2017全国各地中考数学压轴题汇编之1

1 2017 全国各地中考数学压轴题汇编之一全国各地中考数学压轴题汇编之一 1 2017 江苏淮安 28 14 分 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y 的图像与坐标轴交于 A B C 三点 其中点 A 的坐标为 3 0 点 B 的坐 2 1 3 xbxc 标为 4 0 连接 AC BC 动点 P 从点 A 出发 在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 C 作匀速运动 同时 动点 Q 从点 O 出发 在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 B 作匀速运动 当其中一点到达终点时 另一点随之停止运动 设运动时间为 秒 连接 PQ t 1 填空 bc 2 在点 P Q 运动过程中 APQ 可能是直角三角形吗 请说明理由 3 在轴下方 该二次函数的图像上是否存在点 M 使 PQM 是以点 P 为直角顶点的等x 腰直角三角形 若存在 请求出运动时间 若不存在 请说明理由 t 4 如图 点 N 的坐标为 0 线段 PQ 的中点为 H 连接 NH 当点 Q 关于直 3 2 线 NH 的对称点 Q 恰好落在线段 BC 上时 请直接写出点 Q 的坐标 分析分析 1 将 A 3 0 B 4 0 代入 即可求解 2 若 APQy 2 1 3 xbxc 为直角三角形 则 APQ 90 PAQ 与 PQA 不可能为直角 连接 QC 则 AQ2 AP2 QC2 PC2 PQ2 据此列出关于 的方程求解 若 的值满足 0 4 则 ttt APQ 可能是直角三角形 否则不可能 3 过点 P 作 DE 轴 分别过点 M Q 作x MD DE QE DE 垂足分别为 D E 构成 一线三直角 全等模型 用含 的式子表示t 点 M 的坐标 将点 M 的坐标代入二次函数的表达式求解 4 分别求直线 BC 直线 NQ 的函数表达式 解直线 BC NQ 的函数达式组成的方程组 解析解析 1 4 b 1 3 c 2 在点 P Q 运动过程中 APQ 不可能是直角三角形 理由如下 若 APQ 是直角三角形 因为在点 P Q 运动过程中 PAQ PQA 始终为锐角 所以 APQ 90 2 AQ2 AP2 QC2 PC2 PQ2 连接 QC 由 1 知抛物线的函数表达式为 当 0 时 4 y 2 11 4 33 xx xy C 0 4 OC 4 A 3 0 OA 3 由题意 得 AP OQ t AQ OA OQ 3t 在 Rt AOC 中 由勾股定理得 AC 5 22 OAOC 22 34 PC 5t 在 Rt OCQ 中 QC2 OQ2 OC2 22 4t APQ 90 AQ2 AP2 QC2 PC2 PQ2 22 3 tt 222 4 5 tt 解得 4 5 t 由题意知 0 4 t 4 5 不符合题意 舍去 t 在点 P Q 运动过程中 APQ 不可能是直角三角形 3 如图 过点 P 作 DE 轴 分别过点 M Q 作 MD DE QE DE 垂足分别为点x 3 D E MD 交轴于点 F 过点 P 作 PG 轴 垂足为点 G 则 PG 轴 xxy D E 90 APG ACO 即 PG OC AG OA AP AC4 PG 3 AG 5 t PG AG 4 5 t 3 5 t PE GQ GO OQ AO AG OQ DF EQ 3 3 5 tt 2 3 5 t 4 5 t MPQ 90 D 90 DMP DPM EPQ DPM 90 DMP EPQ 又 D E PM PQ MDP PEQ PD EQ MD PE 4 5 t 2 3 5 t AM MD DF 24 3 55 tt 2 3 5 t OF FG GO PD OA AG 43 3 55 tt 1 3 5 t M 1 3 5 t 2 3 5 t 点 M 在轴下方的抛物线上 x 2 3 5 t 2 1111 3 3 4 3535 tt 解得 t 655 205 2 4 0 4 t t 655 205 2 4 Q 6 7 22 7 提示 连接 OP 取 OP 中点 R 连接 RH NR 延长 NR 交线段 BC 于点 Q 点 H 为 PQ 的中点 点 R 为 OP 的中点 RH OQ RH OQ 1 2 1 2 t A 3 0 N 0 3 2 点 N 为 OA 的中点 又 点 R 为 OP 的中点 NR AP RN AC 1 2 1 2 t RH NR RNH RHN RH OQ RHN HNO RNH HNO 即 NH 是 QNQ 的平分线 设直线 AC 的函数表达式为 把 A 3 0 C 0 4 代入 得ymxn 03 4 mn n 解得 4 m 4 3 n 5 直线 AC 的函数表达式为 y 4 4 3 x 同理可求 直线 BC 的函数表达式为 y4x 设直线 NR 的函数表达式为 把 N 0 代入 得y 4 3 xs 3 2 0 43 32 s 解得 2 s 直线 NR 的函数表达式为 y 4 2 3 x 解方程组得 4 2 3 4 yx yx 6 7 22 7 x y Q 6 7 22 7 2 2017 江苏南京 27 11 分 折纸的思考 操作体验 用一张矩形纸片折等边三角形 第一步 对折矩形纸片 ABCD AB BC 图 使 AB 与 DC 重合 得到折痕 EF 把纸 片展平 图 第二步 如图 再一次折叠纸片 使点 C 落在 EF 上的 P 处 并使折痕经过点 B 得到折 痕 BG 折出 PB PC 得到 PBC 1 说明 PBC 是等边三角形 6 数学思考 2 如图 小明画出了图 的矩形 ABCD 和等边三角形 PBC 他发现 在矩形 ABCD 中 把 PBC 经过图形变化 可以得到图 中的更大的等边三角形 请描述图形变化的过程 3 已知矩形一边长为 3cm 另一边长为 acm 对于每一个确定的 a 的值 在矩形中都能 画出最大的等边三角形 请画出不同情形的示意图 并写出对应的 a 的取值范围 问题解决 4 用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 4cm 和 1cm 的直角三角形铁片 所需正方形 铁片的边长的最小值为 cm 分析分析 1 由折叠的性质 线段垂直平分线的性质可判断 2 根据旋转的性质和位似变换直接作图 写出过程即可 3 根据图形 由勾股定理和等边三角形的性质求解 7 4 由勾股定理和正方形的性质的性质直接求解 解析解析 1 由折叠 PB PC EF 是 BC 的垂直平分线 PB PC PB PC BC PBC 是等边三角形 2 本题答案不惟一 例如 如图 以点 B 为中心 在矩形 ABCD 中把 PBC 逆时针方向旋转适当的角度 得到 P1B1C1 再以点 B 为位似中心 将 P1B1C1放大 使 C1的对应点 C2落在 CD 上 得到 P2BC2 3 当等边三角形的边长为 3cm acm 为高时 则 a 3 3 2 当等边三角形的边长为 acm 3cm 为高时 则 a 2 3 然后分 0 a a 2 a 2画出示意图 3 3 2 3 3 2 33 8 4 16 5 当以 4cm 的直角边与正方形的边重合时 边长为 4cm 正方形的面积为 16cm2 当直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合 两外两个顶点在边上时 如图 四边形 ABCD 是正方形 BC CD C D 90 BFE 90 BFC EFD 90 BFC CBF 90 EFD CBF BCF FDE BC DF BF EF 设 BC a 由 BF 4 得 CF 则 DF a 16 216 2 可知 a a 4 1 16 2 9 解得 a 16 5 正方形得面积为 256 25 因为 16 256 25 所以 a 16 5 3 2017 江苏连云港 27 14 分 问题呈现 如图 1 点 E F G H 分别在矩形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上 AE DG 求证 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD S 表示面积 实验探究 某数学实验小组发现 若图 1 中 AH BF 点 G 在 CD 上移动时 上述结论会发 生变化 分别过点 E G 作 BC 边的平行线 再分别过点 F H 作 AB 边的平行线 四条平 行线分别相交于点 A1 B1 C1 D1 得到矩形 A1B1C1D1 如图 2 当 AH BF 时 若将点 G 向点 C 靠近 DG AE 经过探索 发现 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD 1 1 11 A B C D S矩形 如图 3 当 AH BF 时 若将点 G 向点 D 靠近 DG AE 请探索 S四边形 EFGH S矩形 ABCD 与之间的数量关系 并说明理由 1 1 11 A B C D S矩形 迁移应用 请直接应用 实验探究 中发现的结论解答下列问题 1 如图 4 点 E F G H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点 已知 10 AH BF AE DG S四边形 EFGH 11 HF 求 EG 的长 29 2 如图 5 在矩形 ABCD 中 AB 3 AD 5 点 E H 分别在边 AB AD 上 BE 1 DH 2 点 F G 分别是边 BC CD 上的动点 且 FG 连接 EF HG 请10 直接写出四边形 EFGH 面积的最大值 分析分析 问题呈现 根据矩形的性质 通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结 论 实验探究 由题意得当将点 G 向点 D 靠近 时 通过割补法利用三角形的面DGAE 积和矩形的面积可得到结论 迁移应用 1 由上面的结论 结合图形 通过割补法利用三 角形的面积和矩形的面积可得到结论 2 直接根据规律写出结果即可 解析解析 问题呈现 证明 如图 1 中 四边形 ABCD 是矩形 AB CD A 90 AE DG 四边形 AEGD 是矩形 11 S HGE S矩形 AEGD 1 2 同理 S EGF S矩形 BEGC 1 2 S四边形 EFGH S HGE S EFG S矩形 BEGC 1 2 实验探究 结论 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD 1 1 11 A B C D S矩形 理由 1 EHC S 1 2 1 AEC H S矩形 1 HGD S 1 2 1 HDGD S矩形 1 EFB S 1 2 1 EBFB S矩形 1 FGA S 1 2 1 CFAG S矩形 S四边形 EFGH 1 EHC S 1 HGD S 1 EFB S 1 FGA S 1 1 11 A B C D S矩形 2S四边形 EFGH 2 2 2 2 2 1 EHC S 1 HGD S 1 EFB S 1 FGA S 1 1 11 A B C D S矩形 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD 1 1 11 A B C D S矩形 迁移应用 解 1 如图 4 中 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD 1 1 11 A B C D S矩形 25 2 11 3 A1B1 A1D1 1 1 11 A B C D S矩形 12 正方形的面积为 25 边长为 5 A1D12 HF2 52 29 25 4 A1D1 2 A1B1 3 2 EG2 A1B12 52 109 4 EG 109 2 2 2S四边形 EFGH S矩形 ABCD 1 1 11 A B C D S矩形 四边形 A1B1C1D1面积最大时 矩形 EFGH 的面积最大 如图 5 1 中 当 G 与 C 重合时 四边形 A1B1C1D1面积最大时 矩形 EFGH 的面积最 大 此时矩形 A1B1C1D1面积 1 2 1010 如图 5 2 中 当 G 与 D 重合时 四边形 A1B1C1D1面积最大时 矩形 EFGH 的面积最 大 此时矩形 A1B1C1D1面积 2 1 2 13 2 2 10 矩形 EFGH 的面积最大值 17 2 4 2017 江苏南通 28 13 分 已知直线 y kx b 与抛物线 y ax2 a 0 相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴正半轴相交于点 C 过点 A 作 AD x 轴 垂足为 D 1 若 AOB 60 AB x 轴 AB 2 求 a 的值 2 若 AOB 90 点 A 的横坐标为 4 AC 4BC 求点 B 的坐标 3 延长 AD BO 相交于点 E 求证 DE CO 分析分析 1 如图 1 由条件可知 AOB 为等边三角形 则可求得 OA 的长 在 Rt AOD 中可求得 AD 和 OD 的长 可求得 A 点坐标 代入抛物线解析式可得 a 的值 2 如图 2 作辅助线 构建平行线和相似三角形 根据 CF BG 由 A 的横坐标为 4 得 B 的横坐标为 1 所以 A 4 16a B 1 a 证明 ADO OEB 则 ADOD OEBE 得 a 的值及 B 的坐标 3 如图 3 设 AC nBC 由 2 同理可知 A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍 则设 B m am2 则 A mn am2n2 分别根据两三角形相似计算 DE 和 CO 的长即可得出结 论 解析解析 解 1 如图 1 抛物线 y ax2的对称轴是 y 轴 且 AB x 轴 14 A 与 B 是对称点 O 是抛物线的顶点 OA OB AOB 60 AOB 是等边三角形 AB 2 AB OC AC BC 1 BOC 30 OC 3 A 1 3 把 A 1 代入抛物线 y ax2 a 0 中得 a 33 2 如图 2 过 B 作 BE x 轴于 E 过 A 作 AG BE 交 BE 延长线于点 G 交 y 轴于 F 15 CF BG ACAF BCFG AC 4BC 4 AF FG AF 4FG A 的横坐标为 4 B 的横坐标为 1 A 4 16a B 1 a AOB 90 AOD BOE 90 AOD DAO 90 BOE DAO ADO OEB 90 ADO OEB 16 ADOD OEBE 164 1 a a 16a2 4 a 1 2 a 0 a 1 2 B 1 1 2 3 如图 3 设 AC nBC 由 2 同理可知 A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍 则设 B m am2 则 A mn am2n2 AD am2n2 过 B 作 BF x 轴于 F 17 DE BF BOF EOD OBOFBF OEODDE 2 OBmam OEmnDE DE am2n 1OB OEn 1 1 OB BEn OC AE BCO BAE 1 1 COOB AEBEn 222 1 1 CO am nam nn CO am2n 2 1 1 am nn n DE CO 5 2017 江苏苏州 28 10 分 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C OB OC 点 D 在函数图象上 CD x 轴 且 CD 2 直线 l 是抛物线的 对称轴 E 是抛物线的顶点 1 求 b c 的值 2 如图 连接 BE 线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F 恰好在线段 BE 上 求点 F 的坐标 3 如图 动点 P 在线段 OB 上 过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M 与抛物线交于 点 N 试问 抛物线上是否存在点 Q 使得 PQN 与 APM 的面积相等 且线段 NQ 的长 18 度最小 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 说明理由 分析分析 1 由条件可求得抛物线对称轴 则可求得 b 的值 由 OB OC 可用 c 表示出 B 点坐标 代入抛物线解析式可求得 c 的值 2 可设 F 0 m 则可表示出 F 的坐标 由 B E 的坐标可求得直线 BE 的解析式 把 F 坐 标代入直线 BE 解析式可得到关于 m 的方程 可求得 F 点的坐标 3 设点 P 坐标为 n 0 可表示出 PA PB PN 的长 作 QR PN 垂足为 R 则可求得 QR 的长 用 n 可表示出 Q R N 的坐标 在 Rt QRN 中 由勾股定理可得到关于 n 的二 次函数 利用二次函数的性质可知其取得最小值时 n 的值 则可求得 Q 点的坐标 解析解析 解 1 CD x 轴 CD 2 抛物线对称轴为 x 1 2 b 2 2 b OB OC C 0 c B 点的坐标为 c 0 0 c2 2c c 解得 c 3 或 c 0 舍去 c 3 19 2 设点 F 的坐标为 0 m 对称轴为直线 x 1 点 F 关于直线 l 的对称点 F 的坐标为 2 m 由 1 可知抛物线解析式为 y x2 2x 3 x 1 2 4 E 1 4 直线 BE 经过点 B 3 0 E 1 4 利用待定系数法可得直线 BE 的表达式为 y 2x 6 点 F 在 BE 上 m 2 2 6 2 即点 F 的坐标为 0 2 3 存在点 Q 满足题意 设点 P 坐标为 n 0 则 PA n 1 PB PM 3 n PN n2 2n 3 作 QR PN 垂足为 R S PQN S APM n 1 3 n n2 2n 3 QR 1 2 1 2 QR 1 20 点 Q 在直线 PN 的左侧时 Q 点的坐标为 n 1 n2 4n R 点的坐标为 n n2 4n N 点的坐标为 n n2 2n 3 在 Rt QRN 中 NQ2 1 2n 3 2 n 时 NQ 取最小值 1 此时 Q 点的坐标为 3 2 1 2 15 4 点 Q 在直线 PN 的右侧时 Q 点的坐标为 n 11 n2 4 同理 NQ2 1 2n 1 2 n 时 NQ 取最小值 1 此时 Q 点的坐标为 1 2 3 2 15 4 综上可知存在满足题意的点 Q 其坐标为 或 1 2 15 4 3 2 15 4 6 2017 江苏泰州 26 14 分 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 的横坐标分别为 a a 2 二次函数 y x2 m 2 x 2m 的图象经过点 A B 且 a m 满足 2a m d d 为常数 1 若一次函数 y1 kx b 的图象经过 A B 两点 当 a 1 d 1 时 求 k 的值 若 y1随 x 的增大而减小 求 d 的取值范围 2 当 d 4 且 a 2 a 4 时 判断直线 AB 与 x 轴的位置关系 并说明理由 3 点 A B 的位置随着 a 的变化而变化 设点 A B 运动的路线与 y 轴分别相交于点 C D 线段 CD 的长度会发生变化吗 如果不变 求出 CD 的长 如果变化 请说明理 由 分析分析 1 当 a 1 d 1 时 m 2a d 3 于是得到抛物线的解析式 然后求得点 A 和点 B 的坐标 最后将点 A 和点 B 的坐标代入直线 AB 的解析式求得 k 的值即可 21 将 x a x a 2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标 然后依据 y1随着 x 的增 大而减小 可得到 a m a 2 a 2 m a 4 结合已知条件 2a m d 可 求得 d 的取值范围 2 由 d 4 可得到 m 2a 4 则抛物线的解析式为 y x2 2a 2 x 4a 8 然后将 x a x a 2 代入抛物线的解析式可求得点 A 和点 B 的纵坐标 最后依据点 A 和点 B 的纵坐 标可判断出 AB 与 x 轴的位置关系 3 先求得点 A 和点 B 的坐标 于是得到点 A 和点 B 运动的路线与字母 a 的函数关系式 则点 C 0 2m D 0 4m 8 于是可得到 CD 与 m 的关系式 解析解析 解 1 当 a 1 d 1 时 m 2a d 3 所以二次函数的表达式是 y x2 x 6 a 1 点 A 的横坐标为 1 点 B 的横坐标为 3 把 x 1 代入抛物线的解析式得 y 6 把 x 3 代入抛物线的解析式得 y 0 A 1 6 B 3 0 将点 A 和点 B 的坐标代入直线的解析式得 解得 03 6 bk bk 9 3 b k 所以 k 的值为 3 y x2 m 2 x 2m x m x 2 当 x a 时 y a m a 2 当 x a 2 时 y a 2 4 a 4 y1随着 x 的增大而减小 且 a a 2 a m a 2 a 2 m a 4 解得 2a m 4 又 2a m d 22 d 的取值范围为 d 4 2 d 4 且 a 2 a 4 2a m d m 2a 4 二次函数的关系式为 y x2 2a 2 x 4a 8 把 x a 代入抛物线的解析式得 y a2 6a 8 把 x a 2 代入抛物线的解析式得 y a2 6a 8 A a a2 6a 8 B a 2 a2 6a 8 点 A 点 B 的纵坐标相同 AB x 轴 3 线段 CD 的长随 m 的值的变化而变化 y x2 m 2 x 2m 过点 A 点 B 当 x a 时 y a2 m 2 a 2m 当 x a 2 时 y a 2 2 m 2 a 2 2m A a a2 m 2 a 2m B a 2 a 2 2 m 2 a 2 2m 点 A 运动的路线是的函数关系式为 y1 a2 m 2 a 2m 点 B 运动的路线的函数关系 式为 y2 a 2 2 m 2 a 2 2m 点 C 0 2m D 0 4m 8 DC 2m 4m 8 8 2m 线段 CD 的长随 m 的值的变化而变化 当 8 2m 0 时 m 4 时 CD 8 2m 0 即点 C 与点 D 重合 当 m 4 时 CD 2m 8 当 m 4 时 CD 8 2m 7 2017 江苏无锡 28 8 分 如图 已知矩形 ABCD 中 AB 4 AD m 动点 P 从点 23 D 出发 在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动 连接 CP 作点 D 关于直线 PC 的 对称点 E 设点 P 的运动时间为 t s 1 若 m 6 求当 P E B 三点在同一直线上时对应的 t 的值 2 已知 m 满足 在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中 有且只有一个时刻 t 使点 E 到直线 BC 的距离等于 3 求所有这样的 m 的取值范围 分析分析 1 如图 1 中 设 PD x 则 PA 6 x 首先证明 BP BC 6 在 Rt ABP 中利 用勾股定理即可解决问题 2 分两种情形求出 AD 的值即可解决问题 如图 2 中 当点 P 与 A 重合时 点 E 在 BC 的下方 点 E 到 BC 的距离为 3 如图 3 中 当点 P 与 A 重合时 点 E 在 BC 的上方 点 E 到 BC 的距离为 3 解析解析 解 1 如图 1 中 设 PD x 则 PA 6 x P B E 共线 BPC DPC 24 AD BC DPC PCB BPC PCB BP BC 6 在 Rt ABP 中 AB2 AP2 PB2 42 6 x 2 62 x 6 2或 6 2 舍弃 55 PD 6 2 5 t 6 2 s 时 B E P 共线 5 2 如图 2 中 当点 P 与 A 重合时 点 E 在 BC 的下方 点 E 到 BC 的距离为 3 作 EQ BC 于 Q EM DC 于 M 则 EQ 3 CE DC 4 易证四边形 EMCQ 是矩形 CM EQ 3 M 90 EM 22 7ECCM 25 DAC EDM ADC M ADC DME ADDC DMEM 4 77 AD AD 4 7 如图 3 中 当点 P 与 A 重合时 点 E 在 BC 的上方 点 E 到 BC 的距离为 3 作 EQ BC 于 Q 延长 QE 交 AD 于 M 则 EQ 3 CE DC 4 在 Rt ECQ 中 QC DM 22 4 37 由 DME CDA DMEM CDAD 71 4AD AD 4 7 7 综上所述 在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中 有且只有一个时刻 t 使点 E 到直线 BC 的距离等于 3 这样的 m 的取值范围 m 4 4 7 7 7 26 8 2017 江苏宿迁 26 10 分 如图 在矩形纸片 ABCD 中 已知 AB 1 BC 点 E3 在边 CD 上移动 连接 AE 将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折 得到多边形 AB C E 点 B C 的对应点分别为点 B C 1 当 B C 恰好经过点 D 时 如图 1 求线段 CE 的长 2 若 B C 分别交边 AD CD 于点 F G 且 DAE 22 5 如图 2 求 DFG 的面积 3 在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中 求点 C 运动的路径长 分析分析 1 如图 1 中 设 CE EC x 则 DE 1 x 由 ADB DEC 可得 AD DE 列出方程即可解决问题 DB EC 2 如图 2 中 首先证明 ADB DFG 都是等腰直角三角形 求出 DF 即可解决问题 3 如图 3 中 点 C 的运动路径的长为的长 求出圆心角 半径即可解决问题 A CC 解析解析 解 1 如图 1 中 设 CE EC x 则 DE 1 x 27 ADB EDC 90 B AD ADB 90 B AD EDC B C 90 AB AB 1 AD 3 DB 3 1 2 ADB DEC AD DE DB EC 3 1x 2 x x 2 6 CE 2 6 2 如图 2 中 BAD B D 90 DAE 22 5 EAB EAB 67 5 B AF B FA 45 DFG AFB DGF 45 28 DF FG 在 Rt AB F 中 AB FB 1 AF AB 22 DF DG 32 S DFG 2 1 2 32 5 2 6 3 如图 3 中 点 C 的运动路径的长为的长 A CC 在 Rt ADC 中 tan DAC CD AD 3 3 DAC 30 AC 2CD 2 C AD DAC 30 CAC 60 的长 A CC 602 180 2 3 9 2017 江苏徐州 28 10 分 如图 已知二次函数 y x2 4 的图象与 x 轴交于 A B 两 4 9 点 与 y 轴交于点 C C 的半径为 P 为 C 上一动点 5 29 1 点 B C 的坐标分别为 B C 2 是否存在点 P 使得 PBC 为直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明 理由 3 连接 PB 若 E 为 PB 的中点 连接 OE 则 OE 的最大值 分析分析 1 在抛物线解析式中令 y 0 可求得 B 点坐标 令 x 0 可求得 C 点坐标 2 当 PB 与 相切时 PBC 为直角三角形 如图 1 连接 BC 根据勾股定理得到 BC 5 BP2 2 过 P2作 P2E x 轴于 E P2F y 轴于 F 根据相似三角形的性质得到5 2 设 OC P2E 2x CP2 OE x 得到 BE 3 x CF 2x 4 于是得到 22 22 P FCP P EBP FP2 EP2 求得 P2 过 P1作 P1G x 轴于 G P1H y 轴于 H 同理 11 5 22 5 11 5 22 5 求得 P1 1 2 当 BC PC 时 PBC 为直角三角形 根据相似三角形的判定和性质 即可得到结论 3 如图 3 中 连接 AP OB OA BE EP 推出 OE AP 可知当 AP 最大时 OE 的 1 2 值最大 解析解析 解 1 在 y x2 4 中 令 y 0 则 x 3 令 x 0 则 y 4 4 9 B 3 0 C 0 4 故答案为 3 0 0 4 30 2 存在点 P 使得 PBC 为直角三角形 当 PB 与 相切时 PBC 为直角三角形 如图 2 a 连接 BC OB 3 OC 4 BC 5 CP2 BP2 CP2 5 BP2 2 5 过 P2作 P2E x 轴于 E P2F y 轴于 F 则 CP2F BP2E 四边形 OCP2B 是矩形 2 22 22 P FCP P EBP 设 OC P2E 2x CP2 OE x BE 3 x CF 2x 4 2 BE CF 3 24 x x x 2x 11 5 22 5 31 FP2 EP2 11 5 22 5 P2 11 5 22 5 过 P1作 P1G x 轴于 G P1H y 轴于 H 同理求得 P1 1 2 当 BC PC 时 PBC 为直角三角形 如图 2 b 过 P4作 P4H y 轴于 H 则 BOC CHP4 4 CHP H OBOC 4 PC BC 5 5 CH P4H 3 5 5 4 5 5 P4 4 4 5 5 3 5 5 同理 P3 4 4 5 5 3 5 5 综上所述 点 P 的坐标为 1 2 或 或 4 或 11 5 22 5 4 5 5 3 5 5 4 5 5 4 3 5 5 3 如图 3 连接 AP OB OA BE EP 32 OE AP 1 2 当 AP 最大时 OE 的值最大 当 P 在 AC 的延长线上时 AP 的值最大 最大值 5 5 OE 的最大值为 55 2 故答案为 55 2 10 2017 江苏盐城 27 14 分 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 2 与 x 轴交于点 1 2 A 与 y 轴交于点 C 抛物线 y x2 bx c 经过 A C 两点 与 x 轴的另一交点为点 B 1 2 1 求抛物线的函数表达式 2 点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点 连接 BC CD 设直线 BD 交线段 AC 于点 E CDE 的面积为 S1 BCE 的面积为 S2 求的最大值 1 2 S S 过点 D 作 DF AC 垂足为点 F 连接 CD 是否存在点 D 使得 CDF 中的某个角恰好 等于 BAC 的 2 倍 若存在 求点 D 的横坐标 若不存在 请说明理由 33 分析分析 1 根据题意得到 A 4 0 C 0 2 代入 y x2 bx c 于是得到结论 1 2 2 如图 令 y 0 解方程得到 x1 4 x2 1 求得 B 1 0 过 D 作 DM x 轴于 M 过 B 作 BN x 轴交于 AC 于 N 根据相似三角形的性质即可得到结论 根据勾股定理的逆定理得到 ABC 是以 ACB 为直角的直角三角形 取 AB 的中点 P 求 得 P 0 得到 PA PC PB 过作 x 轴的平行线交 y 轴于 R 交 AC 的延线于 3 2 5 2 G 情况一 如图 DCF 2 BAC DGC CDG 情况二 FDC 2 BAC 解直 角三角形即可得到结论 解析解析 解 1 根据题意得 A 4 0 C 0 2 抛物线 y x2 bx c 经过 A C 两点 1 2 1 0164 2 2 bc c 3 2 2 b c y x2 x 2 1 2 3 2 2 如图 令 y 0 x2 x 2 0 1 2 3 2 34 x1 4 x2 1 B 1 0 过 D 作 DM x 轴于 M 过 B 作 BN x 轴交于 AC 于 N DM BN DME BNE 1 2 S S DE BE DM BN 设 D a a2 a 2 1 2 3 2 M a a 2 1 2 B 1 0 N 1 5 2 a 2 2 1 2 S S DM BN 2 1 2 2 5 2 aa 1 5 4 5 当 a 2 时 的最大值是 1 2 S S 4 5 A 4 0 B 1 0 C 0 2 35 AC 2 BC AB 5 55 AC2 BC2 AB2 ABC 是以 ACB 为直角的直角三角形 取 AB 的中点 P P 0 3 2 PA PC PB 5 2 CPO 2 BAC tan CPO tan 2 BAC 4 3 过 D 作 x 轴的平行线交 y 轴于 R 交 AC 的延长线于 G 情况一 如图 DCF 2 BAC DGC CDG CDG BAC tan CDG tan BAC 1 2 即 RC DR 1 2 令 D a a2 a 2 1 2 3 2 DR a RC a2 a 1 2 3 2 36 2 13 22 aa a 1 2 a1 0 舍去 a2 2 xD 2 情况二 FDC 2 BAC tan FDC 4 3 设 FC 4k DF 3k DC 5k tan DGC 3k FG 1 2 FG 6k CG 2k DG 3k 5 RC k RG k 2 5 5 4 5 5 DR 3k k k 5 4 5 5 11 5 5 DR RC 11 5 5 2 5 5 k k 13 22 a aa a1 0 舍去 a2 29 11 点 D 的横坐标为 2 或 29 11 11 2017 江苏扬州 28 12 分 如图 已知正方形 ABCD 的边长为 4 点 P 是 AB 边上的 37 一个动点 连接 CP 过点 P 作 PC 的垂线交 AD 于点 E 以 PE 为边作正方形 PEFG 顶点 G 在线段 PC 上 对角线 EG PF 相交于点 O 1 若 AP 1 则 AE 3 4 2 求证 点 O 一定在 APE 的外接圆上 当点 P 从点 A 运动到点 B 时 点 O 也随之运动 求点 O 经过的路径长 3 在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中 APE 的外接圆的圆心也随之运动 求该圆心到 AB 边的距离的最大值 分析分析 1 由正方形的性质得出 A B EPG 90 PF EG AB BC 4 OEP 45 由角的互余关系证出 AEP PBC 得出 APE BCP 得出对应边成比例即可求出 AE 的长 2 A P O E 四点共圆 即可得出结论 连接 OA AC 由光杆司令求出 AC 4 由圆周角定理得出 OAP OEP 45 周长2 点 O 在 AC 上 当 P 运动到点 B 时 O 为 AC 的中点 即可得出答案 3 设 APE 的外接圆的圆心为 M 作 MN AB 于 N 由三角形中位线定理得出 MN AE 设 AP x 则 BP 4 x 由相似三角形的对应边成比例求出 AE x x 2 1 2 1 4 1 4 x 2 2 1 由二次函数的最大值求出 AE 的最大值为 1 得出 MN 的最大值 即可 1 2 解析解析 1 解 四边形 ABCD 四边形 PEFG 是正方形 38 A B EPG 90 PF EG AB BC 4 OEP 45 AEP APE 90 BPC APE 90 AEP PBC APE BCP 即 AEAP BPBC 1 4 解得 AE 3 4 故答案为 3 4 2 证明 PF EG EOF 90 EOF A 180 A P O E 四点共圆 点 O 一定在 APE 的外接圆上 解 连接 OA AC 如图 1 所示 四边形 ABCD 是正方形 39 B 90 BAC 45 AC 4 22 44 2 A P O E 四点共圆 OAP OEP 45 点 O 在 AC 上 当 P 运动到点 B 时 O 为 AC 的中点 OA AC 2 1 2 2 即点 O 经过的路径长为 2 2 3 解 设 APE 的外接圆的圆心为 M 作 MN AB 于 N 如图 2 所示 则 MN AE ME MP AN PN MN AE 1 2 设 AP x 则 BP 4 x 由 1 得 APE BCP 40 即 AEAP BPBC 44 AEx x 解得 AE x x 2 x 2 2 1 1 4 1 4 x 2 时 AE 的最大值为 1 此时