历高考数学真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线1

1 历年高考真题考点归纳历年高考真题考点归纳 20102010 年年 第九章第九章 解析几何解析几何 第二节第二节 圆锥曲线圆锥曲线 1 1 一 选择题一 选择题 1 1 20102010 湖南文 湖南文 5 设抛物线 2 8yx 上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 答案 B 2 2 20102010 浙江理 浙江理 8 设 1 F 2 F分别为双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 若在 双曲线右支上存在点P 满足 212 PFFF 且 2 F到直线 1 PF的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 A 340 xy B 350 xy C 430 xy D 540 xy 解析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系 得出 a 与 b 之间的等量关系 可知答案选 C 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点 突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察 属中档题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 12 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点 F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B 命题意图 本试题主要考察椭圆的性质与第二定义 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B 为垂足 过 B 作 BE 垂直于 AA1与 E 由第二定义得 由 得 2 即 k 故选 B 4 2010 陕西文 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则p 的值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4 答案 C 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 2 p x 因为抛物线y2 2px p 0 的准线与 圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 5 2010 辽宁文 9 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该 双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 b a 直线FB的斜率为 b c 1 bb ac 2 bac 22 0caac 解得 51 2 c e a 6 6 20102010 辽宁文 辽宁文 7 设抛物线 2 8yx 的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 3 PAl A为垂足 如果直线AF斜率为3 那么PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 解析 选 B 利用抛物线定义 易证PAF 为正三角形 则 4 8 sin30 PF 7 7 20102010 辽宁理 辽宁理 9 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 31 2 D 51 2 答案 D 命题立意 本题考查了双曲线的焦点 虚轴 渐近线 离心率 考查了两条直线垂直的条 件 考查了方程思想 解析 设双曲线方程为 22 22 1 0 0 xy ab ab 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y b x a 垂直 所以1 b b c a A 即b2 ac 所以c2 a2 ac 即e2 e 1 0 所以 15 2 e 或 15 2 e 舍去 8 8 20102010 辽宁理 辽宁理 7 设抛物线 y2 8x 的焦点为 F 准线为 l P 为抛物线上一点 PA l A 为 垂足 如果直线 AF 的斜率为 3 那么 PF A 4 3 B 8 C 8 3 D 16 答案 B 命题立意 本题考查了抛物线的定义 抛物线的焦点与准线 直线与抛物线的位置关系 考查了等价转化的思想 解析 抛物线的焦点 F 2 0 直线 AF 的方程为3 2 yx 所以点 2 4 3 A 6 4 3 P 从而 PF 6 2 8 9 9 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 12 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab a b 0 的离心率为 3 2 过右焦点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若3AFFB 则 k 4 A 1 B 2 C 3 D 2 答案 B B 解析解析 1122 A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e 设 设 2 3at ct b t 222 440 xyt 直线 直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 代入消去 代入消去x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 解得 解得 2 1 2 s 2k 10 10 20102010 浙江文 浙江文 10 设 O 为坐标原点 1 F 2 F是双曲线 22 22 xy 1 ab a 0 b 0 的焦 点 若在双曲线上存在点 P 满足 1 FP 2 F 60 OP 7a 则该双曲线的渐近线方程为 A x 3y 0 B 3x y 0 C x 2y 0 D 2x y 0 答案 D 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几 何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 11 11 20102010 重庆理 重庆理 10 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平 行于另一条直线的平面内的轨迹是 A 直线 B 椭圆 C 抛物线 D 双曲线 答案 D 解析 排除法 轨迹是轴对称图形 排除 A C 轨迹与已知直线不能有交点 排除 B 12 12 20102010 山东文 山东文 9 已知抛物线 2 2 0 ypx p 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 与A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A 1x B 1x C 2x D 2x 答案 B 5 13 13 20102010 四川理 四川理 9 椭圆 22 22 1 xy ab ab 的右焦点F 其右准线与x轴的交点为 A 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 2 1 1 D 1 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点P 使得线段AP的垂直平分线过点F 即F点到P点与A点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 故e 1 1 2 答案 D 14 14 20102010 天津理 天津理 5 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 y 3x 它 的一个焦点在抛物线 2 24yx 的准线上 则双曲线的方程为 A 22 1 36108 xy B 22 1 927 xy C 22 1 10836 xy D 22 1 279 xy 答案 B 6 解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程 属于容易题 依题意知 22 222 3 69 27 b a cab ca b 所以双曲线的方程为 22 1 927 xy 温馨提示 选择 填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质 这部分内 容也是高考的热点内容之一 在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现 15 15 20102010 广东文 广东文 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 答案 B 16 16 20102010 福建文 福建文 11 若点O和点F分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点 点 P 为椭圆 上的任意一点 则OP FP A的最大值为 A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 00 xy 则有 22 00 1 43 xy 解得 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 00 1 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 1 OP FPx xy 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x 因为 0 22x 所以当 0 2x 时 OP FP 取得最大值 2 2 236 4 选 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数的 单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算能力 7 17 17 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 8 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点 P 在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通 过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos 1 FP 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 PFPF A4 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 PFPF A4 18 18 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 9 已知 1 F 2 F为双曲线 C 22 1xy 的左 右焦点 点P在 C 上 1 FP 2 F 0 60 则P到x轴的距离为 A 3 2 B 6 2 C 3 D 6 答案 B 8 19 19 20102010 四川文 四川文 10 椭圆 22 22 10 xy a ab b 的右焦点为F 其右准线与x轴的交点 为A 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 2 2 B 0 1 2 C 21 1 D 1 2 1 答案 D 解析 由题意 椭圆上存在点P 使得线段AP的垂直平分线过点F 即F点到P点与A点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 2 b c a c a c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 故e 1 1 2 20 20 20102010 四川文 四川文 3 抛物线 2 8yx 的焦点到准线的距离是 A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C 解析 由y2 2px 8x知p 4 又交点到准线的距离就是p 21 21 20102010 湖北文 湖北文 9 若直线yxb 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围 是 9 A 1 2 2 12 2 B 12 3 C 1 12 2 D 1 2 2 3 22 22 20102010 山东理 山东理 7 由曲线 y 2 x y 3 x围成的封闭图形面积为 A 1 12 B 1 4 C 1 3 D 7 12 答案 A 解析 由题意得 所求封闭图形的面积为 123 0 x x dx 111 1 1 3412 故选 A 命题意图 本题考查定积分的基础知识 由定积分求曲线围成封闭图形的面积 23 23 20102010 安徽理 安徽理 5 双曲线方程为 22 21xy 则它的右焦点坐标为 A 2 0 2 B 5 0 2 C 6 0 2 D 3 0 答案 C 解析 双曲线的 22 1 1 2 ab 2 3 2 c 6 2 c 所以右焦点为 6 0 2 误区警示 本题考查双曲线的交点 把双曲线方程先转化为标准方程 然后利用 222 cab 求出 c 即可得出交点坐标 但因方程不是标准形式 很多学生会误认为 2 1b 或 2 2b 从而得出错误结论 24 24 20102010 湖北理数 湖北理数 9 若直线 y x b 与曲线 2 34yxx 有公共点 则 b 的取值范围 是 A 1 12 2 B 1 2 2 12 2 10 C 1 2 2 3 D 12 3 答案 C 解析 曲线方程可化简为 22 2 3 4 13 xyy 即表示圆心为 2 3 半径为 2 的半圆 依据数形结合 当直线yxb 与此半圆相切时须满足圆心 2 3 到直线y x b 距离等于 2 解得12 212 2bb 或 因为是下半圆故可得12 2b 舍 当直线 过 0 3 时 解得 b 3 故12 23 b 所以 C 正确 25 25 20102010 福建理 福建理 A B C D 答案 C 解析 经分析容易得出 正确 故选 C 命题意图 本题属新题型 考查函数的相关知识 26 26 20102010 福建理 福建理 7 若点 O 和点 2 0 F 分别是双曲线 2 2 2 1 a 0 a x y 的中心和左焦点 点 P 为双曲线右支上的任意一点 则OP FP 的取值范围为 A 3 2 3 B 32 3 C 7 4 D 7 4 答案 B 11 解析 因为 2 0 F 是已知双曲线的左焦点 所以 2 14a 即 2 3a 所以双曲线方 程为 2 2 1 3 x y 设点 P 00 xy 则有 2 2 0 00 1 3 3 x yx 解得 2 2 0 00 1 3 3 x yx 因为 00 2 FPxy 00 OPxy 所以 2 000 2 OP FPx xy 00 2 x x 2 0 1 3 x 2 0 0 4 21 3 x x 此二次函数对应的抛物 线的对称轴为 0 3 4 x 因为 0 3x 所以当 0 3x 时 OP FP 取得最小值 4 32 31 3 32 3 故OP FP 的取值范围是 32 3 选 B 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线方程 考查平面向量的数量积的坐标运算 二次 函数的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运 算能力 27 27 20102010 福建理数 福建理数 2 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A 22 x y 2x 0 B 22 x y x 0 C 22 x y x 0 D 22 x y 2x 0 答案 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以圆的 半径为r 1 故所求圆的方程为 22 x 1 y 1 即 22 x 2x y 0 选 D 命题意图 本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法 属基础题 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 上海文 上海文 8 动点P到点 2 0 F的距离与它到直线20 x 的距离相等 则P的轨 迹方程为 答案 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知P的轨迹是以 2 0 F为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为y2 8x 2 2 20102010 浙江理 浙江理 13 设抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 0 2 A 若线段FA的中 点B在抛物线上 则B到该抛物线准线的距离为 12 解析 利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为2 B 点坐标为 1 4 2 所以点 B 到抛物线准线的距离为 3 2 4 本题主要考察抛物线的定义及几何性质 属容易题 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 理 理 15 已知抛物线 2 2 0 C ypx p 的准线为l 过 1 0 M且斜率 为3的直线与l相交于点A 与C的一个交点为B 若AMMB 则p 答案 2 命题意图 本题主要考查抛物线的定义与性质 解析 过 B 作 BE 垂直于准线l于 E AMMB M 为中点 1 BMAB 2 又斜 率为3 0 BAE30 1 BEAB 2 BMBE M 为抛物线的焦点 p 2 4 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 文 文 15 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线 l 过 M 1 0 且斜率为 的直线与 l 相交于 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p 解析解析 2 2 本题考查了抛物线的几何性质 本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB 33yx 代入 代入 2 2ypx 得得 2 3 62 30 xp x 又 又 AMMB 1 2 2 xp 解得 解得 2 4120pP 解得 解得 2 6pp 舍去 舍去 5 2010江西理 15 15 点点 00 A xy 在双曲线在双曲线 22 1 432 xy 的右支上 若点的右支上 若点A A到右焦点的距离等于到右焦点的距离等于 0 2x 则 则 0 x 答案 2 解析解析 考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化 读取a 2 c 6 a 2 c 6 r e d 3rd 2 000 23 2 a xxx c 6 6 20102010 安徽文 安徽文 12 抛物线 2 8yx 的焦点坐标是 答案 2 0 13 解析 抛物线 2 8yx 所以4p 所以焦点 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求p 或求出p后 误认为焦点 0 p 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 7 7 20102010 重庆文 重庆文 13 已知过抛物线 2 4yx 的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 2AF 则BF 答案 2 解析 由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF ABx 轴 故AF BF 2 8 8 20102010 重庆理 重庆理 14 已知以 F 为焦点的抛物线 2 4yx 上的两点 A B 满足3AFFB 则 弦 AB 的中点到准线的距离为 解析 设 BF m 由抛物线的定义知 mBBmAA 11 3 ABC 中 AC 2m AB 4m 3 AB k 直线 AB 方程为 1 3 xy 与抛物线方程联立消 y 得03103 2 xx 所以 AB 中点到准线距离为 3 8 1 3 5 1 2 21 xx 9 9 20102010 北京文 北京文 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 xy 的焦 点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 4 0 30 xy 10 10 20102010 北京理 北京理 13 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为 2 焦点与椭圆 22 1 259 的 焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 答案 4 0 30 xy 14 11 11 20102010 天津文 天津文 13 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的一条渐近线方程是 3yx 它的一个焦点与抛物线 2 16yx 的焦点相同 则双曲线的方程为 答案 22 1 412 xy 解析 本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程 属于容易题 由渐近线方程可知 3 b a 因为抛物线的焦点为 4 0 所以 c 4 又 222 cab 联立 解得 22 4 12ab 所以双曲线的方程为 22 1 412 xy 温馨提示 求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解 注意双曲线中 c 最大 12 12 20102010 福建文数 福建文数 13 若双曲线 2 x 4 2 2 y b 1 b 0 的渐近线方程式为 y 1 x 2 则 等于 答案 1 解析 由题意知 1 22 b 解得 b 1 命题意图 本小题考查双曲线的几何性质 待定系数法 属基础题 13 13 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 16 已知F是椭圆C的一个焦点 B是短轴的一个端点 线段 BF 的延长线交C于点D 且BF