第二章 控制系统的数学模型1

自动控制原理 郑州轻工业学院 电气信息工程学院自动化教研室 主讲 姜素霞 第二章控制系统的数学模型 2 1引言2 2控制系统的时域数学模型2 3控制系统的复数域数学模型2 4控制系统的结构图2 5信号流图与梅森增益公式 控制理论研究的是控制系统的分析与设计方法 问题 针对一个宏观的被控对象 如何设计一个好的控制系统 方法 首先要充分了解被控对象 内部元器件结构 运动规律 执行机构 然后把它们的特性分别用数学语言描述出来 数学描述 然而 一个完整的自动控制系统不仅仅是各种元器件的简单连接 而且还包含信号之间的传递 转换 处理过程 因此为了便于分析与设计 首先就要建立系统的数学模型 2 1引言 数学模型 用来描述系统中输入 输出变量以及内部各种信号 变量 之间传递和转换关系的数学表达式 建立数学模型之后 利用一些数学的计算推导方法 就可以分析得到系统内部某些物理量随时间变化的规律 从而就可以设计出满足一定性能指标的控制器 2 1引言 一 数学模型的特点 2 建立合理的数学模型 对于系统的深入研究十分重要 实际系统是复杂多样的 因此建立数学模型时要结合研究目的 实际条件 达到目标 合理建模 正确简明 建模原则 1 相似性 许多实际系统 不管是机械的 电气的 热力学的 生物学的 经济学的等等 其数学模型可能是相同的 即运动规律相似 2 准确性和简化性 综合考虑 对于同一个物理系统而言 数学模型可以不唯一 即可以根据实际条件 精度等要求 用不同复杂程度的模型来描述 二 数学模型的分类 2 1 静态模型 在静态条件下 各变量不随时间发生变化 描述各变量之间关系的数学方程 在量值上有固定的对应关系 2 动态模型 在动态过程中 各变量的各阶倒数不为零 各变量间的关系用微分方程或差分方程描述的数学方程 三 建立模型的方法 2 1 分析法 又叫理论推导法 就是对系统各部分的运动机理进行分析 根据它们所依据的物理规律或化学规律 分别列写相应的运动方程 然后再整合起来构成整个系统的数学方程 2 实验法 又叫系统辨识法 就是人为地给系统施加某种测试信号 记录其输出响应 然后选择适当的数学表达式逼近 主要用于系统运动机理复杂 不便与分析或不可能分析得到的情况 四 数学模型常用的几种表现形式 时域 微分方程 差分方程 状态方程复域 传递函数 结构图 信号流图频域 频率特性曲线 经典控制理论 微分方程 差分方程 传递函数结构图 信号流图等等现代控制理论 状态方程 线性微分方程 性能指标 传递函数 时间响应 频率响应 拉氏变换 拉氏反变换求解 估算 估算 计算 傅氏变换 S j 频率特性 五 由数学模型求取系统性能指标的主要途径 拉氏反变换 如果组成系统的元部件的输入 输出特性都是线性的 并能用线性微分方程描述其输入输出关系称之为线性系统 大多数控制系统在一定的限制条件下 都可以用线性微分方程来描述 线性系统的研究具有重要的实用价值 本节要点 利用微分方程建立系统的数学模型 其实质就是根据系统内部机理建模 并由此了解常用数学模型的特点 2 2控制系统的时域数学模型 11 1 线性系统微分方程的通用形式 输出信号 输入信号的最高求导次数 12 T1 T2 Tn为时间常数 反映惯性的大小K0为传递系数 或静态放大系数 分析系统运动的因果关系 确定输入 输出变量 做出合理的假设 忽略次要因素 简化系统 从输入端开始 按照信号的传递顺序 根据各变量所遵循的物理定理 列写各部分的原始方程 列写中间变量及其他变量的因果式 即辅助方程 联立方程 消去中间变量 写出只包含系统输入 输出变量的微分方程 将系统的微分方程变换成标准形式 2 建立微分方程的一般步骤 例2 1建立R L C电路的数学模型 忽略输出端负载效应 解 消去中间变量i t 整理得到系统的微分方程为 线性定常二阶微分方程 令 3 建立线性系统的微分方程举例 基本元件是电阻 电感 电容 基本定律是电压 电流定律 变量 R L C i t ur t uc t 例2 2弹簧 质量 阻尼器机械运动系统 求质量m在外力F作用下 位移y t 的运动方程 Fm为质量的质量力 Ff为阻尼器的阻尼力 Fk为弹簧的弹性力 分别表示为 代入式 2 1 整理得 线性定常二阶系统 解 输入量 输出量为位移y t 由牛顿定律以及力平衡定理可得如下方式 基本元件是质量 弹簧和阻尼器 基本定律是牛顿运动定律和力矩平衡定律 变量 F y t k m f 2 1 另外 机电 热工和化工对象等其它系统同样可以通过物理 化学机理建立数学模型 解 1 为输入量 电机转速为输出 负载 电学 力学 3 若电感L很小 可以忽略 系统方程简化为 线性定常二阶系统微分方程 2 如果以电动机转角为输出量 系统微分方程为 一阶系统 线性系统输入量与输出量之间的数学表达式可以用一个线性定常系数微分方程表述 具有以下特点 物理 化学过程不同的系统 但数学模型的推导过程和建立的数学模型却可以很相似 微分方程的阶次与系统中储能元件的个数和要求的精度有关 方程中的系数是与系统结构和元件参数有关 具有一定的物理意义 上述系统是按线性系统理论建立的微分方程 称之为线性系统或非本质非线性系统 本质非线性系统在第八章中介绍 说明 19 微分方程 1 描述时间域系统动态性能的数学模型 2 初始条件下 求解微分方程得到系统输出响应3 方法比较直观 方程阶次较高时 求解困难 4 系统参数 结构变化 必须重新求微分方程 5 分析和设计系统不够方便 传递函数 1 通过拉氏变换法来求解微分方程 即可得到系统在复数域中输入输出关系的数学模型 2 仅用于线性定常系统 不仅表征系统的动态特性 还可以研究系统结构或参数变化对系统性能的影响 传递函数是经典控制理论中最基本 最重要的概念之一 2 3控制系统的复数域数学模型 20 1 传递函数的定义 零初始条件下 线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比 传递函数的一般表达式 微分方程一般形式 拉氏变换 首1标准型 尾1标准型 传递函数 定义 21 2 传递函数的特点 1 G s 是复变量s的有理真分式函数 且n m 2 G s 只跟系统自身的结构参数有关 与输入信号无关 3 G s 与系统微分方程直接关联 置换即可 4 G s 的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应 即g t L 1 G s 5 G s 与s平面上的零极点图相对应 单位脉冲响应 零点用 表示 极点用 表示 传递函数的首1标准型 零极点式 传递函数的尾1标准型 时间常数式 系统增益 分子多项式的根zi称为传递函数的零点 分母多项式的根pj称为极点 K 称为传递系数或根轨迹增益 23 零初始条件下定义的G s 反映系统特性有两方面的含义 零输入作用是指t 0以后 输入才作用于系统 系统输入量及各阶导数在t 0时的值均为零 输入作用加入之前 系统相对静止 系统输出量及各阶导数在t 0时的值也为零 说明 1拉氏变换的定义 1 阶跃函数 2常见函数的拉氏变换 2 指数函数 复习拉普拉斯变换有关内容 1 复习拉普拉斯变换有关内容 2 3 正弦函数 复习拉普拉斯变换有关内容 3 2 单位阶跃 1 单位脉冲 3 单位斜坡 4 单位加速度 5 指数函数 6 正弦函数 7 余弦函数 重点掌握 复习拉普拉斯变换有关内容 4 3拉氏变换的几个重要定理 2 微分定理 5 复位移定理 1 线性性质 3 积分定理 4 实位移定理 6 初值定理 7 终值定理 复习拉普拉斯变换有关内容 5 4用拉氏变换方法求解微分方程 L变换 例 系统微分方程 L 1变换 已知线性定常系统的微分方程式为 拉氏变换为 则系统传递函数为 因此 通过拉氏反变换即可求得在输入信号r t 作用下的输出信号c t 复习拉普拉斯变换有关内容 6 5求系统的输出响应 从数学变化关系上看 传递函数是由系统的微分方程经过拉氏变换后得到的 而拉氏变换只是一种线性积分变换 是将实数从t域变换到复数S域 因此 传递函数的形式仅仅取决于系统的结构和参数 而与外加输入信号无关 线性微分方程 传递函数 复变量S 微分算子d dt 解 零初始条件下取拉氏变换 例2 4试列写RLC电路的传递函数 参见例2 1 已知 例2 5求例2 3电枢控制直流电动机系统的传递函数 设初始条件为零 对上式拉氏变换 传递函数 传递函数为 忽略电枢回路电阻R和转动惯量J 微分方程为 解 已知系统的微分方程 3 2 34 本次课程小结 传递函数的特点 传递函数的定义 传递函数的标准形式 首1标准型 尾1标准型 35 本次课后作业 1 2 2 a b 2 5 上节内容回顾 控制系统时域模型控制系统复域模型控制系统频域模型 传递函数及其特点 微分方程 传递函数 频率特性曲线 首1标准型 尾1标准型 本节课程重点 几种典型环节及其传递函数表达式控制系统结构图的基本组成 结构图的等效变换基本规则 2 3 2典型环节的传递函数 典型环节 任意一个自动控制系统是由许多元件 以不同结构和不同的运动原理构成的 研究各种元件的运动规律和数学模型 并将它们划分成几种典型的数学模型 这些典型的数学模型即典型环节 常见典型环节比例环节 惯性环节 积分环节 微分环节 振荡环节 滞后环节 不同的物理系统可以是同一种环节 同一个物理系统也可能是由不同的环节组成 比例环节 放大环节 常见物理系统 机械杠杆 无弹性形变的 放大器 非线性和时间延迟可忽略 电路分压器等 输出信号成比例的复现输入信号 不失真 不延迟 传递函数 常数 结构图 特点 输出量等于输入量在时间上的积分 T为时间常数 表示积分强度 T越小 积分作用越强 微分方程 2 积分环节 无差环节 传递函数 当输入信号突然除去时 积分停止 但输出量仍维持不变 因此积分环节具有记忆功能 分为理想微分环节和实际微分环节理想微分环节 仅理论上存在 实际中不能单独实现如纯微分环节 一阶微分和二阶微分环节 传递函数 微分方程 3 微分环节 超前环节 又因为一阶微分 二阶微分环节的传递函数不满足n m的条件 实际工程中不会单独存在 特点 输出量等于输入量在时间上的微分 T为时间常数 实际微分环节 复合微分环节 满足n m的基本条件 可以付诸实际使用 如右图所示的RC微分电路 传递函数 4 惯性环节 周期环节 特点 有储能元件 对突变的输入信号不能立即复现微分方程 输出与输入的拉氏变换 T为时间常数 体现响应速度T越大 响应速度越慢 结构图 振荡环节 二阶环节 有两个贮能元件的系统弹簧阻尼系统 机械旋转系统 RLC电路 常见物理系统 称为自然频率 或无阻尼振荡频率 微分方程 在运动过程中能量相互交换 使环节的输出带有振荡特性 含有两个储能元件 属于二阶系统 T为时间常数 截塔 为阻尼比 传递函数为 为滞后时间 其传递函数为 常见物理系统 传输延迟 测量点与混合点之间信号延迟轧钢板的厚度控制系统晶闸管整流装置流体管传输和热交换系统等 滞后环节 延迟环节 当输入信号加入系统后 其输出端要间隔一定的时间后才能复现输入信号 实际工程中常见 微分方程 46 一般来说 任何复杂的系统 都可以看作是6种典型环节的组合 原理方框图 传递函数 描述元部件或系统变量之间动态特性的因果关系 称为动态结构图 简称结构图 如何得到系统的结构图 直观认识 由于控制系统是由许多种元器件组成的 而每一种元器件的传递函数都是典型环节中的一种或多种组合形式 当各个器件的传递函数确定之后 就可以画出各自的结构图 然后 再根据元器件之间彼此的关联与信号传递关系及方向 用带箭头的线段将它们连接起来 就可以构成了一个完整的控制系统结构图 2 4控制系统的结构图 47 1 信号线 带有箭头的直线 箭头表示信号的传递方向 直线旁标记出信号的时间函数或象函数 2 4 1结构图的组成 4个基本单元 结构图包括 信号线 分支点 引出点 比较点 函数方框 2 4控制系统的结构图 48 2 分支点 引出点 测量点 在同一条信号线上 另外引出一条信号或测量信号的位置 同一位置引出的信号其性质 大小完全一样 3 函数方框 环节 方框内部写入传递函数 表示对信号进行的数学变换 49 注意量纲和符号 相邻的比较点可以互换 合并 分解 并服从代数运算的交换律 结合律和分配律 求和点可以有多个输入 但输出是唯一的 4 比较点 求和点 综合点 1 用符号 或 及相应的信号箭头表示 2 箭头前方的 或 表示加上该信号或减去该信号 50 结构图的绘制步骤 1 首先考虑负载效应 分别列写各个元器件的原始微分方程 2 写出各部分的传递函数 并用方框图的形式比表示 3 根据各个元器件的信号流向 把所有的传递函数用信号线连接起来 所以 控制系统结构图实质上就是原理方框图与数学方程两者的结合 既避免了原理图所缺少的定量计算 又弥补了纯数学模型的抽象分析 而且 从结构图上可以看出系统中变量之间的关系 更便于求出整个系统的传递函数 所以 结构图是一种非常方便的分析控制系统的数学模型 51 例2 9分析图示电枢控制直流电动机控制系统由几种典型环节组成 求出每一部分的传递函数 并绘制系统结构图 解 系统可以分为三个部分 电枢回路 感应反电势 电磁转矩 此部分包括 比例环节 惯性环节 E 52 比例环节 积分环节 练习 试绘制如下图示电路系统的结构图 例2 10绘制图示电路系统的结构图 对上面4个公式进行拉氏变化 求出各自传递函数 解 选取一些中间变量列方程 整理化简 并画出各部分结构图 根据信号流向 连接各部分结构图 结构图是系统原理图与数学方程两者的结合 具有以下特性 是系统动态特性的一种数学模型 描述系统中各元件间的相互关系 系统中信号的传递和变换 脱离了物理系统的模型 是系统数学模型的图解形式 只能进行加减乘除运算 微分方程则要通过拉氏变换成代数方程 才能用结构图描述系统的动态特性 可以将复杂原理图简化 了解每个元器件对系统性能的影响 说明 2 4 2结构图的基本连接形式及等效简化 复杂系统的结构图也是错综复杂 但其都是由三种最基本的连接方式演变而来的 即 串联 并联 反馈 因此任意一个复杂的结构图都可以通过一系列等效化简 简化成另外一个简单的结构图 而简化前后系统的传递函数保持不变 2 4 2结构图的基本连接形式及等效简化 结构图的简化可以将多环节 互相交叉的结构图转化为简单形式 简化前后系统传递函数不变 以下五种典型情况最常使用 1 串联方框的简化 2 并联方框的简化 3 反馈连接方框的简化 5 引出点移动 4 比较点的移动 变换后 2 并联方框的简化 多个方框并联 总传递函数等于各方框传递函数之代数和 3 反馈连接方框的简化 C s G s E s E s R s H s C s C s G s R s H s C s G s R s G s H s C s 4 比较点移动 比较点后移 C s G s R s B s 移动前 5 引出点移动 引出点前移 移动前 C1 s G s R s C2 s G s R s 移动前后输出是等效的 交换比较点或合并比较点 C s E1 s V2 s R s V1 s V2 s R s V2 s V1 s 动画演示 结构图的基本形式 串联 并联 反馈 结构图的基本形式 上节课程内容回顾 典型环节的传递函数 1 比例环节 2 微分环节 3 积分环节 4 惯性环节 5 振荡环节 6 滞后环节 上节课程内容回顾 结构图的组成 4个基本单元 上节课程内容回顾 串联 并联 反馈 上节课程内容回顾 上节课程内容回顾 G s 本次课程重点 1 利用结构图等效化简的方法求系统传递函数 2 信号流图的组成及画法 结构图等效变换方法 1三种典型结构可直接用公式 2相邻比较点可互换位置 可合并 3相邻引出点可互换位置 可合并 注意事项 1不是典型结构不可直接用公式 2相邻引出点和比较点 不可以互换位置 结构图等效变换方法 化简原则 1 把相互交叉的支路拉开 使比较点 引出点向同类移动 4 化简后尽量变成规范的串联 并联 反馈连接形式 2 把相互重叠的支路拉开 对比较点 引出点作用分解 3 移动时 比较点与引出点不能出现交叉现象 G1 G2 G3 H1 错 无用功 G2 向同类移动 比较点移动 G1 引出点移动 a b 你能写出最后结果吗 比较点引出点作用分解 例2 11结构图化简 1 结构图化简 方法一 引出点前移 并联合并 负反馈化简 串联合并 正反馈化简 串联合并 2 结构图化简 方法二 引出点后移 串 并联合并 负反馈化简 串联合并 正反馈化简 3 结构图化简 方法三 比较点前移 引出点后移 串联合并 并联合并 负反馈化简 等效为单位反馈系统 4 其它等价法则 例2 12双RC网络的结构图简化 练习 利用结构图化简方法求闭环传递函数 2 5信号流图与梅森公式 信号流图的组成结构图对于图解表示控制系统是有效的 但是当控制系统非常复杂时 结构图的简化过程就变得很麻烦 而且容易出错 信号流图是一种利用图示的方法描述线性代数方程组的方法 也是表示复杂控制系统中变量间关系的另一种图示法 利用统一规定的公式 可以比结构图更容易求得系统的传递函数 信号流图 描绘了信号从系统中一点流向另一点的情况 且表明了各信号之间的关系 与结构图一一对应 输入节点 只有输出支路 代表系统的输入量 源节点 输出节点 只有输入支路 代表系统的输出量 阱节点 混合节点 有输入又有输出的节点 比较点或引出点 组成 信号流图由节点 支路和传输组成节点 表示系统的变量或信号 支路 连接两个节点的定向线段 用支路增益表示两个变量的关系 信号沿箭头单向传递 传输 两个节点之间的复数增益 也叫支路增益 前向通路 从输入信号到输出信号的通路上 任何节点只通过一次的路径 回路 起点与终点重合 在信号传递过程中任何节点仅经过一次的闭合通路 不接触回路 相互间没有任何公共节点的回路 通路 沿信号传递方向穿过各条相连支路的路径 信号流图与结构图的对应关系 信号流图结构图源节点输入信号阱节点输出信号混合节点比较点或引出点支路信号线支路增益环节传递函数前向通路回路互不接触回路 2 5 2信号流图的绘制 1 结构图 信号流图 结构图中比较点 引出点 在信号流图中用小圆圈标出 得到各个节点 结构图中的方框 在信号流图中用支路代替 方框中的传递函数用支路增益表示 输入 输出信号单独用一个节点表示 节点只表示各个变量的相加关系 结构图中比较点处的负号 在信号流图中要写到支路增益中 2 5 2信号流图的绘制 注意 节点数目要尽量少 若方框图中比较点前没有引出点 但其后有引出点 只需要在比较点和引出点处设一个节点即可 若方框图中比较点前有引出点时 需要在引出点和比较点处各设一个节点 之间支路增益为 当遇到负反馈时 要把负号写在反馈回路的支路增益中 系统信号流图 例2 12结构图 信号流图 例2 13绘制结构图对应的信号流图 控制系统结构图 例2 14信号流图 结构图 将微分方程通过拉氏变换 得到S的代数方程 每个变量指定一个节点 将方程按照变量的因果关系排列 连接各节点 并标明支路增益 2 根据系统微分方程绘制信号流图 例2 15 绘制图示信号流图 解 微分方程 2 5 3梅森公式 Mason公式 第k条前向通路的余子式 把 中与第k条前向通路接触的回路去除 剩余回路构成的子特征式 特征式 所有单独回路的回路增益之和 两两互不接触回路的回路增益乘积之和 互不接触回路中 每次取其中三个的回路增益乘积之和 前向通路的条数 第k条前向通路的总增益 e 1 a b c d f g h C s R s C s R s 1 信号流图 解 三个回路 例2 16已知系统信号流图 求传递函数 两条前向通路 课后作业 3 2 10 a c 2 11 上节内容回顾 化简原则 1 把相互交叉的支路拉开 使比较点 引出点向同类移动 4 化简后尽量