地震怎么计算

地震力到底是怎么算出来的？Part.1很多人买房子的时候都会说这个房子抗震，那个房子不抗震。房子抗震的前提，当然是结构工程师在设计它的时候合理的考虑了抗震要求。那什么才叫满足抗震要求呢？或者说，结构工程师是怎么确定房子能不能抗震呢？设计房子的时候，需要考虑多大的地震力呢？最简单的情况是一层房子，比如说，我们有下面这个一层的小房子，那设计这个小房子的时候需要考虑多大的地震力呢？首先，我们要知道两个数据：房子的质量和房子的刚度。质量好理解，就是房子有多重，比如我们这个一层的小房子重300吨，也就是300000千克。刚度比较复杂一点，我们这个小房子的刚度是200千牛每毫米，什么意思呢？意思就是如果我拿一个变形金刚那么大的千斤顶来顶这个房子的房顶，当施加到200千牛的推力的时候，房子的房顶刚好侧移1毫米。刚度跟什么有关系呢？简单说，柱子越多，柱子越粗，就越难推动这个房子，所以刚度就越大。反过来，柱子越少，柱子越细，就容易被推动，刚度也就越小。另外呢，刚度还跟高度有关系，同样的柱子数量，同样的柱子粗细，一个房子比较高，相对就高瘦一些，下盘也就不那么稳了，刚度也就小一些，另一个房子比较矮，又矮又胖，这就难推动了，刚度也就会大一些。确定了这两个之后呢？接下来就是计算它的自振周期。这个小房子的自振周期是0.243秒。什么意思呢？大家都听说过军队齐步走过桥把桥振塌的小故事，原因就是齐步走的频率刚好贴近这座桥的自振频率，进而引发了共振。我们的小房子自振周期是0.243秒，也就是说，如果一群人站在房子边上一起推房子，大家动作一致，每0.243秒推一下，那这小房子就会产生共振，大家也就一块儿作死了。然后呢，我们需要知道这个房子所在场地的有关地震信息。简单说，同样的房子，是建在汶川、唐山，还是建在济南、上海，需要考虑的地震力完全不同。在我们的这个小例子里，假设这个小房子建在汶川，那么就是8度设防，第一组。都是在汶川，是建在软泥地里，还是建在硬石头上，抑或是建在普通土壤上，这些也会影响地震作用。到底属于哪种，如何考虑，我们需要地质工程师提供这块场地的相关地质资料。我们的这个小例子里，地质工程师告诉我们这块场地属于普通土壤，或者说，场地类别属于第III类。知道了8度，第一组，第III类这些信息，我们再拿出我们的国家抗震规范，就能确定我们这个场地的反应谱了。查表！结构工程师必备技能！也就是说，我们的最大地震影响系数最大值是0.16，场地特征周期是0.45秒。这些数据有什么用呢？根据规范里的公式，我们就能得到这块场地的反应谱了。这个过程比较复杂，简单说，就是根据我们上面的这些数值，对于我们这块场地，对于我们这个小房子，我们就得到了一个反应谱。同样的房子，不同的场地，反应谱也不一样。对于建筑结构设计，每一个房子，都有属于自己的反应谱。我们的这个小房子，反应谱是这样算的：所用到的三个基本参数就是我们上面得到的最大地震影响系数0.16、特征周期0.45和阻尼比0.05。阻尼比是建筑结构的固有特性，一般的房子我们可以取0.05，带有阻尼器啊、屈曲支撑啊这些特殊部件的房子，我们需要额外考虑不同的阻尼比。我们的小房子没有这些东西，所以取0.05。这个反应谱其实得出的是一个地震影响系数 和周期 T 之间的关系， 和 T 之间的函数图象是这样的：这又有什么用呢？我们上面已经知道了，我们这个小房子的自振周期是0.243秒。0.243秒对应什么呢？当横坐标 T 等于0.243秒的时候，纵坐标 等于0.16，也就是说，我们这个房子的地震影响系数就是0.16。这又有什么用呢？我们房子的质量是300吨，乘以9.8的重力加速度，相当于重力为2942千牛。我们的地震力呢？就等于2942千牛乘以这个0.16，也就是471千牛。这也就是我们设计的时候所需要考虑的地震力，地震来了，就相当于有471千牛的力在推房顶。换言之，我所有的柱子加起来，要足以抵抗这471千牛的力。否则的话，柱子不够结实，这471千牛的力加上来，柱子就折断了，房子也就塌了。如果柱子不够多呢？不够结实呢？那就得加粗加多了。但是请注意，柱子加粗加多之后，刚度就变了，不再是200千牛每毫米了。有了新的刚度值，以上的过程就需要从头再来一遍，得到一个新的地震力，再去比较新的设计里这些柱子够不够结实。如果还不行，继续修改，继续尝试，直到满足为止。我们再来看一下刚度的概念，施加200千牛的力，房顶侧移1毫米。现在我已经知道，地震的时候，相当于施加了471千牛的力，成比例放大，471是200的2.354倍，那我现在的位移就是2.354毫米。也就是说，近似理解，在地震的时候，房顶会被地震来回晃动 2.354 毫米。地震下的位移也是一个很重要的指标，如果位移过大，很可能房子就被晃散架了。对于一般的框架结构，规范的限值是550分之一。假设我们这个房子的高度是3米，那么550分之一就是5.455毫米。我们的小房子在地震下的位移值是2.354毫米，小于规范要求的5.455毫米，所以是满足要求的。如果不满足要求，还是柱子得加多加粗，以上全部过程从头再来。以上就是最最简单的地震力确定过程。如果不是一层的小房子，而是三层的房子呢？八十层的呢？为什么这个过程看上去不怎么精确呢？有没有什么更好的方法？这些问题我们会在后续的 part 里继续讨论。思考题：地震力的大小跟建筑物的质量和刚度直接相关，刚度则跟结构柱子的数量、粗细有关，跟结构墙体的长度、厚度有关。本来是屋顶，现在我堆上好多土，做成了屋顶菜园，就像舌尖上的中国第一季那一集，这会对地震力造成什么影响？普通土的重量大约为1.8吨每立方米，100平方米的屋顶菜园，假设土层厚10厘米，那就是多增加了18吨的重量。如果我装修的时候敲掉两根柱子，又有什么影响？如果我在结构墙体上开门洞呢？如果我在结构柱子和墙体上打洞穿水管呢？地震力到底是怎么算出来的？Part.2我们上一篇说到，我们小房子的地震力是471千牛。地震来了，就相当于有一个变形金刚那么大的千斤顶在水平方向推房顶，施加的推力是471千牛。但我们也知道，这只是相当于而已。实际地震的时候，并没有变形金刚在推房子，那房子又是怎么倒的呢？地震是如何作用到房子上的呢？想象这样一个场景，你站在原地不动，另一个人用力推你的肩膀，是不是很容易站不稳呢？再换一个场景，你站在公交车上，公交车突然刹车，你是不是也很容易站不稳呢？这两种情况对你而言，是不是等效的呢？有人推你，你脚在地面上不动，肩膀被人向后推，所以站不稳。公交车急刹车，脚跟着公交车地面减速，但上半身还维持着之前高速运动的惯性，所以也站不稳，这就是一个惯性力的概念。变形金刚推房子，就类似于别人推你；地震来了，就类似于把房子放在一个巨大的公交车上，然后公交车急刹车。实际上，并没有力直接作用到到房子上，而是房子的基础随着地面运动，而上半部分还保持静止，由于惯性就产生了作用力。问题来了，假设你站在公交车上，然后公交车急刹车，你站不稳的程度，或者说，你受到的惯性力的大小跟什么有关呢？事实上，起作用的只有一个指标，就是公交车的加速度。公交车刹车踩的轻柔，减速减的慢，你就不会有太大的感觉；刹车刹的狠，你就会被晃一下；急刹车一脚踩到底，估计你就趴地上了。加速度的大小如何表示呢？像有些跑车或者性能车上，不光有时速表、转速表，还会有加速度表，实时显示现在车辆的加速度，比如 0.5g，-0.3g 之类的。以重力加速度为单位，数字越大，说明加速度越大，坐在里面的人受到的惯性力也越大，也就是常说的加速时候的推背感越强烈，减速时候的惯性力也越大。地震也是一样，对于我们的小房子，质量一定，刚度一定，影响地震力大小的只有一个因素，就是地面运动的加速度。拿我们的这个小房子来说，重量是2942千牛，乘以0.16，得到的地震力是471千牛。换言之，这其实就相当于地面加速度为 0.16g。地震中的地面运动加速度，我们可以用仪器实际测量，这些第一手的测量结果，就是我们进行抗震分析的基础。比如下面这些数据就是1995年阪神地震的实测地面加速度，每隔0.02秒测量一次，共测量了2400次，共持续48秒，加速度的单位为 g。把这些数据表示成图像，横坐标为时间，纵坐标为加速度。什么意思呢？我们前面的例子里，相当于地面加速度是 0.16g，也就是说，我们近似认为，地震到来的这48秒内，地面加速度一直是 0.16，没有变化。但实际上呢，真实地震加速度的变化非常不规律，其实是上面的这个图形，一会儿是+0.1，一会儿+0.5，一会儿又是0，一会儿又是-0.4，随时间变化非常剧烈。换言之，我们近似认为一直是 0.16g，其实是过于简化了这个问题。由于地震加速度的来回变化，实际上这是一个复杂的动力学系统。如果我们认为加速度一直是0.16g，那么房顶的位移就是我们之前得到的2.354毫米。但现在看来，加速度并不是恒定的0.16，而是一直在变化，那么我们的房顶位移也就不再是2.354毫米，也是一直在变化。那么我们已知地面加速度的变化，如何求出相应的房顶位移的变化呢？这个过程就复杂了，有很多种数值计算方法，包括 Central Difference Method、Newmarks Average Acceleration Method、Newmarks Linear Acceleration Method 等等。我们继续我们的小例子，用 Newmarks Average Acceleration Method 来求解，假设地震就是上面 1995 年的阪神地震。首先我们得进行相应的单位变换，方便起见，所有的单位都转化为千牛、毫米和秒。然后就可以欢快的进行数值运算啦。有了Matlab，小伙伴们再也不用担心我的算数了。计算结果是这样的，下面的蓝色曲线就是我们的地面加速度，红色的就是相应的房顶位移。我们上一篇的例子，如果蓝色曲线是恒等于0.16的水平线，那么红色的曲线就是恒等于2.354的水平线；我们这一篇的例子，蓝色曲线是这样不断变化的，那么红色的曲线也相应不断变化。房子最大位移是多少呢？红色曲线的最大值是20.469毫米，最小值是-21.667毫米。也就是说，我们的这个小房子，如果是在1995年的阪神大地震中，来回晃动的最大位移将会达到21.7毫米。问题在于，我们的房子不是在大阪，而是在汶川。别着急，我们可以找到2008年汶川地震的实测记录，然后根据这个地震记录进行计算。步骤完全一样，只是把阪神地震的数据换成汶川地震的数据而已。事实上，阪神地震比较猛烈但是短暂，汶川地震持续时间非常长，为了方便读图，我只截取了前50秒的地面加速度和房顶位移。整个地震过程中，最大位移为 7.832 毫米。这个7.832 毫米又有什么用处呢？首先，我们要核对它是不是超过了规范的限值。我们上一篇提到，限值为550分之一，也就是 5.455 毫米。7.832 大于 5.455，也就是说，我们的房子在真实的汶川地震作用下，位移已经超过了最大限值。我们需要重新修改设计，直到满足要求为止。其次，我们知道刚度的概念，当施加200千牛的水平力的时候，房顶位移为1毫米。那我们现在已经知道最大位移是 7.832 毫米，相当于施加了多少的水平力呢？很简单，等比例换算一下，这时候相对应的水平力是1566千牛。也就是说，此时我们房子的所有柱子加起来必须要承受1566千牛的作用力。那问题就来了，我们上一篇得到的结果是471，这一篇的结果是1566，差得也太多了。实际上，我们这里的分析都是基于弹性范围内，但实际上在汶川地震这样的强震下，结构会进入弹塑性状态，也就是说刚度 k 会发生变化。在做好抗震构造措施的前提下，地震力会做一定的延性折减。另外，我们这里只取了一个记录数据，不排除数据本身有误差，实际的工作中，应该选取多个记录来源的多条地震波，逐一分析，然后再综合考虑。同样的小房子，上一篇我们用的是查表查规范的反应谱法，这一篇我们用的是数值计算的动力时程法。这两者之间有什么联系吗？规范里反应谱的参数又是如何确定的？我们会在后续的内容里继续探讨。笔记：1.地震力不是直接作用在结构上的力，而是由于惯性这一物体自身的固有物理属性产生的，由于地面加速度和结构沿高度的加速度有差异而产生的作用力，顶部阻尼器是减小结构上部的加速度，隔震则是减小地面加速度，给结构整体足够的响应时间。2.反应谱法是简化的动力时程法，动力时程分析是一种计算精度更高，计算量更大的计算方法。(设计概念依然是最重要的，好的结构形式胜过一切。)3.什么是好的结构形式？目前我觉得是“用更少的代价获得更多的力学性能”地震力到底是怎么算出来的？Part.3第二篇我们讨论了动力时程分析。所谓的动力时程分析，也就是对于我们这个小房子，已知一条真实的地震波，如何求解在这个地震作用下房子的位移情况。比如我们以1995年阪神地震为例，如果我们的小房子经受一场跟阪神地震一模一样的地震，那它的位移就是图中的红色曲线。横坐标是时间，而纵坐标就是每个时刻的位移值。我们注意到，对于每一个时刻而言，都有一个相对应的位移值。对于这每一个时刻的位移值，也都有相对应的作用力。位移乘以刚度，就是相对应的地震作用力，也就是说。比如我们上一篇里就通过7.832毫米这一位移值，得到了1566千牛这一地震作用力。再回到第一篇，我们是如何求房子的自振频率呢？房子的自振频率是，变换一下形式，也就是。也就是说，我们的地震作用力其实是。作用力除以质量等于加速度，我们把质量除到等号左边，这个式子就变成了。这又是什么意思呢？我们已经知道，对于我们的这个小房子，自振频率 是一个定值而房子的位移 u 就是我们上面的红色曲线。把这条曲线等比例放大 的平方倍，我们就得到了房子的地震加速度曲线。比如说，对于某一个时刻，房子的位移等于2.352毫米，把位移带进上面的公式，我们就能得到这一时刻的房子的地震加速度。这一时刻的房子加速度是1568毫米每秒的平方，重力加速度是9800毫米每秒的平方，所以此时刻的房子水平方向相当于承受 0.16 倍的重力加速度，也就是 0.16 g。同样的道理，我对每一个时刻都做这样的处理，2.352毫米变到 0.16g，7.832毫米变到 0.53g这样一来，我们就得到了房子本身所受的加速度随时间的变化。最上面的就是地面的加速度，中间是房子的位移，这两个正是我们上一篇的内容。而最下面的则是房子的加速度，是由房子的位移等比例放大而来的。也就是说，在地震作用下，房子的位移越大，其等效的加速度也就越大，换言之，所受的地震力也就越大。也就是说，我们所应该考虑的地震力的大小，就是最下图这条黑色曲线再乘上房子的质量。房子的质量是一个定值，所以这条黑色曲线所代表的，就是我们所应该考虑的地震力的变化。注意到，最上面的蓝色曲线，地面的加速度，最大值大约在0.8左右。而最下面的黑色曲线，房子的加速度，最大值达到了1.47。换言之，地震作用在这个房子里被放大了。也就是说，房子插在地面上，地面的最大加速度是 0.8g，而房顶的加速度则达到了1.47g。这是由什么因素决定的呢？为什么房子的最大加速度是 1.47g ？而不是 2g？或者 0.5g？哪个参数起到了决定性的作用？换言之，是哪个参数决定了地震作用在房子里是被放大还是缩小？要弄清楚这个问题，我们先得说清楚怎么从第一条蓝色曲线得到的第二条红色曲线。而第三条黑色曲线只是把第二条红色曲线等比例缩放了而已。我们知道，第一条蓝色曲线代表的是地面的加速度，我们用 ug 的二阶导数来表示，第二条红色曲线代表的是房顶的位移，我们用 u 来表示。这两者之间的关系是这样的：我们在第二篇里的 Matlab 代码，事实上就是在解这个微分方程，已知每个时刻的，求解每个时刻的 u。这里面的 m 是质量，k 是刚度，而 c 则是阻尼。质量与加速度相关，阻尼与速度相关，刚度和位移相关，这三者之和应该与外力平衡，而外力就是地面的加速度引起的惯性力。阻尼，其中的就是我们第一篇里提到的阻尼比。而我们上面也得出了。把 c 和 k 的表达式都带进微分方程，我们得到两边都消去质量 m，我们就得到了。真相已经浮出水面了，在地面加速度和房子加速度之间的微分方程里，参数只有两个，一个是自振频率 ，另一个是阻尼比 。我们已经知道，对于大多数建筑结构，阻尼比都是0.05，因此，起作用的独立参数只有一个，就是自振频率。换言之，同样的地震来了，同样的地面加速度，为什么不同的房子反应不同？为什么不同的房子的加速度不同？原因只有一个，那就是它们的自振频率不同。频率是周期的倒数，也就是说，自振周期直接决定了房子的地震作用的大小。也就是说，刚度会有影响，质量会有影响，但是，真正起作用的是它们的比值。如果我等比例放大刚度和质量，保持它们的比值不变，那么我还是会得到相同的地震等效加速度。我们上面的红色曲线和黑色曲线都不会变。还是以我们的这个小房子为例，第一篇里，我们已经知道它的自振周期是0.243秒，它的地震位移是上面的红色曲线，地震等效加速度是上面的黑色曲线。所谓的地震等效加速度，也就是地震力与自身重力的比值。阪神地震作用下，小房子的最大位移是 21.7 毫米，最大地震力与自身重力之比是 1.47。如果我改变房子的刚度和质量的比值，让它的自振周期变成0.5秒呢？这个时候，它的三条曲线是这样的：蓝色曲线永远不会变，都是阪神地震的实测地面加速度。但是红色曲线和黑色曲线都变了。这时候的最大位移达到了 132.74 毫米，最大地震力跟自身重力的比值达到了 2.137。如果把房子的自振周期变成1秒呢？这时候变化就更大了，最大位移达到了371.92毫米，最大地震力和自身重力的比值为1.497。咦？跟0.5秒的相比，最大位移从132.74变大到了371.92，而最大地震加速度怎么从2.137减小到了1.497呢？黑色曲线和红色曲线不是等比例缩放吗？没错，地震等效加速度和位移之间是等比例缩放，但注意，缩放系数是自振频率的平方，也就是，缩放系数跟周期有关。所以，虽然都是缩放，但是周期0.5秒时的缩放系数大，而周期1秒时的缩放系数小。所以，132.74乘以一个比较大的缩放系数能够得到2.137，而371.92虽然比132.74大，但需要乘以一个比较小的缩放系数，所以只得到了1.497。如果把房子的自振周期改到 2 秒呢？这时候，最大位移为391.93毫米，而最大地震力与自身重力的比值是0.394。有的看官说了，最大位移391毫米，都快40厘米了，真的会这么大吗？这是1971年美国 San Fernando 地震中 Olive View 医院一楼的角柱，混凝土几乎全部破坏，纵筋严重变形，整个二层以上的建筑物发生了60厘米的水平位移。怎么样？地震的力量真的是超乎想象的。我们回顾一下我们的这个小例子，自振周期分别为 0.5、1、2 秒时，最大地震力与自身重力的比值分别是 2.137、1.497、0.394。什么意思呢？当阪神地震来的时候，所有自振周期为0.5秒的房子，都要承受相当于自身重力2.137倍的地震力；所有自振周期为1秒的房子，都要承受1.497倍自身重力的地震力；而所有自振周期为2秒的房子，则都要承受0.394倍自身重力的地震力。那你觉得，就这三种房子而言，哪种更为不利呢？哪种需要承受的地震作用相对最大呢？对于一般的房子而言，自振周期跟什么有关呢？最最简单的估计，自振周期跟高度或者层数成正比。也就是说，三层的房子，周期大概0.3秒，二十层的房子，周期大概2秒。根据我们的结果，如果是阪神地震，所有的三层房子都要承受2倍自身重力的地震力，而所有的二十层房子要承受0.4倍自身重力的地震力。你觉得哪种房子震害会严重一些呢？1995年阪神地震震害主要集中在低周期段，所以三层房子的震害要比二十层的严重。实际的震害也证明了这一点，多层建筑破坏严重，而高层的破坏相对较轻。有句话说超高层建筑反而是地震中最安全的地方，也是这个意思。周期非常大的超高层建筑，地震力与自身重力的比值会非常小。需要注意的是，不同地震与不同地震的特性不同。如果我们拿另一个地震的实测数据来计算，得到的可能就是截然不同的结果，比如0.3秒的房子最大地震加速度是0.4，2秒的房子最大地震加速度反而是2。也就是说，这种地震作用下，三层房子承受的地震力是自身重力的0.4倍，而二十层的房子则要承受自身重力2倍的地震力。像1985年墨西哥城大地震就属于这种比较少见的类型，震害偏向高周期段。所有的低层建筑几乎毫发未损，而高层建筑的震害非常严重，多座钢结构高层建筑发生整体垮塌。震后的景象令人乍舌，小砖房、破瓦房都好好的，钢结构的高层反而倒了。既然如此，我们如何考虑这种不同地震之间的差异呢？我怎么知道我设计的这个房子将来可能要经受哪样的地震呢？众位看官，且听我们下回分解地震力到底是怎么算出来的？Part.4上一篇我们讨论了如何从地震的实测地面加速度入手，得到房子的等效地震加速度，也就是所需要承受的地震力。地震作用的大小，其实只跟房子的自振周期有关。比如说，同样都是1995年的阪神地震，房子的自振周期不同，其地震力与自身重力的比值就完全不同。如果房子的自振周期是0.243秒，那么最大地震力与自身重力的比值为1.47。如果自振周期是0.5秒，最大地震力与自身重力的比值就是2.14。如果自振周期是1秒，最大地震力与自身重力的比值就是1.50。如果自振周期是2秒，最大地震力与自身重力的比值就是0.40。也就是说，我们得到了四组数据，0.243秒对应1.47，0.5秒对应2.14，1秒对应1.50，2秒对应0.40。把这组数据画成图像，横坐标是自振周期，纵坐标是该自振周期对应的最大地震力与自身重力的比值。这位看官说了，你这不科学啊，我们只是知道横坐标0.5秒和1秒这两个点的情况，并不知道这两点之间的情况啊！没错，所以我们要逐个逐个计算，对于每一个周期，都计算出相对应的最大地震力与自身重力的比值来。换言之，我们现在有了四组数据，我们要把这个计算过程重复许多许多遍，进而得到许多许多组数据。我们要求出对应于 0.01秒、0.02秒、0.03秒、0.04秒、0.05秒每一个自振周期值所对应的等效地震加速度来。这位看官又说了，那这计算量也太大了，重复这么多次，求这么多的数据，得算到什么时候！没关系，我们有计算机，计算机最不怕的就是重复计算。基于我们之前第二篇的 Matlab 代码，稍加改动，我们就可以求出这些数据点来。最终的结果，我们得到了大量的自振周期与等效地震加速度相对应的数据。这个就是这些数据点描成的图像。对比一下我们的几个例子：横坐标0.5，纵坐标对应2.1；横坐标1，纵坐标1.5；横坐标2，纵坐标对应0.4。这个图像就是这次阪神地震的反应谱，可以很方便的用来求解建筑结构的地震力。比如说我们的这个小房子，我们很容易知道它的自振周期是0.243秒，然后我们去这个反应谱里，找到横坐标0.243，然后看对应的竖坐标是多少，恩，是1.47，所以最大地震力就等于房子重力的1.47倍。有没有觉得很熟悉呢？没错，我们兜了一个大圈子，又回到第一篇的内容上来啦。在第一篇里，我们就是用这种方法，横坐标0.243，找到纵坐标0.16的。呃，为什么我们这里的反应谱这么不光滑，而规范上的看上去那么简洁呢？规范里的这些参数、公式是怎么来的呢？规范里的反应谱为什么是这个样子的？是不是一群砖家拍脑门乱想的？事实上，我们这里得到的反应谱，只是阪神地震这一次地震在这个地震记录仪所在位置的反应谱，而规范需要给出的反应谱，是某个地区的反应谱。规范的反应谱需要考虑这个地区所可能发生的各种地震的综合情况，而不仅仅只考虑某一次地震。比如说，我想要给出西雅图地区的反应谱，首先我得收集西雅图及其附近地区的历次地震实测记录，然后求出每一次实际地震的反应谱。图中的每一条蓝线，都是一次实际地震的反应谱。有了这么多的反应谱，我再对它们取平均值，得到图中的红色曲线，这代表了该地区发生过的实际地震的平均情况。然后，对于红色的这条平均反应谱，基于不同的抗震目标，我们要考虑适当的缩放，这还牵扯到概率理论、可靠度等等方面。这之后，为了方便使用，我们要给出一个简洁的数学表达式，也就是说，我们要调整规范的公式、参数，使得规范得出的蓝色反应谱接近于处理之后的实际反应谱。至于如何让规范的数学表达式接近实际情况，这就是八仙过海各显神通了。比如中国规范的表达式是这样的：而美国规范则是这样规定的：其实呢，道理都是一样的，追求的也是一个目标，只不过是细节不同而已。不仅仅是等效的地震加速度，位移和速度其实也可以表达成反应谱的形式。对于同一个自振周期而言，位移、速度、加速度是等比例缩放的，所以我们可以把这三个反应谱画在同一张图形里。横坐标是自振周期，纵坐标是该自振周期对应的最大速度，斜45度坐标是该自振周期对应的最大加速度，斜135度坐标是该自振周期对应的最大位移。四向坐标都采用对数坐标。而灰色、蓝色、红色不同的反应谱，则是我们在根据不同的设防目标进行适当的调整。到此为止，我们算是把这个一层小房子折腾的差不多了。这位看官说了，搞了半天才只能应付一层小房子，两层的怎么办？不同楼层会不会互相影响？三层的呢？别着急，我们下一篇就开始向三层进军。地震力到底是怎么算出来的？Part.5今天我们正式要从一层平房向三层楼房进军了。同样的，我们需要知道质量和刚度这两个最基本的参数。假设我们的三层楼房每一层的质量都一样，刚度也都一样。也就是说，每一层的柱子数量、粗细都一样，并且还都跟我们原来的一层小房子一样。我们前面说过，地震作用大小的决定性因素是结构的自振周期。最大地震力与自身重力的比值是多少，直接跟自振周期的大小相关。所以，对于三层楼房来说，第一步就是确定它的自振周期。对于一层房子来说，自振频率直接由质量和刚度确定，。对于三层房子来说，好像就没有那么简单了，这里面的质量怎么取呢？刚度又该怎么取值呢？让我们回顾一下我们是如何定义一层房子的质量和刚度。假设一个变形金刚在推房顶，让房顶发生了1毫米的位移，此时变形金刚需要的推力是200千牛，这个使得房子发生单位位移的推力就叫做刚度。而变形金刚把房子推动了1毫米，总共有300吨的质量发生了1毫米的位移，所以我们的分析中质量取为300吨。注意，我们这里讨论质量和刚度的前提，是房顶发生了1毫米的单位位移。对于一层房子来说，只有一个楼层，就只有这一种可能性，所以很好办。三层房子就复杂了，一共有三个楼层，每个楼层都可以独立的移动，我们怎么定义质量和刚度呢？应该让哪个楼层发生1毫米的单位位移呢？质量的概念比较容易理解，我们先从质量入手。首先，我们看一层发生单位位移的情况，也就是上图最左边这种情况。请问这个时候有多少质量发生了移动，有多少质量没有发生移动？如果只有一层发生单位位移，那么其实只有一层的300吨发生了移动，二层、三层的质量并没有移动。也就是说，对于一层发生单位位移的这种情况来说，二层、三层的质量没有跟着移动，相当于有效质量是0。我们把这种情况的三个楼层的有效质量写成一行，按一层、二层、三层的顺序，也就是300吨、0、0。同样的，如果只有二层发生位移，那一层和三层的质量也不会移动，同样写成一行，0、300吨、0。只有三层发生位移，一层和二层的质量不移动，这时候的情况是0、0、300吨。然后，我们按照一层、二层、三层发生单位位移的顺序，把这三行排列起来，组成一个三乘三的矩阵：300 0 00 300 00 0 300这个矩阵就叫做有效质量矩阵，什么意思呢？比如说，第一行第一列代表一层发生单位位移时一层发生移动的质量，第二行第三列代表二层发生单位位移时三层发生移动的质量。接下来就是刚度了，相信您也猜到了，刚度同样也是一个三乘三的矩阵。同样的三种情况，假想我有三个独立的变形金刚，擎天柱负责推第一层、大黄蜂负责推第二层、铁皮负责推第三层，请问要想把房子推成这三种形状，他们需要分别施加多大的推力呢？第一种情况，只有第一层发生1毫米的位移，这时候负责一层擎天柱需要付出400千牛的推力，因为不仅仅需要把一层的柱子推弯，还得把二层的柱子也推弯。注意，这时候负责二层的大黄蜂并不只是看热闹，为了把二层保持在原来的位置，大黄蜂需要施加反方向的200千牛推力，这样二层才不会跟着一层一起移动。而因为大黄蜂已经把二层顶住了，三层就不会移动了，所以负责三层的铁皮边儿上看着就行了。同样，第二种情况，大黄蜂需要400千牛才能把二层推动1毫米。而为了防止一层和三层跟着二层一起移动，擎天柱和铁皮都需要付出反方向的200千牛，保证把一层和三层固定在原来的位置。第三种情况，因为三层就是顶层了，再往上就没有柱子了，所以铁皮只需要付出200千牛的推力。为了防止二层跟着一块儿动，大黄蜂需要反方向200千牛把二层顶住。因为大黄蜂已经把二层固定了，所以负责一层的擎天柱就可以歇一歇了。跟质量一样，我们把这三种情况下三个楼层的受力写成矩阵的形式：400 -200 0-200 400 -2000 -200 200这也就是我们这个三层房子的刚度矩阵。对于一层房子，质量是300000千克，刚度是200千牛每毫米。而对于三层房子，质量和刚度是下面的矩阵：知道了质量和刚度，我们就可以求自振频率了。对于一层房子，事实上，我们需要找满足这个等式的值。对于三层房子，虽然质量 m 和刚度 k 都变成矩阵，但意思都一样，我们仍然需要寻找满足条件的 值。事实上，满足这个等式的 值不是一个，而是三个。我们可以挨个验证一下。事实上，这是求两个矩阵的特征值和特征向量的过程。特征值就是自振频率的平方，而特征向量有什么用，我们会在后面继续提及。有了自振频率，我们就可以求自振周期了。对应这三个自振频率，我们也有三个自振周期值。最最简单的理解，我们可以认为第一周期可以近似代表房子的特性。也就是说，我们这个三层房子的自振周期可以近似看作0.547秒。而我们一层房子的自振周期是0.243秒，注意到我们三层房子的周期大概是一层房子的2.25倍，这也就是我们在第三篇里提到的房子的周期可以近似认为与层数或者高度成正比。有了质量矩阵，有了刚度矩阵，有了第一周期，我们就可以确定这个三层房子的地震力了。具体是什么方法呢？跟一层房子有什么区别呢？且待我们下回书里说端详。题图来源：File:Reaction wall.JPG（可以直观的看到千斤顶推房子.）地震力到底是怎么算出来的？Part.6上一篇我们求出了三层房子的自振周期，跟一层房子0.243秒的周期相比，三层房子的第一周期为0.547秒。知道了第一周期，我们如何确定地震力呢？我们在 Part.1 里用反应谱的方法求出了对应于0.243秒的地震影响系数是0.16，也就是地震力相当于自身重力的0.16倍。对于三层房子，也是同样的方法。我们三层房子的第一周期是0.547秒，同样的地点，同样的反应谱，当横坐标周期等于0.547的时候，纵坐标地震影响系数等于0.134。也就是说，三层房子总的地震力等于总的重力的0.134倍。三层房子的总质量是900吨，总重力就是900吨乘以重力加速度，总的地震力就是总重力乘以0.134，等于1185千牛。在 Part.1 里，我们求出来的一层房子的地震力是471千牛，也就是说，一层房子的柱子需要承担471千牛的侧向水平力。而我们三层房子的总地震力是1185千牛，这意味着三层房子的柱子需要承担多少水平力呢？三层柱子、二层柱子、一层柱子需要承担的水平力大小一样吗？对于一层房子来说，只有一个可以水平移动的楼层，所以求出来的471千牛的地震力只能全部作用在这个楼层上。而对于三层房子来说，三个楼层都可以单独水平移动，也就是说，每个楼层都要承担一部分的水平地震力，三个楼层加起来，刚好等于总的地震力1185千牛。也就是说，我们需要把这1185千牛的地震力分配到三个楼层上，是平均分配吗？还是有其它的分配方法？注意到，对于楼层来说，地震作用的大小取决于两个参数：楼层的质量和楼层的高度。作为地面运动引起的惯性力，质量越大，惯性力越大；高度越高，惯性作用越强。所以，地震力分配到各个楼层是按照楼层的质量与高度的乘积进行分配的。比如说，质量以每层的质量为单位，那么每层的质量都是1，高度以层高为单位，那么一层的高度是1，二层的高度是2，三层的高度是3。质量乘以高度，一层是1，二层是2，三层是3。三个数加起来等于6，所以一层的地震力是6分之1，也就是0.167，二层是6分之2，也就是0.333，而三层是6分之3，也就是0.5。按照求出来的分配系数，把总的1185千牛分配到三个楼层。一层分得六分之一，也就是198千牛；二层分得三分之一，也就是395千牛；三层分得二分之一，也就是593千牛。知道了每一层的地震力，下一步就是要看每一层的柱子需要承受多大的水平力了。对于一层房子来说，只有一层柱子，所有的471千牛都由这一层柱子来承担。同样的道路，对于三层房子来说，情况略微复杂一些。第三层柱子要承受三层楼板处的593千牛，而第二层的柱子要承受第三层的593再加上第二层的395千牛，总共988千牛，而第一层柱子要承担其上的593+395+198千牛，也就是1185千牛。这也就是每一个楼层的柱子需要承担的水平力。我们还记得楼层刚度的概念，三层房子每一层的刚度都是200千牛每毫米，根据我们上面得出的楼层柱子需要承担的水平力，我们就能得出每一层的弹性位移。一层柱子承受1185千牛的水平力，所以会发生5.93毫米的楼层水平位移；二层柱子承受988千牛的水平力，水平位移为4.94毫米；三层柱子承受593千牛的水平力，水平位移为2.96毫米。知道了每一个楼层的水平位移，我们就能跟规范的限值比较一下了。我们还记得，规范的限值是550分之1，假设我们的房子层高是4米，那么550分之一就是7.27毫米，我们的楼层位移5.93、4.94、2.96都是满足要求的。同时，我们还能知道每个楼层相对于地面的绝对位移，也就是把其下各楼层的相对水平位移累加起来。比如一层相对地面的绝对位移是5.93毫米，二层则是5.93+4.94=10.86毫米，三层的绝对位移则达到了13.83毫米。对于我们的这个三层房子来说，以上就是最最简单的确定地震力的方法。因为我们根据重力和地震影响系数求出来的总地震力，其实也就是底层柱子需要承受的水平力，也就是例子里的1185千牛，所以中国的抗震规范把这种方法叫做底部剪力法。在ASCE7里，它叫做 Equivalent Lateral Force Method，等效侧向水平力法。这位看官说了，对于我们的这个三层房子，我们不是算出来三个周期嘛，为什么这种方法只用了第一周期？那两个周期有什么用？这种方法看上去太简略了，不太精确啊，有没有更好的方法呢？比如给一个阪神地震的地震波，我们怎么得出这个三层房子在阪神地震下的位移和地震力呢？且听下回分解。地震力到底是怎么算出来的？Part.7对于我们的三层房子，我们用求质量矩阵和刚度矩阵的特征值的方法得出了房子的自振频率，进而确定了房子的自振周期。质量矩阵和刚度矩阵的意思，我们前面已经说过了。这两个矩阵的特征值再开方，就是自振频率。同时，我们还得出了这两个矩阵的特征矩阵。那么自振周期和特征矩阵有什么进一步的用处呢？注意到，通过等比例缩放特征矩阵的列，我们使得特征矩阵的第三行值都是1。这个特征矩阵是什么意思呢？如果我们取特征矩阵的任意不相同的两列，比如第一列和第二列，第二列和第三列，其中之一转置之后，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以剩下的那一列，那么结果都是0。只有当我们取同样的列的时候，比如第一列的转置，乘以质量矩阵，再乘以第一列，这时候结果才不为0。这也就是正交的概念，所谓的 orthogonality。把特征矩阵的转置，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以特征矩阵，我们就能得到 principal 质量矩阵或者刚度矩阵。换言之，特征矩阵可以帮助我们把这个三层房子的各种可能的位移模式，变成三个基本位移模式的叠加，这三个基本的位移模式，也就是所谓的振型。三乘以三的特征矩阵，第一行代表第一层，第二行代表第二层而第一列代表第一振型，第二列代表第二振型对应于特征矩阵，我们就得到了三层房子的三种振型。三种振型下三个楼层的相对位移，就对应着三乘三的特征矩阵里的九个数值。这就是这个三层房子的三种基本振动模式，任何可能的变形模式都能表示成这三种振型的叠加。比如说，房子的振动模式是一层位移0.3、二层位移0.5、三层位移1，换言之，还是变形金刚推房子，一层推到位移为0.3，二层的位移为0.5，三层的位移为1，然后三个变形金刚一起松手，让房子自由振动。那么这种变形其实等于0.833倍的第一振型，加上0.122倍的第二振型，再加上0.045倍的第三振型。第一振型的0.445、0.802、1，乘以0.833后等于0.371、0.668、0.833；同样，第二振型乘以0.122，得到-0.152、-0.068、0.122；第三振型乘以0.045，得到0.081、-0.101、0.081。把每个振型的第一层加起来，也就是0.371加-0.152加0.081，就等于0.3。同样，三个振型的二层加起来，等于0.5；三个振型的三层加起来，等于1。也就是说，这其实是一个三元一次方程组。我们把0.3、0.5、1这组值转化成了三个基本振型的线性叠加。同样的道理，任意的位移模式都可以转化为三个振型的叠加。比如-1、-0.5、1这组位移，其实等于0.084倍第一振型，加0.882倍第二振型，再加上0.035倍第三振型。我们可以对比一下上面的这两个例子。虽然都是由三种振型叠加而成，但这三种振型占的份额并不相同。第一个例子里第一振型占了绝大部分份额，而第二个例子里则是第二振型起到了主导作用。这是因为，我们的第一个例子的振动模式非常接近于第一振型，而第二个例子的振动模式则是接近于第二振型。我们还可以举更加随机的例子，比如三个楼层的位移为1、-1、1，这时候可以说第三振型占了很大一部分，但第一振型的贡献也不能忽略。到现在为止，通过特征矩阵和基本振型，我们已经可以把三个楼层任意的位移分解成三种振型的叠加了。这又有什么用呢？和地震有什么关系呢？现在我们需要一点逆向思维了。已知房子的位移，我可以用这种方法转化成三种振型的叠加。但我们实际上并不知道地震下房子的位移。反过来想，如果我们能求出地震下每一种基本振型的位移，再把它们按一定的系数合理的叠加起来，不就能得到地震下整个房子的位移情况吗？比如说，如果我知道某个地震作用下，第一振型对应的位移是0.371、0.668、0.833，第二振型对应的是那我把这三种振型叠加起来，我就能知道房子在地震下的位移是0.3、0.5、1。换言之，只要我知道 0.833、0.122、0.045 这一组叠加系数，我就能求出 0.3、0.5、1 这一组位移模式。这也就是振型分解法的基本思路。问题又来了，如何知道这三种振型在地震下的位移是多少呢？如何知道每种振型占多大的份额呢？怎么确定振型的叠加系数呢？众位看官，且听我们下回分解地震力到底是怎么算出来的？Part.8猪小宝今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来，0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度刚度除以质量，然后再开平方，得到的就是频率。发现了什么没有？没错，我们得到的就是房子的三个自振频率。我们再回过来看我们的特征矩阵是如何得到的。注意到，我们人为规定了的特征矩阵的第三行等于1。事实上，这只是一个人为规定，并没有特别的意义。我们完全可以规定让第一行都等于1，或者第二行都等于1，或者某一行都等于0.5。比如说，我让第二行都等于1，此时特征矩阵和 principal 质量矩阵、刚度矩阵就变成了这样。这时候，principal 矩阵还是只有主对角线上不为零，但与上面相比，数都变了。但是，数变了不要紧，把它们一一对应起来，得到的还是自振频率。也就是说，单纯的缩放特征矩阵的某一列或者某几列，并不会影响到我们的结果。那问题就来了，对于特征矩阵来说，任意的缩放某一列或者某几列，可以得到无数的结果。我们如何给出一个相对统一的标准呢？换言之，我们 normalize 特征矩阵的时候，比较合理的目标是什么呢？比如说，我们可以让目标是主质量矩阵的对角线都是单位质量，也就是都是1。换言之，我们要让上面主质量矩阵里的 0.859、2.789、0.552 这些数都变成 1。怎么做到呢？其实也很简单，特征矩阵的第一列除以主质量矩阵的第一项的平方根，第二列除以主质量矩阵第二项的平方根把特征矩阵的各列分别缩放，我们就得到了这个新的特征矩阵。用这个新的特征矩阵，我们就得到了 normalize 之后的质量矩阵和刚度矩阵。这种 normalize 的方法，一般叫做 mass orthonormal set。注意到，得到的质量矩阵 Mn，主对角线都为1，而刚度矩阵 Kn，主对角线的值都是自振频率的平方，比如132.042是第一频率11.491的平方，1036.639是第二频率32.197的平方。接下来，我们还得再定义一个叫做 influence vector 的向量。什么意思呢？意思就是当地面发生静态的单位位移的时候，各个楼层会发生多少位移？有看官说了，这不是废话吗，地面发生1的单位位移，不就是整个房子平移了嘛，每一层都是1呗。不错，因为我们只考虑水平方向的地震，暂时还没有考虑竖直方向的地震，所以对于绝大多数房子来说都是如此。所以呢，我们这个三层房子的 influence vector 就是 1、1、1。把我们的初始的质量矩阵跟这个影响向量相乘，我们就得到了一个质量的向量。什么意思呢？这个向量表示的就是当房子整体平移的时候，每个楼层处发生平移的质量。对于绝大多数情况来说，其实很简单，得到的就是每一层的质量。说了半天，我们终于快说到振型分解了。我们上一篇说道，所谓的振型分解，就是把房子分解成三个基本振型的叠加。到底分解的是什么呢？答案就在这里，我们其实分解的是质量。也就是说，整个房子的质量是一层0.3、二层0.3、三层0.3。我把这些质量合理的分配到三个振型里去，比如对于一层来说，第