交互式环境，具有强大的功能，能够进行数据剖析、数据可视化、数值运算以及算法开发等。Matlab具有强大的优势： （1) 能够进行复杂的数值运算和符号运算，可以方便简洁并且快速的获得计算结果；（2) 能够进行数据可视化，将计算结果与图形结合，使得计算结果一目了然,实现计算结果和编程的可视化; （3) 编程语言简单易懂，程序操作有规律性，易于被学者快速学习和把握；（4) 大量的辅助工具（如通信信号处理工具箱，工具箱），以及方便的操作方式使其受到广泛地应用。正是由于Matlab具有这些独特的优势，现今工程和科研领域普遍使用其进行繁杂的数理运算。 第2章 光腔理论2.1 光腔理论由两块平行平面镜构成的谐振腔，称为F-P腔，是最早提出的谐振腔。随着技术的不断发展，以及为适应各类要求，又提出了采用具备共同轴线的球面镜组成的共轴球面腔。在对此类谐振腔进行理论分析时，为了降低复杂程度，对其光学边界进行理想化处置，假定其“足够大”（即忽略边界的影响），因此被称为开放式谐振腔，简称开腔。可以将开腔区分为稳定腔、临界腔和非稳腔，以几何偏折损耗的程度为参照。任何谐振腔都对腔内存在的电磁场具备必然的束缚性，而被束缚在谐振腔内的电磁场只可具有一系列分立的本征态，每个本征态都具备对应的频率以及空间场分布情况。谐振腔内可能存在的电磁场本征态称为腔的模式。按照电磁场理论，谐振腔的边界约束条件和麦克斯韦方程组，可以抉择能够存在于谐振腔内电磁场的分布情况。不同类型的谐振腔具有不同的边界条件，对腔内电磁场的束缚各不相同。对于开腔模式的问题,则平常经过光学的衍射理论出发来求解，即求解一定类型的积分方程。因此，只要确定谐振腔的具体结构，就能够唯一地确定腔内模式，此为腔与模的一般关系，即光腔理论7。光腔理论揭示了谐振腔内激光模式与谐振腔结构之间的密切联系，因而，只要确定谐振腔的参数，即可大体上明确模式的基本特征。2.2 光腔损耗光腔损耗是激光器的一个重要指标，激光谐振腔内的模式与光腔损耗有极其密切的联系，因此对光腔损耗的研究有重要的理论意义和实际意义。光学开放式谐振腔的损耗分为如下几个方面：（1） 腔镜反射不完全引发的消耗。腔镜凡是由全反镜和部分透射镜组成，因为部分透镜的吸收、散射以及透射等原因，从而引起部分无可避免的消耗。并且，全反镜的反射率也没法达到100%，更加深消耗程度。（2） 几何偏折损耗。光波在谐振腔内渡越过程中，部分光线不可避免的从谐振腔内偏折出去，其造成的损耗大小与谐振腔的具体结构之间有着密切联系。稳定腔利用部分透镜获得单端输出，因而腔内近轴光线的几何损耗几乎为零；与之不同，非稳腔通过改变两个腔镜尺寸的大小来得到单端输出，从而造成较大的几何损耗。以非稳腔为例，不同模式阶数的几何损耗各不相同，如平行平面腔内的高阶横模由于其传播方向与轴的夹角较大，因而其几何损耗也比低阶横模大；其次，不同几何尺寸的非稳腔其损耗大小亦各有不同。总而言之，几何损耗的大小与腔的几何尺寸以及光传播的模式都有着密切的联系。（3） 谐振腔内插入物引发的消耗以和材料的非激活吸收、散射等。（4） 衍射损耗。对于谐振腔详细尺寸和结构的要求，腔镜一般具备有限尺寸的孔径，因此当光在镜面上发生衍射时，必定会有一部分能量丧失，这便是衍射损耗。谐振腔的菲涅耳数以及谐振腔的几何参数与衍射损耗之间都具有紧密的联系；此外，不同横模，衍射损耗也各不相同。无论由任何因素所引起的损耗，皆可以使用“平均单程损耗因子”来表示，具有以下定义：假设初始之时光的强度为，在谐振腔内来回一周之后，其光的强度衰减为，则(2-1)解得(2-2)记参数为每种因素引起的损耗，则由多种因素引起的损耗可以表示为(2-3)2.3 模式分析 能够存在于谐振腔内的电磁场本征态称为腔的模式，按照电磁场的分布情况，腔内模式可分为横模和纵模，开腔内的模式通常用来表示。2.3.1 横模谐振腔内垂直于光轴方向上电磁场的分布情况，即为腔的横模，横模与横模指数和有关。2.3.2 纵模光波在腔内来回渡越过程当中，为了最终可以形成不变的光场分布，要求光波可以得到干涉增强，因而必须满足相长干涉条件，即光波在谐振腔内来回渡越一次所引起的总相移是的整数倍，可表示为 (2-4)此中，是真空中光波长，是腔的光学长度，是正整数。只有满足相长干涉条件，才可以在腔内构成驻波；整数决定了驻波的波节数，将决定的纵向场分布称为谐振腔的纵模。2.4 菲涅耳-基尔霍夫衍射8几何光学当中基于惠更斯-菲涅耳原理的菲涅耳-基尔霍夫衍射积分方程，可以有效地求解光波在谐振腔内来回传播过程当中，在每个腔镜表面的光场分布情况。已知空间任一曲面上的光场分布是，其中是曲面上点的坐标。察看点位于处，其坐标是。则在点上的光场分布为(2-5)此中，是源点和察看点之间的间距，是面上源点处法线与之间的夹角，波矢，是曲面上源点处的面积元，如图2-1。图2-1 菲涅耳-基尔霍夫衍射将上述积分公式应用于开腔内光场分布的计算，是第一个腔镜上光场的分布，经过第一次渡越，在第二个腔镜上形成的光场分布，即图2-2 等效谐振腔通过菲涅耳-基尔霍夫衍射积分，即可将两个腔镜上光场分布联系起来，经过第次后所形成的光场分布与第次后所形成的光场分布满足关系式(2-6)2.5 自再现模光波在谐振腔内来回渡越过程当中，因为腔镜的有限尺寸将引起衍射损耗；因为衍射主要发生在透镜的边沿位置，从而造成光场分布在边沿位置衰减较快。假定初始时在透镜上的光场分布为，经过第一次渡越在透镜上构成的光场分布；之后，场经过第二次渡越在透镜上构成的光场分布。因为各种因素引起的损耗，使得和场分布不一致。以后，重复上述过程。在此过程中，衍射作用使得光场在腔镜边缘的分布迅速衰减，形成类似高斯分布的形式，衍射对其影响可以忽略。在经过足够多次的渡越之后，场在经过往返一次渡越形成的新场，与之具有重复性，谐振腔内形成稳定振荡。场和具备“相同”的分布，可以“再现”出发时的光场分布，可表示为(2-7)2.6 分离变量法9通常情况下，谐振腔的腔长和透镜的曲率半径远大于透镜的线度，即(2-8)则，在表达式（2-6）中，可近似表示为，得 (2-9)对进行泰勒展开，可以将式（2-9）分离变量成(2-10)将二元函数简化成单位函数和。2.7 迭代法最早对谐振腔模式进行数值分析的是Fox A . G和 Tingye Li ，利用迭代法求解出了平行平面腔的各种几何形状的一系列自再现模。迭代法的应用证明了开腔模式的存在性，并且从数学上论证自再现积分方程式（2-9）解的存在性；而且，迭代法能加深求解自再现模型成的物理过程，因为数学运算过程与波在腔中往返传播而形成的自再现模的物理过程相对应而且利用迭代法求出的结果使得我们更加具体、形象地认识了模的各种特征；利用迭代法，原则上可以用来解释各种形状的开腔的自再现模，具有普遍的适用性，可以用来计算任何几个形状的开腔的自再现模，而且可以接受诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰动。本文主要对方形镜和圆形镜共焦腔横模模式进行研究，共焦腔与平行平面腔之不同之处在于：（1）腔镜上基模场的分布：厄米高斯近似情况下，在共焦腔反射镜的基本模式的分布只依赖于腔长度的大小，而与谐振腔反射镜的横向几何尺寸大小无关，通常情况下，共焦腔基模集中在腔镜的中心附近；可是在平行平面腔中，在整个腔镜表面区域内都有基模分布，总体呈现高斯分布形态，振幅最大出位于镜面的中心，振幅在趋向腔镜边沿的过程中逐渐降低。（2）相位分布：平行平面腔的反射镜不是等相面；共焦腔的反射镜为等相面。（3）单程损耗：平行平面腔衍射损耗远高于共焦腔的衍射损耗（4）单程相移与谐振频率：平行平面腔中由于横模指数、的改变引起的频率变化远远小于因为纵模指数的变化对谐振频率的改变；而在共焦腔中， 、的改变或的变化对谐振频率的影响具备相同的数量级。第3章 方形镜共焦腔3.1 自再现模分析在方形平面腔中，如图3-1所示图 3-1 方形平面腔由图可知(3-1)方形镜共焦腔的线度是，腔长是，如图3-2所示图 3-2 方形孔径对称共焦腔将以幂级数的情况展开，得到(3-2)当其满足条件(3-3)方形镜共焦腔自再现模满足的方程为(3-4)3.2 迭代解法10迭代，即应用公式(3-5)进行数值求解。假设初始时在透镜上的光场分布为，经过第一次渡越在透镜上形成的光场分布；之后，场经过第二次渡越在透镜上形成的光场分布。在经过足够多次的渡越之后，场在经过往返一次渡越形成的新场，与之具有重复性，谐振腔内形成稳定振荡。场和具有“相同”的分布，可以“再现”出发时的光场分布。方形镜共焦腔的腔镜线度为，通过分离变量法，场和的分布完全一致，故而只要求解其一方程即可得到腔内场分布。3.3 Matlab 数值仿真3.3.1 基模假定初始场分布为均匀平面波，即(3-6)经过迭代方程，便可以求解每次渡越之后构成的新场分布情况。在应用Matlab软件进行数值仿真时，采取的谐振腔参数：其中，是谐振腔的菲涅耳数。经过一次迭代和500次迭代之后的结果如下 图 3-3 方形镜迭代振幅分布截面图 图 3-4 方形镜迭代相位分布截面图 图 3-5 方形镜振幅分布图（迭代一次） 图 3-6 方形镜模振幅分布图（500次迭代） 图 3-7 方形镜相位分布图（迭代一次） 图 3-8 方形镜相位分布图（500次迭代）由以上几幅图可知，在刚开始迭代时，振幅和相位在腔镜的所有部位都有强度分布，而且并无特殊的规则。当迭代了500次以后，可以很明显的发现，腔镜边缘的光波振幅强度已经很明显的衰减，只剩下腔镜中央的部分的振幅趋于稳定分布，形成其自再现模。3.3.2 高阶模同样，应用迭代求解谐振腔内高阶模的分布也具备灵活性。以模和模为例，其结果如下 图 3-9 振幅分布立体图（300次迭代） 图 3-10 振幅分布花样图（300次迭代） 图 3-11 振幅分布立体图（300次迭代） 图 3-12 振幅分布花样图（300次迭代）3.4 精确解11 对于表达式（3-4),按照博伊德和戈登的方法进行变数代换，取(3-7)则可求解得到腔内模式方程(3-8)此中，是阶厄米特多项式。 图 3-13 振幅分布立体图 图 3-14 振幅分布花样图 图 3-15 振幅分布立体图 图 3-16 振幅分布花样图 图 3-17 振幅分布立体图 图 3-18 振幅分布花样图 图 3-19 振幅分布立体图 图 3-20 振幅分布花样图第4章 圆形镜共焦腔4.1 自再现模分析图 4-1 圆形谐振腔的结构如图4-1所示，圆形镜球面腔的两个腔镜曲率半径分别是和，腔长是，则可得到(4-1)其中，。将值代入表达式（2-9），我们可以得到一般球面腔自再现衍射积分方程满足的表达式(4-2)因为其是圆形镜，为了计算方便简洁，采用极坐标来表示可以得到(4-3)4.2 数值模拟可以证实，可以由拉盖尔-高斯函数表示圆形镜共焦腔的自再现模，当谐振腔的菲涅耳数时(4-4)此中，是共焦腔基模平面上的光斑尺寸，是缔合拉盖尔多项式。圆形镜共焦腔的模式分布如图 图 4-2 振幅分布立体图 图 4-3 振幅分布花样图 图 4-4 振幅分布立体图 图 4-5 振幅分布花样图 图 4-6 振幅分布立体图 图 4-7 振幅分布花样图 图 4-8 振幅分布立体图 图 4-9 振幅分布花样图在圆形镜共焦腔内，相对于不同模式阶数的横模，其衍射损耗各不相同；模是衍射损耗最小的谐振腔模式，衍射损耗伴随横模级次的增大而迅速增长；全部模式的消耗随的增大而快速下降；在横模阶数一样情况下，圆形镜共焦腔的衍射损耗要比平行平面腔的损耗低得多，但是与方形镜共焦腔相比较却具有较大损耗。第5章 结论激光具有与普通光不相同的独特性能：单色性、连贯性和方向性，以及由此而产生的超短脉冲、超高强度等性能，使其被普遍的应用于科研、军工、航空航天、医学和日常生活等各个方面。激光的发明不仅致使了各个学科之间的交织，并且生动地表现着技术创新如何深入的影响人们的生活、推动社会的不断发展。光束质量是激光器的重要指标，激光谐振腔内模式的产生与特性与光束质量有极其密切的联系，对激光模式的研究，不仅有助于我们了解输出激光的各种基本特性，而且对于调整激光器的输出有着重要的指导意义。想要能够更进一步的限定输出光束和优化光束质量，则需要准确地计算出谐振腔内的模式分布,其是重要条件和根本。本文从菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式出发，推导方形镜和圆形镜共焦腔的横模模式自再现方程,通过Fox-Li数值迭代分析方法，分别对其振荡模式的振幅和相位分布进行研究分析。从数值模拟的计算结果中可以看出：（1）谐振腔内的模式与光场的初始分布情况无关，只取决于谐振腔的具体结构和几何尺寸，根据麦克斯韦方程组和腔的边界条件可准确计算得到。（2)利用Fox-Li数值迭代分析方法进行迭代，在初始之时，谐振腔内的光场振幅和相位有着剧烈的变化，其中光场的振幅分布极其复杂；在经过多次迭代之后，由于腔镜的衍射作用，使的光场振幅的边缘趋于平缓，逐渐形成高斯型振幅分布，能够实现模式“再现”。构成稳定场以后，在每次迭代过程当中，腔镜上各点处场分布的唯一改变是振幅按同比例衰减，相位分布按一样大小构成相位滞后。（3）通过相位分布图可以看出，在腔镜中心部分光场的相位分布相差不大，几乎相同，可以近似地看作为一个等相位面。而到边沿位置处的相位相对中央位置的光场来说，相位比较落后。（模，高阶模有着各自不同的特性）（4）当腔镜存在倾斜扰动的时候振幅分布不再是稳定分布于腔镜中央，会出现腔内的光场整体朝一个方向偏移的现象。这样，就会在腔镜的边缘有着较大的光腔分布。与此同时，相位的分布也会出现一定量的偏移。光场的分布会出现较大的畸变，当畸变22较大时，已经严重地破坏了镜面光场分布的平衡性。需要及时加以纠正，以获得更高质量的激光输出。（5）菲涅耳数与衍射损耗有着密切的联系，当菲涅耳数值越大时，衍射损耗的值就越小。在菲涅耳数相对小的情况下，谐振腔对于高阶模有着较大的衍射损耗，从而可以有效地抑制高阶模式振荡；而在菲涅耳数相对大的情况下，谐振腔对于低阶模和高阶模的衍射损耗几乎一致，在有限次数的迭代情况下，则无法有效地抑制高阶模式振荡12。在本文中，通过Fox-Li数值迭代分析方法，利用计算机辅助软件Matlab，得出直观的谐振腔内光场分布情况图，从而对激光的自再现模进行分析。有了计算机的辅助，可以使我们可以更加方便、简洁地了解谐振腔内模式的基本特性。此外，还可以生动、明确的对激光的模式加以形象的了解。致 谢首先，允许我向毕业设计论文指导教师焦志勇老师致以诚挚的谢意！在毕业设计期间，从论文的选题、文献查阅、公式推导、理论分析，到程序编写以及论文撰写的整个过程中，焦老师都给予我无私的帮助和指导，他以激情和耐心指引着我前进。首先，焦老师治学的严谨性和勤恳奋进的工作精神，对我影响深刻。它不仅是一种工作态度，更是一种人生追求。同时，焦老师和蔼可亲，孜孜不倦的为我讲解和指导，指明了研究学习的方向，对我完成此毕业设计有着至关重要的作用。再次感