高考数学应试点晴 怎样解答高考选择题课件.ppt

应试指南 第二篇 选择题一般是由题干和选择支两部分组成 题干表明了问题的事实和情景 一般采用陈述句的形式 选择支是由题干所述的事实或情景所引出的可能正确或不正确的结论 答案 其中有且仅有一个正确的叫单项选择题 而有两个或两个以上正确的叫多项选择题 高考数学试题强调单选化 即只有四选一的单项选题 怎样解答高考选择题 一 选择题的题型特征分类 1 选择题的题型特征 在代数中适宜编拟选择题的知识点有 集合 简易逻辑 映射 函数的概念 性质 五个初等函数 不等式的性质 应用 等差 等比数列的性质 排列组合 二项式定理 概率与统计 导数的应用等 选择题按知识块可分为代数 三角 含向量 立体几何和解析几何四大块 1 代数选择题 2 选择题的分类 说明 本题一是考查对子集概念的运用 二是体现了分类讨论的思想 例1 集合a x x2 a2 a r 集合b x nx a 若ba 则n属于集合 a 1 b 1 c 1 1 d 1 0 1 解答 由ba 1 当b 即n 0时 满足题意 2 当b 即n 0时 a 得 a 由于a 0 所以n 1或n 1 答案选d 例2 命题甲 x 2或y 3 命题乙 x y 5 则 a 甲是乙的充分非必要条件b 甲是乙的必要非充分条件c 甲是乙的充要条件d 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 说明 充要条件是高考必考内容 它常其他知识点组合在一起 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系 但实质上逻辑性很强 很容易选错 解本题一是从反面入手 二是对逻辑关连词 或 且 要深刻理解与领悟 解答 本题从正面入手很容易混淆 所以正难即反是解题的一个基本策略 若甲不成立 即x 2且y 3 则x y 5 所以若甲不成立 乙也不成立 反之 若乙成立则甲也成立 答案选b 解答 确定一个映射 对于m中每一个元素在n中都有唯一的元素与之对应 解本题须分三步完成 第一步考虑元素 1对应n中元素的可能性 然后依次考虑0 1的情况 对x f x xf x 进行讨论 1 当x为 1时 x f x xf x 1 为奇数 故f x 有五种取值情况 2 当x为0时x f x xf x f x 故f x 只能取3或5时 f x xf x 为奇数 例3 设集合m 1 0 1 n 2 3 4 5 6 映射f m n 使对任意的x m 都有x f x xf x 是奇数 这样的映射f的个数是 a 125b 60c 50d 24 说明 本题涉及映射 数的奇偶性 乘法原理及分类讨论等知识点 对x f x xf x 加以讨论是首要解决的问题 对于映射 虽然 考试说明 中只要求了解映射的概念 但高考中经常考查此知识点 估计以后将还会考查类似的问题 3 当x为1时 x f x xf x 2f x 1 为奇数 故f x 有5种取值情况 所以映射的个数为 2 5 5 50个 答案选c 说明 本题涉及反函数的概念 图像和求值 是高考的考点之一 本题重点在于对反函数概念的理解 例4 已知函数f x 函数y g x 的图像与函数y f 1 x 1 的图像关于直线y x对称 则g 11 等于 a b c d 解一 由f x 得f 1 x 所以f 1 x 1 由题设知y g x 与y f 1 x 1 是互为反函数 可得g x g 11 选a 解法二 由题设可知y g x 与y f 1 x 1 互为反函数 由y f 1 x 1 得 x 1 f y 所以g x f x 1 g 11 f 11 1 选a 评注 解法一 解法二可知 对概念的理解越深刻 解题越简洁 本题常见错误是将f x 1 与f 1 x 1 误认为是互为反函数 例5 已知二次函数f x x2 ax 5对任意实数t都有f t f 4 t 且在 m 0 上有最大值5 最小值1 则m的取值范围是 a m 2b 4 m 2c 2 m 0d 4 m 0 说明 求函数的最值问题是高考中常见的一种题型 在最值问题中 又以二次函数为背景的较为常见 借助于二次函数的图象是解决问题的有效手段 若f x f 2m x 则图象关于x m对称 例6 已知f x lgx 若1 c a b 1 则 a f a f b f c b f c f a f b c f c f b f a d f b f a f c 说明 本题涉及了绝对值 对等函数的性质 函数的单调性 函数值的大小比较 分段函数等重点内容 包含了分类讨论 数形结合 特殊值法等重要数学思想 考查了基本概念 基本知识和基本技能 例7 如果a b 给出下列不等式 a3 b3 1 a 1 b 2a 2b lga lgb 其中恒成立的是 a 和 b 和 c 和 d 和 说明 组合选 即将多重选择题进行组合 以单选题的形式出现 的题型在近几年高考试题中常常出现 并且有所发展 本题主要考查了重要函数的单调性 解答 因为y x3增函数 所以a b可得a3 b3 所以 式成立 如果a 0 b 0 式不成立 由于y 2x在 上是增函数 所以 式成立 成立需条件a b 0 故答案是b 例8 设c 1 则 a a bb a bc a bd a b的关系与c值有关 说明 本题是课本例题的改编题 事实上 由于函数y x 1 是单调减函数 利用这个性质可以编一系列的试题 所以我们特别要注意一些重要结论 比如y x a 0 在 0 a 上是单调减函数 在 a 上是单调增函数等性质的应用 解答一 假设a b 即同理当a b时也矛盾 所以a b 故答案选b 例9 设 a 1 b 1 则 a b a b 与2的大小关系是 a a b a b 2b a b a b 2c a b a b 2d 不可能比较大小 说明 新的教学大纲中已经删掉了指数 对数不等式的解法 而简单的绝对不等式的地位提高了 要求理解 a b a b a b 因而它可能将成为不等式考查的一个新亮点 解答 当 a b a b 0时 a b a b a b a b 2 a 2当 a b a b 0时 a b a b a b a b 2 b 2故选b 例10 不等式 x2 3x 10 0的解集是 a x x 5或x 2 b x x 5或x 2或x 2 c x x 5或x 2 d x x 5 说明 解不等式要注意不等式成立的范围及不等式性质的灵活应用 例11 已知实数列 an 共有7项 且奇数项成等差数列 偶数项成等比数例 所有奇数项的和与所有偶数项的积之和为42 首项与末项减去中间项之差为27 则第四项等于 a 2b 2c 2或2d 4或4 说明 本题考查等差数列与等比数列的概念及运算 巧妙运用等差 比 数列的性质是解本题的关键 例12 用红 蓝 黄三色纸各做一套卡片 每套中有a b c d e字母各一张 若从这15张卡片中每次取出5张 要求字母各不相同且三色齐全的不同取法有 a 150种b 160种c 180种d 210种 说明 正确的分步与分类是解有条件限制的排列组合题的关键所在 本题先分两类不同情况 然后再讨论各种情况的排列 组合 数 解析 从拿出的5张卡片中要求三色齐全来分析 要么有3张是同色 另两张是不同色 要么是各有两张是同颜色 另一张是与它们不同的颜色 当有3张是同一颜色 则有不同的取法为3c35 c12c11 60种 当各有两张是相同颜色 则有不同的取法为c23 c25 c23c11 90 种 故共有60 90 150 种 所以选a 例13 已知 则a 4b 0c 8d 不存在 说明 从本题的结构来看 应从导数的定义出发 求函数的极限 在三角 平面向量中 适宜编拟选择题的知识点有三角函数的概念 图象 性质 两角和与差的三角函数 已知三角函数值求角及角的范围 正 余弦定理 三角形形状的判定 平面向量的概念 平面向量的运算 向量的数量积 垂直与平行的判定 定比分点公式及坐标平移 2 三角 平面向量选择题 例14 在4个函数y sin x y cos x y cotx y lg sinx 中 以 为周期 在 0 上单调递增的偶函数是 y sin x y cos x y cotx y lg sinx 解答 因为y sin x 是非周期函数 y cos x 是以2 为周期函数 y cotx 在 0 是单调减函数 故由排除法知答案只能选d 本题还可以从y sin x y cos x y cotx 的图像上判断 a b c 不合题意 例15 锐角 abc中 一定有 说明 本题涉及对数 三角函数的性质 锐角三角形的性质知识 解答一 由a b c 得cosa cos b c sinb sinc cosb cosc sinb sinc sinb 所以答案选b 解答二 由于 abc是锐角三角形 则 例16 已知则与的夹角为 30 60 120 150 说明 本题涉及向量的概念及运算 向量的数量积等知识 3 立体几何 立体几何中 适宜编制选择题的知识点有 平面的基本性质 线线 线面 面面的位置关系 空间角与距离的计算 多面体的概念 棱柱 棱锥 球的性质等 说明 本题构造一个正四面体 将空间定点o作为该正四面体的中心 把所求问题放置在一个特殊的几何体上加以考虑 是解题客观题的常用方法 例17 从空间一点出发的四条射线 其任意两条之间的夹角相等 则夹角度数为 以上三答案均不正确 解答 在四条射线上截取oa ob oc od 1 这样便构造成了四面体a bcd o即为该四面体的中心 延长ao交平面bcd于o1 则o1为底面三角形bcd的中心 所以ao1 面bcd 设正四面体棱长为x 在rt abo1及rt obo1中 oa 1 oo1 o1b x 再由余弦定理 知cosa 夹角为 arccos因此 选择b 例18 若一个球的体积扩大了8倍 则它的表面积扩大了 a 2倍b 4倍c 1 倍d 1 倍 说明 新教材对体积要求减弱了 只要求球的体积与面积 故球的体积与面积应加于重视 解答 设球的半径为r1 扩大后半径为r2 则 4 解析几何 解析几何中宜编选择题知识点有 直线倾斜角的概念 点到直线的距离公式 直线与圆的位置关系 圆锥曲线的概念及性质 直线与圆锥曲线的关系 解析几何中简单的最值问题及轨迹问题等 例19 直线截圆x2 y2 4得的劣弧所对的圆心角为 解答 由直线方程与圆的方程组成的方程组 即 变形 代 得x2 3x 2 0解之x1 1 x2 2 直线与圆的两个交点的坐标是 1 和 2 0 直线被圆所截得的弦长为2 而圆的半径为2 所以所求圆心角为 因此 选择c 例20 对于抛物线c y2 4x 我们称满足y2 4x0的点m x0 y0 在抛物线c的内部 对抛物线c内部的任一点m x0 y0 直线l的方程为y0y 2 x x0 则l与c的公共点 a 不存在b 恰是1个c 必是2个d 不确定 例21 已知双曲线 a 0 b 0 的离心率e 2 则双曲线一条渐近线与实轴所成锐角 的取值范围 例22 某班有50名学生 进行一次数学 外语测验 以此评出学习积极分子 学习积极分子的条件是他的成绩不亚于班上所有的其他学生 如果甲的数学成绩或外语成绩至少有一门比乙高 则称甲的成绩不亚于乙 那么 这班50名学生中 学习积极分子最多可能有a 1个b 2个c 25个d 50个 5 信息迁移题 说明 本题所涉及的知识极其简单 但它具有丰富的数学内涵 解本题需要同学们具有一定的逻辑推理能力及创新能力 历年的高考还尚未有过类似的试题 解答 取50名学生数学 外语成绩的一种特殊情况 他们的数学 外语成绩各不相同 并且数学成绩最高者外语成绩最低 数学成绩第二名的外语成绩倒数第二名 依次类推这是显然50人都是学习积极分子 答案是d 例22 正方体的直观图如图所示 则其展开图是 说明 这是一道考查学生动手能力和想象能力的选择题 解答 首先观察立体图形 正方体的一个面上有一圆 与这个面相邻的三个面上各有一条线段 然后观察展开后的各个平面图形 a 中三条线段所在三个面连在一起 还原成正方体时 三线段仍然相连 则与原空间图形矛盾 故a错 将 b 展开图还原成正方体时 三条直线段平行 与空间图形不一致 故b也错 将 c 还原成正方体后 面上的三条直线段连在一起 与原空间图形不一致 所以 c 也错 故选d 二 选择题的解题方法与技巧 我们知道 数学选择题是数学命题的形式之一 因此它的解法既有一般数学题的解答方法 又有符合其本身特征的一些解答方法与技巧 概括起来 常用的方法有以下几种 1 直接法 从数学选择题所给的条件出发 通过直接运算 推理得出符合题意的结果 然后再把此结果与选择支一一进行核对 从而选择出正确的答案 这种方法叫做直接法 1 直接求解法 例1 已知f x 是偶函数 定义域是r 且它在 0 上是减函数 那么下列下等式恒成立是 例2 已知 an 是等比数例 且a1 a2 a3 18 a2 a3 a4 9 设sn a1 a2 an 则sn的值为 a 8b 16c 32d 48 例3 设椭圆 a b 0 的右焦点为f1 右准线为l1 若过f1且垂直于x轴的弦长等于f1到l1距离 则椭圆的离心率是 2 直接判断法 例4 有三个命题 垂直于同一个平面的两条直线平行 过平面 的一条斜线1有且仅有一个平面与 垂直 异面直线a b不垂直 那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解答 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断 易得都是正确的 故选d 3 特殊值法 从题干或选择支出发 通过选取特殊值代入 将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形特殊位置 利用问题在某一特殊情况下不真 则它在一般情况下不真这一原理 达到肯定一支或否定三支 去谬 的目的 称为特殊法 特殊法是 小题小作 的重要策略 1 特殊值 例5 若0 则 a sin2 sin b cos2 cos c tan2 tan d cot2 cot 解答 取 可否定a c d 因此选b 2 特殊函数 例6 定义在r上的奇函数f x 为减函数 设a b 0 给出下列不等式 f a f a 0 f b f b 0 f a f b f a f b f a f b f a f b 其中正确的不等式序号是 a b c d 解答 取f x x 逐项检查可知 正确 因此选b 3 特殊数列 例7 如果等比数列 an 的首项是正数 公比大于1 那么数列 a 是递增的等比数列b 是递减的等化数列c 是递增的等差数列d 是递减的等差数列 解答 取an 3n 易知选d 例8 函数f x 2 x 0 的反函数f 1 x 图像是 解答 由函数f x 2 x 0 可令x 0 得y 2 令x 4 得y 4 则特殊点 2 0 及 4 4 都应在反函数f 1 x 的图像上 观察得a c 又由反函数f 1 x 的定义域知选 4 特殊位置 6 特殊方程 例10 双曲线b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 渐近线夹角为 离心率为e 则cos等于 a eb e2c d 解答 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系公式 可用特殊方程来考察 取双曲线方程为故选 7 特殊模型 例11 如果实数x y满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值是 解答 题中可写成 联想数学模型 过两点的直线的斜率公式 可将问题看成圆 x 2 2 y2 3上的点与坐标原点o连线的斜率的最大值 即得d 3 排除法 在提供的选择支中 有且仅有一选择支是正确的 这时便可以利用已知条件和选择支所提供的信息 从n个答案中淘汰掉 n 1 个错误的答案 逐渐缩小选择范围 再进行比较或验证 依此类推 最后得到正确的选择支 这种方法就叫做排除法 又称淘汰法或筛选法 例12 已知y loga 2 ax 在 0 1 上是x的减函数 则a的取值范围是 a 0 1 b 1 2 c 0 2 d 2 解答 取a 时 可知y log 2 x 为增函数 可排除a c 再取a 2时 可知y log2 2 2x 当x 1时无意义 从而可排除 因此 选择b 例13 用1 2 3 4 5这5个数字可以组成比20000大且百位数字不是3的没有重复数字的五位数为 a 96b78c 72d 64 解答 没有限制的五位数 p55 5 120 万位数为1的五位数 p44 4 24 万位数不为1的五位数 p55 p44 96 因为百位数的条件尚未考虑 所以答案数要小于96 可排除a 又万位数为1的五位数和百位数为3的五位数共有 p44 p44 48 而120 48 72 这里多减了万位为1 同时百位为3的数 p33 6 所以可排除c d 因此 选择b 例14 已知sin sin 那么下列命题成立的是 a 若 是第一象限角 则cos cos b 若 是第二象限角 则tan tan c 若 是第三象限角 则cos cos d 若 是第四象限角 则tan tan 解答 当 0 时 由sin sin 得 此时cos cos 当 时 由sin sin 此时tan tan 当 时 由sin sin 得 此时cos cos 可见a b c均被排除 故选答案d 例15 已知直线l 平面a 直线m平面 有以下四个命题 l m l m l m l m 其中正确的命题是 a 与 b 与 c 与 d 与 解答 由l m 平面 若 这时l与m可以为异面直线也可以共面 将平面 中的m竖起来 故命题 非真 类似地 l m时 平面 与平面 可以平行 也可以相交 故命题 非真 即命题 为假 从而可排除a c d 因此 选择b 例16 方程x2 3x 1 0的两个根 可分别作为 a 一个椭圆和一个双曲线的离心率b 一个椭圆和一个抛物线的离心率c 两个抛物线的离心率d 两个椭圆的离心率 解答 设方程的两根分别为e1和e2 椭圆离心率e 1 抛物线离心率e 1 若b c d中有一个成立 必须有e1 e2 2 但由韦达定理 e1 e2 3 因此b c d均应排除 因此选择a 4 图象法 图象法 就是借助于图形或图象的直观性 数形结合 经过推理判断或必要的计算而选出正确答案 例17 函数y xcosx的部分图象是 解答 从数形结合的思想去分析 从数考虑有f x xcos x xcosx x cosx f x 为奇函数 结合图形 排除a c 再取一个特殊数 令x 则y 0 点 在第四象限 结合图形 排除b 故选答案d 例18 若loga2 logb2 0 则 a 0 a b 1b 0 b a 1c a b 1d b a 1 解答 在同一坐标系中 作y logax 0 a 1 和y logbx 0 b 1 的图像 再作直线y 1与二曲线相交 则交点的横坐标 即为a b 由图可知 有0 a b 1 因此 选择b 例19 若实数x y满足x2 y2 2x 4y 0 则x 2y是最大值是 a 0b 10c d 10 解答 令x 2y 表示直线 即当直线x 2y 0与圆 x 1 2 y 2 2 5有惟一公共点时 求 是最大值 由圆心 1 2 到直线的距离公式 知解之 10或 0 所求 的最大值为10 因此 选择b 例20 函数f x msin x 在区间 a b 上是增函数 且f a m f b m 则函数g x mcos x 在 a b 上是 a 是增函数b 是减函数c 可以取得最大值md 可以取得最小值 m 解答 此题若完全从三角函数的角度来思考 较复杂 用数形结合的思想方法来处理 画出f x msin x 0 的图象 再依据大家熟知的sinx与cosx 其中x x 的图像位置关系 画出g x msin x 的图象 观察图象 很快就能确定 故选答案c 6 检验法 把题设条件代入选择支中或把选择支代条件中进行检验 找出正确答案的方法叫做验法 例21 若f x sinx是周期为 的奇函数 则f x 可以是 a sinxbcosxcsin2xdcos2x 解析 题中给出f x sinx是周期为 的奇函数 要使f x sinx为奇函数 只须f x 为偶函数 排除a c 验证周期来确定当f x cosx时 f x sinx cosxsinx sin2x t 故选答案 例23 圆心在抛物线y2 2x上 且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 a x2 y2 x 2y 0b x2 y2 x 2y 1 0c x2 y2 x 2y 1 0d x2 y2 x 2y 0 7 分析法 有些选择题 需要对题干提供的信息进行周密的思考 分析 转化及推理等 才能作出正确的判断 这种方法叫做分析法 例24 已知平面 所成的角为60 p为空间一定点 则过p与 所成角都等于30 的直线有且仅有 a 1条b 2条c 3条d 4条 分析 过p点分别作直线a b 使a b 如果过p点的直线l与平面 与30 角 则l与b所成角为60 于是原问题等价于如下问题 已知直线a b相交成60 角 过交点p且与a b所成角都为60 的直线l有且仅有几条 解答 设a b确定平面r a b所成角60 120 的角平分线分别是m n 直线n即是满足要求的一条 另外 过p点平面r的斜线l 若与a b所成角相等 则l在r上的射影必是m 故l必在过m且与r垂直的平面 上 让直线l由m开始 在 是分别向两个方向旋转 在旋转过程中 与a b所成角从30 开始逐渐增大 直到90 这时l与r垂直 再由90 逐渐减小至30 在这一增一减过程中 分别恰有一位置使l与a b所成角为60 综上所述 满足要求的直线l有且仅有3条 因此 选择c 例25 直角坐标平面上 满足不等式组的整点 即横 纵坐标均为整数的点 的个数是 个a 2550b 2551c 2552d 2553 说明 说明解简单的线性规划 第一步要正确确定可行区域 在实际问题中经常碰到求可行区域上的整数解 解答 两条坐标轴及直线x y 100所围区域上的整点共有1 2 3 101 5151个而y 1 3 x x y 100及x轴所用区域 边界不包括y 1 3 x 上的整点共有 1 1 1 1 25 25 25 25 4 1 2 25 1300 又y 3x x y 100及y轴 边界不包括y 3x 上的整点也有1300个 满足题设条件的整点共有5151 2 1300 2551个故答案选b 8 立体几何选择题的特殊解法 1 补形法 有些立体几何选择题 如果将其图形补 全 后 则线 面关系清楚可见 有利于问题的解决 这种方法叫补形法 例26 pa pb pc是从p点出发的三条射线 每两条射线的夹角均为60 那么直线pc与平面pab所成角的余弦值是 说明 要计算直线pc与平面pab所成角的余弦值 光凭已知条件给出的三条射线两两的夹角均为60 是不够的 还需要一些线段的长度 如果用任意的平面去截三条射线 将会给下一步的计算造成困难 若注意到正方体从一个顶点出发的三条面对角线两两的夹角均为60 则可以利用正方体这一工具来解决 解答 补成正方体 其中pa pb pc是从同一顶点出发的三条面对角线 且 apb bpc cpa 60 易知p abc为正四面体 过点c作co 平面pab 垂足为o 显然o为正 pab的中心 于是 cpo为pc与平面pab所成的角 设pc a 则故应选c 2 反例法 在数学里 否定一个命题 只要举出一个反例即可 这种方法叫反例法 利用反例法解某些立体几何选择题时十分有效 例27 下列命题中正确的是 a 直平行六面体是长方体b 对角面是矩形的棱柱是正棱柱c 侧面都是长方形的棱柱是长方体d 底面是矩形的直棱柱是长方体 解答 要否定一命题 只需举一反例 如果作一个底面是平行四边形 但不是矩形的直棱柱 它满足命题a b c的条件 但结论却不吻合 可见a b c 都是错误的 因此 选择d 3 极限法 有些选择题 其图形具有极限位置 利用图形的极限位置可迅速作出正确判断 这种处理问题的方法叫做极限法 极限法与特殊值法有所不同 特殊值的取值范围一般仍在允许值范围内 而极限法的极端位置可以在允许值范围之外 例28 二面角 ab 的平面角是锐角 c是平面 内一点 它不在棱ab上 点d是点c在 面上的射影 点e是棱ab上满足 ceb为锐角的任意一点 那么 a ceb debb ceb debc ceb debd 不能确定大小 解答一 直接法作二面角的平面角 cfd tan cef tan def 且在rt cfd中 cf是斜边 cf df tan cef tan def ceb deb因此 选择a 解答二 极限法如图3 12所示 由c e两点固定 即 deb大小不变 二面角 ab 的平面角是锐角 其取值范围有 0 之内 现将平面 放在与 平面重合位置 此时是极限位置 不在已知条件限制之内 这时 有 ceb deb 再将面 以ab为轴逐渐向上转动 ceb大小不变 而点d则不断靠近ab ceb逐渐减小 直到使面 与面 垂直 此时