历高考数学真题考点归纳第七章不等式

1 第一节第一节 简单不等式及其解法简单不等式及其解法 一 选择题 1 2009 安徽卷理 下列选项中 p 是 q 的必要不充分条件的是 A p ac b d q a b 且 c d B p a 1 b 1 q 01 x f xab aa 且的图像不过第二象限 C p x 1 q 2 xx D p a 1 q log 01 a f xx aa 且在 0 上为增函数 答案 A 解析 由a b 且 c d ac b d 而由ac b d a b 且 c d 可举反例 选 A 2 2009 安徽卷文 是 且 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得abcd 且 且时必有acbd 若acbd 时 则可能有adcb 且 且 选 A 3 2009 四川卷文 已知a b c d为实数 且c d 则 a b 是 a c b d 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然 充分性不成立 又 若a c b d和c d都成立 则同向不等式相加得 a b 即由 a c b d a b 4 2009 天津卷理 ab 10 若关于 x 的不等式 2 xb 2 ax的解集中的整数恰有 3 个 则 A 01 a B 10 a C 31 a D 63 a 答案 C 2 5 2009 四川卷理 已知 a b c d为实数 且cd 则 ab 是 acbd 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点定位 本小题考查不等式的性质 简单逻辑 基础题 同文 7 答案 B 解析 ba 推不出acbd 但bdcbadbca 故选择 B 解析 2 令2 1 3 5abcd 则13 5 8acbd 由 acbd 可得 abcd 因为cd 则0cd 所以ab 故 ab 是 acbd 的必要而不充分条件 6 2009 重庆卷理 不等式 2 313xxaa 对任意实数x恒成立 则实数a的取值 范围为 A 1 4 B 2 5 C 1 2 D 1 2 答案 A 解析 因为 2 4314313xxxxaa 对对任意 x 恒成立 所以 22 343041aaaaaa 即 解得或 二 填空题 7 2009 年上海卷理 若行列式 4 1 7 5 x x 3 8 9 中 元素 4 的代数余子式大于 0 则 x 满足的条件是 答案 8 3 x 解析 依题意 得 1 2 9x 24 0 解得 8 3 x 三 解答题 8 2009 江苏卷 本小题满分 16 分 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品单件成本为a元 如果他卖出该产品的单 3 价为m元 则他的满意度为 m ma 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度 为 n na 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为 1 h和 2 h 则他对这两种交 易的综合满意度为 1 2 hh 现假设甲生产 A B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元 乙生产 A B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元 设产品 A B 的单价分别为 A m元和 B m元 甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为h且 乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为h且 1 求h且和h且关于 A m B m的表达式 当 3 5 AB mm 时 求证 h且 h且 2 设 3 5 AB mm 当 A m B m分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最 大的综合满意度为多少 3 记 2 中最大的综合满意度为 0 h 试问能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 解析 本小题主要考查函数的概念 基本不等式等基础知识 考查数学建模能力 抽 象概括能力以及数学阅读能力 满分 16 分 1 当 3 5 AB mm 时 2 3 5 3 5 20 5 12 5 B BB BBB B m mm h mmm m 甲 2 3 5 3 20 5 20 3 5 B BB BBB B m mm h mmm m 乙 h且 h且 2 当 3 5 AB mm 时 2 2 11 20511 20 5 1 1 100 251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 4 由 111 5 20 20 5 B B m m 得 故当 11 20 B m 即20 12 BA mm 时 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 10 5 3 方法一 由 2 知 0 h 10 5 由 0 10 1255 AB AB mm hh mm 甲 得 1255 2 AB AB mm mm 令 35 AB xy mm 则 1 1 4 xy 即 5 14 1 2 xy 同理 由 0 10 5 hh 乙 得 5 1 14 2 xy 另一方面 1 1 4 xy 141xx 5 1 4y 2 5 1 y 2 2 55 1 4 1 1 1 4 22 xyxy 当且仅当 1 4 xy 即 A m B m时 取等号 所以不能否适当选取 A m B m的值 使得 0 hh 且 和 0 hh 且 同时成立 但等号不同时成 立 第二节第二节 基本不等式基本不等式 一 选择题 5 1 2009 天津卷理 设0 0 ab 若 11 333 ab ab 是与的等比中项 则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 1 4 考点定位 本小题考查指数式和对数式的互化 以及均值不等式求最值的运用 考查了 变通能力 答案 C 解析 因为333 ba 所以1 ba 4222 11 11 b a a b b a a b ba ba ba 当且仅当 b a a b 即 2 1 ba时 成立 故选择 C 2 2009 重庆卷文 已知0 0ab 则 11 2 ab ab 的最小值是 A 2B 2 2C 4D 5 答案 C 解析 因为 1111 2222 4ababab ababab 当且仅当 11 ab 且 即ab 时 取 号 二 填空题 3 2009 湖南卷文 若0 x 则 2 x x 的最小值为 答案 222 解析 0 x 2 2 2x x 当且仅当 2 2xx x 时取等号 三 解答题 4 2009 湖北卷文 本小题满分 12 分 围建一个面积为 360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用旧墙需维修 其它三面围墙要新建 在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为 45 元 m 新墙的造价为 180 元 m 设利用的旧墙的长度为 x 单位 元 将 y 表示为 x 的函数 6 试确定 x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 解 1 如图 设矩形的另一边长为 a m 则 2 y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知 xa 360 得 a x 360 所以 y 225x 0 360 3602 x x II 108003602252 360 225 0 2 2 x xx 10440360 360 225 2 x xy 当且仅当 225x x 2 360 时 等号成立 即当 x 24m 时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是 10440 元 第三节第三节 不等式组与简单的线性规划不等式组与简单的线性规划 一 选择题 1 2009 山东卷理 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 若目标函数 z ax by a 0 b 0 的是最大值为 12 则 23 ab 的最小值为 A 6 25 B 3 8 C 3 11 D 4 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 当直线 ax by z a 0 b 0 过直线 x y 2 0 与直线 3x y 6 0 的交点 4 6 时 目标函数 z ax by a 0 b 0 取得最大 12 x 2 2 y O 2 z ax by 3x y 6 0 x y 2 0 7 即 4a 6b 12 即 2a 3b 6 而 23 ab 23 23131325 2 6666 abba abab 故选 A 命题立意 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题 要求能 准确地画出不等式表示的平面区域 并且能够求得目标函数的最值 对于形如已知 2a 3b 6 求 23 ab 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答 2 2009 安徽卷理 若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx 分为面 积相等的两部分 则k的值是 A 7 3 B 3 7 C 4 3 D 3 4 答案 B 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分 ABC 由 34 34 xy xy 得 A 1 1 又 B 0 4 C 0 4 3 S ABC 144 4 1 233 设ykx 与34xy 的 交点为 D 则由 12 23 BCD SS ABC 知 1 2 D x 5 2 D y 5147 2233 kk 选 A 3 2009 安徽卷文 不等式组 所表示的平面区域的面积等于 A 2 3 B 3 2 C 3 4 D 4 3 解析 由 340 340 xy xy 可得 1 1 C 故S阴 阴 14 23 c ABx 选 C 答案 C 4 2009 四川卷文 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 解析 设生产甲产品x吨 生产乙产品y吨 则有关系 A x D y C O y kx 4 3 3 4 0 6 O 0 3 13 y x9 13 8 A 原 料 B 原 料 甲产品x吨 3x 2x 乙产品 y吨 y 3y 则有 1832 133 0 0 yx yx y x 目标函数yxz35 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标 经验证知 当x 3 y 5 时可获得最大利润为 27 万元 故选 D 5 2009 宁夏海南卷理 设 x y 满足 24 1 22 xy xyzxy xy 则 A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出可行域可知 当zxy 过点 2 0 时 min 2z 但无最大值 选 B 6 2009 宁夏海南卷文 设 x y满足 24 1 22 xy xy xy 则zxy A 有最小值 2 最大值 3 B 有最小值 2 无最大值 C 有最大值 3 无最小值 D 既无最小值 也无最大值 答案 B 解析 画出不等式表示的平面区域 如右图 由 z x y 得 y x z 令 z 0 画出 y x 的图象 当它的平行线经过 A 2 0 时 z 取得最小值 最小值为 z 2 无最大 值 故选 B 9 7 2009 湖南卷理 已知 D 是由不等式组 20 30 xy xy 所确定的平面区域 则圆 22 4xy 在区域 D 内 的弧长为 B A 4 B 2 C 3 4 D 3 2 答案 B 解析 解析如图示 图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求 易知图中两直线的斜率 分别是 1 2 1 3 所以圆心角 即为两直线的所成夹角 所以 11 23 tan1 11 1 23 所 以 4 而圆的半径是 2 所以弧长是 2 故选 B 现 8 2009 天津卷理 设变量 x y 满足约束条件 3 1 23 xy xy xy 则目标函数 z 2x 3y 的最小 值为 A 6 B 7 C 8 D 23 答案 B 考点定位 本小考查简单的线性规划 基础题 10 解析 画出不等式 3 1 23 xy xy xy 表示的可行域 如右图 让目标函数表示直线 33 2zx y 在可行域上平移 知在点 B 自目标函数取到最小值 解方 程组 32 3 yx yx 得 1 2 所以734 min z 故选择 B 8 6 4 2 2 4 15 10 551015 2x y 3 x y 1 x y 3 q x 2 x 3 7 h x 2 x 3 g x x 1 f x x 3 A B 9 2009 四川卷理 某企业生产甲 乙两种产品 已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨 B 原料 2 吨 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨 B 原料 3 吨 销售每吨甲产品可获得利润 5 万 元 每吨乙产品可获得利润 3 万元 该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨 B 原料不超过 18 吨 那么该企业可获得最大利润是 A 12 万元 B 20 万元 C 25 万元 D 27 万元 答案 D 考点定位 本小题考查简单的线性规划 基础题 同文 10 解析 设甲 乙种两种产品各需生产x y吨 可使利润z最大 故本题即 已知约束条件 0 0 1832 133 y x yx yx 求目标函数yxz35 的最大 值 可求出最优解为 4 3 y x 故271215 max z 故选 择 D 10 2009 福建卷文 在平面直角坐标系中 若不等式组 10 10 10 xy x axy 为常数 所表 11 示的平面区域内的面积等于 2 则a的值为 A 5 B 1 C 2 D 3 答案答案 D D 解析解析 如图可得黄色即为满足010101 yaxyxx的可行域 而与 的直线恒过 0 1 故看作直线绕点 0 1 旋转 当 a 5 时 则可行域不是一个封 闭区域 当 a 1 时 面积是 1 a 2 时 面积是 2 3 当 a 3 时 面积恰好为 2 故选 D 二 填空题 11 2009 浙江理 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小值是 答案 4 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 12 2009 浙江卷文 若实数 x y满足不等式组 2 24 0 xy xy xy 则23xy 的最小 是 命题意图 此题主要是考查了线性规划中的最值问题 此题的考查既体现了正确画线性 区域的要求 也体现了线性目标函数最值求解的要求 解析 通过画出其线性规划 可知直线 2 3 yxZ 过点 2 0时 min234xy 13 2009 北京文 若实数 x y满足 20 4 5 xy x x 则sxy 的最大值为 12 答案 9 解析 本题主要考查线性规划方面的基础知 属于基础知识 基本运算的考查 如图 当4 5xy 时 459sxy 为最大值 故应填 9 14 2009 北京卷理 若实数 x y满足 20 4 5 xy x y 则syx 的最小值为 答案 6 解析 本题主要考查线性规划方面 的基础知 属于基础知识 基本运算 的考查 如图 当4 2xy 时 246syx 为最小值 故应填6 15 2009 山东卷理 不等式0212 xx的解集为 答案 11 xx 13 解析 原不等式等价于不等式组 2 21 2 0 x xx 或 1 2 2 21 2 0 x xx 或 1 2 21 2 0 x xx 不等式组 无解 由 得 1 1 2 x 由 得 1 1 2 x 综上 得11x 所以原不等式的解集为 11 xx 16 2009 山东卷文 某公