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利用直线参数方程t的几何性质解题山东平邑县第一中学（273300）李志勤过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段的数量，由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为，则性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则，反之亦然。 在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求和的长。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数），代入圆方程，得，整理得（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，所以（2）解方程得，所以，应用二：求点的坐标例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数）， （1）设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则，所以，将t的值代入（1）式，当t4时，M点的坐标为；当t4时，M点的坐标为，综上，所求M点的坐标为或. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，得：，整理得，设这个二次方程的两个根为，由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1）
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