2015届高考数学（理）二轮练习：立体几何（含答案）

立体几何1一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明问题1如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_答案2在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半”问题2如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是_答案23简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧ch(c为底面的周长，h为高)(2)S正棱锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S正棱台侧(cc)h(c与c分别为上、下底面周长，h为斜高)(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧2rl(r为底面半径，l为母线)，S圆锥侧rl(同上)，S圆台侧(rr)l(r、r分别为上、下底的半径，l为母线)(5)体积公式V柱Sh (S为底面面积，h为高)，V锥Sh(S为底面面积，h为高)，V台(SS)h(S、S为上、下底面面积，h为高)(6)球的表面积和体积S球4R2，V球R3.问题3如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()A4 B3C2 D.答案D4空间直线的位置关系：相交直线有且只有一个公共点平行直线在同一平面内，没有公共点异面直线不在同一平面内，也没有公共点问题4在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是_答案相交5空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)平面与平面位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直问题5已知b，c是平面内的两条直线，则“直线a”是“直线ab，直线ac”的_条件答案充分不必要6空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤异面直线所成的角若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，它们所成的角为，则cos |cosv1，v2|.直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)方法二通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小方法二通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)易错警示：求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析(2)用空间向量求A到平面的距离：可表示为d.问题6(1)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于_(2)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_答案(1)(2)解析(1)方法一取A1C1的中点E，连接AE，B1E，如图由题意知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角设正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sinB1AE.方法二如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A，B1，设AB1与平面ACC1A1所成的角为，为平面ACC1A1的法向量则sin |cos，|.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O.设平面ABC1D1的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.易错点1三视图认识不清致误例1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80错解由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4.所以表面积S423242(24)44882480.找准失分点不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.正解由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为.所以S表4224(24)4242488.答案C易错点2对几何概念理解不透致误例2给出下列四个命题：有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)错解1错解2找准失分点是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直正解易错点3对线面关系定理条件把握不准致误例3已知m、n是不同的直线，、是不同的平面给出下列命题：若，m，nm，则n，或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm，且n，n，则n，且n；若m、n为异面直线，则存在平面过m且使n.其中正确的命题序号是_错解找准失分点是错误的；是错误的正解是错误的如正方体中面ABBA面ADDA，交线为AA.直线ACAA，但AC不垂直面ABBA，同时AC也不垂直面ADDA.正确实质上是两平面平行的性质定理是错误的在上面的正方体中，AC不垂直于平面ABCD，但与BD垂直这样AC就垂直于平面ABCD内与直线BD平行的无数条直线正确利用线面平行的判定定理即可错误从结论考虑，若n且m，则必有mn，事实上，条件并不能保证mn.故错误答案1已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面，有下列命题：若m，n，则mn；若，l，则l；，则；若m，n为异面直线，m，n，m，n，则.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题错误；由直线与平面平行的定义知命题正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题正确故选C.2设m，n是空间两条直线，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A当m时，“n”是“mn”的必要不充分条件B当m时，“m”是“”的充分不必要条件C当n时，“n”是“”成立的充要条件D当m时，“n”是“mn”的充分不必要条件答案A解析当m时，若n可得mn或m，n异面；若mn可得n或n，所以“n”是“mn”的既不充分也不必要条件，答案选A.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A64 B72C80 D112答案B解析根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，所以V4442(42)372，故选B.4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C与PM相交；NC与PM异面其中不正确的结论是()A BC D答案C解析作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论不正确5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A2 B3C12 D5答案A解析由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示该几何体的底面是边长为1的正方形，故S1121.侧棱PA面ABCD，且PA1，故SPABSPAD11，而PDDC，CBPB，且PBPD，所以SPBCSPDC1.所以该几何体的表面积为S1222.故选A.6如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析若PBAD，则ADAB，但AD与AB成60角，A错误；平面PAB与平面ABD垂直，所以平面PAB一定不与平面PBC垂直，B错误；BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，C错误；直线PD与平面ABC所成角为PDA，在RtPAD中，ADPA，PDA45，D正确7对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD.其中正确的是_(填序号)答案解析取线段BC的中点E，连接AE，DE，ABAC，BDCD，BCAE，BCDE，BC平面ADE，AD平面ADE，BCAD，故正确设点O为点A在平面BCD上的射影，连接OB，OC，OD，ABCD，ACBD，OBCD，OCBD，点O为BCD的垂心，ODBC，BCAD，故正确，易知不正确，填.8.如图，四面体ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，则二面角ABCD的大小为_答案解析由ABCDCB知，与的夹角就是二面角ABCD的平面角又，2()22BC22.因此2(2)21232222，cos()，且01 BmCm1 D.m1解析：m(3i)(2i)(3m2)(m1)i由题意，得解得m1.答案：D5若复数za21(a1)i(aR)是纯虚数，则的虚部为()A BiC. D.i解析：由题意得所以a1，所以i，根据虚部的概念，可得的虚部为.答案：A6已知复数z1，则1zz2z2 015()A1i B1iCi D0解析：z11i，1zz2z2 0150.答案：D7(2017芜湖一模)已知i是虚数单位，若z1ai，z2ai，若为纯虚数，则实数a()A. BC.或 D0解析：是纯虚数，解得a.答案：C8在复平面内，复数，(i为虚数单位)对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为()A. B1C.i Di解析：i，i，则A(，)，B(，)，线段AB的中点C(，0)，故点C对应的复数为，选A.答案：A二、填空题9复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解析：复数z(12i)(3i)55i，其实部是5.答案：510(2016天津卷)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_解析：(1i)(1bi)1b(1b)ia，所以b1，a2，2.答案：211已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_.解析：因为bi，所以2aibi.由复数相等的充要条件得b2，a1，故ab1.答案：112在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_解析：解法1：由题意可知.解法2：i，.答案：1(2017河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则|z1z2|()A2 B3C2 D3解析：z12i，z2i，z1z22，故选A.答案：A2设复数z3i(i为虚数单位)在复平面中对应点A，将OA绕原点O逆时针旋转90得到OB，则点B在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因为复数z对应点的坐标为A(3,1)，所以点A位于第一象限，所以逆时针旋转后对应的点B在第二象限答案：B3已知i为虚数单位，(z12)(1i)1i，z2a2i，若z1z2R，则|z2|()A4 B20C. D2解析：z1222