北京高二数学期中测文人教

2006年北京市高二数学期中测试卷(文)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1命题：与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面。其中假命题的个数为（ ） A0个 B1个 C2个 D3个2两条异面直线在同一平面的射影是 （ ） A两条平行直线 B一直线和此直线外一点 C两相交直线 D以上都有可能3正方体六个面所在的平面把空间分成的部分是 （ ） A7 B14 C21 D274正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F分别是AA1、AB的中点，O是B1D1的中点，则EF与OB所成的角是 （ ） A30 B45 C60 D905设有两平面、l；l；。若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可以构成三个命题。这三个命题中，正确命题的个数是 （ ） A3个 B2个 C1个 D0个6如图1，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是 （ ） A B C D7若正方本8个顶点有4个恰是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是 （ ） A B C D8在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 （ ） ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 （ ） A直线 B圆 C双曲线 D抛物线10一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （ ） A8 B8 C4 D411在平行六面体交于一点A的三条棱上分别取中点E，F，G，则棱锥A-EFG的体积是平行六面体体积的 （ ） A B C D12三棱锥A-BCD中，AB=CD=a，截面MNPQ与AB、CD都平行，则截面MNPQ的周长是 （ ） A4a B2a C D周长与截面位置有关二、填空题（每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。）13若三棱锥P-ABC中过点P的三条侧棱两两垂直，长都是a，则底面上任一点到三侧面的距离之和为 ；正四面体ABCD的棱长为a，体内任一点P到四个侧面的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1+ d2 + d 3+ d 4= 。14已知m、n是不同的直线、是不重合的平面，给出下列命题： 若，m,n,则mn 若m，n，m,n，则 若m，n,mn，则 m、n是两条异面直线，若m,m,n,n,则 上面命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）15如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为 。图216建造一个容积为8m3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米为120元和80元，那么水池的最低造价为 元。三、解答题（本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后1小题14分，共74分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分） 如图3，P是 ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PEAE=BFFD。求证：EF平面PBC。图318（本小题满分12分） 四棱锥A-BCD中，ADBC，AEBE。（1）求证：A、B、C、D、E五点都在以AB为直径的同一球面上；（2）若CBE=90，CE=，AD=1，求B、D两点的球面距离。 19（本小题满分12分） 将矩形ABCD沿AE折成二面角D1-AE-B，其中E为CD的中点，已知AB=2，BC=1，BD1=CD1。 （1）求证：平面D1AE平面ABCE； （2）求三棱锥D1-ABE的体积； （3）求D1C与平面ABCE所成角的正切值。20（本小题满分12分） 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上一点，PEEC。已知PD=，CD=2，AE=。求：（1）异面直线PD与EC的距离；（2）二面角E-PC-D的大小。21（本小题满分12分） 如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。 （1）证明PA平面EDB； （2）证明PB平 EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小。 图422（本小题满分14分） 如图5所示，斜边为AB的RtABC,过A作PA平面ABC，AEPB，AFPC，E、F分别为垂足。（1）求证：PB平面AEF；（2）若PBA=BAC=45，求二面角A PB - C的大小；（3）若PA=AB=2，BPC=，求为何值时，最大，最大值是多少？ 图5参考答案一、选择题1B 2D 3D 4A 5C 6C 7A 8C 9D 10B 11D 12B二、填空题13a， 14 15 161760三、解答题17方法1：如图甲，连AF并延长交BC于M， 。由平面几何可知： 。 方法2：如图乙，在平面PAD内作EQAD，则。 。 第17题图 18（1）证明：取AB中点O，连OE、OD、OC、BD， AD底面BCDE，ADDB，OA=OB=OD，因ACBC，OC=OB=OA，同理OE=OB，即A、B、C、D、E五点均在以AB为直径的球面上；（2）解：ACBC，AD面BCDE，BCDC，同理BEDE。又CBE=90，BCDE为矩形，AB=2，DOB=，R=1，B、D的球面距离为。19（1）证明：如图，取AE、BC中点G、F连结D1G、D1F、GF、D1E。 GFBC，D1B=D1C，BCD1F，BC平面D1GF，BCD1G。又D1E=D1A，D1GAE，D1G平面ABCE。又D1G平面D1AE，平面D1AE平面ABCE。（2）解：AB=2，BC=1，AD1=D1E=1AD1D1E，D1G=，。 第19题图（3）解：连结GC，则D1CG即为D1C与平面ABCE所成角。GF=在RtD1GC中，tanD1CG=。20（1）如图，因PD底面ABCD，故PDDE，又因ECPE，且DE是PE在面ABCD内的射影，由三垂线定理的逆定理知ECDE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线。设DE=x，因DAECED，故（负根舍去）。从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1；（2）过E作EGCD交CD于G，作GHPC交PC于H，连结EH。因PD底面，故PDEG，又因EGCD，CDPD=D，从而EG面PCD。因GHPC，且GH是EH东面PDC内的射影，由三垂线定理知EHPC。因此EHG为二面角的平面角。在面PDC中，PD=。因PDCGHC，故GH=PD。 第20题图又EG= 故在RtEHG中，GH=EG，因此EHG=，即二面角E - PC - D的大小为。21如图（1）证明，连结AC，AC交BD于O，连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点。在PAC中，EO是中位线，PAEO，而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA平面EDB；（2）证明：PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDCPD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC 同样由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC。而DE平面PDC，BCDE 由和推得DE平面PBC。而PB平面PBC，DEPB。又EFPB且DEEF=E，所以PB平面EFD；（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C-PB-D的平面角。 第21题图由（2）知，DEEF，PDDB。设正方体ABCD的边长a,则PD=DC=a，BD=，。在RtPDB中,DF=。在RtEFD中，。所以，二面角C-PB-D的大小为。22（1）证明：先证BC平面PAC，再证AF平面PBC，即可证PB平 AEF；（2）解：AEF是所求二面角的平面角，设AB=a,AE=a，AC=a,PC=,sinAEF=;(3)