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文档简介
数学归纳法、极限(一)第一数学归纳法:一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;(2)假设当n=k(kn0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。综合(1)(2),对一切自然数n(n0),命题P(n)都成立。(二)第二数学归纳法:对于某个与自然数有关的命题P(n),(1)验证n=n0时P(n)成立;(2)假设n0nn0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1)成立;综合(1)(2),对一切自然数n(n0),P(n),Q(n)都成立。1数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n都成立”的问题。2能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系,这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。举例1已知,则=A+, B+,C- D+-解析:是从n+1开始的n个连续自然数的倒数和,故是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和,即 =+-=+- 故选D。举例2用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用归纳假设,应将5k+12k+1变形为 解析假设n=k时命题成立.即:5k2k 被3整除.当n=k+1时,5k+12 k+1 =55k22 k=5(5k2k) 52k22k=5(5k2k) 32k巩固1 用数学归纳法证明11)时,由nk (k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的代数式的个数是_。 A. 2 B. 21 C. 2 D. 21巩固2用数学归纳法证明命题: (n1) (n2) (nn)=2n13(2n1) 3数学归纳法公理:如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立,(2) 假设p(k)成立,则p(k+1)也成立;根据(1)(2)知命题p(n)对nn0的所有自然数n都成立。用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程,(1)是递推的基础,(2)是递推的条件;二者缺一不可。4数学归纳法通常用于证明关于自然数n的等式、不等式、整除性等。用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立(已知p(k)成立,求证p(k+1)成立)是数学归纳法证明中最关键的一步;而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。举例1 已知为正整数,用数学归纳法证明:当时,;解析:视为关于的不等式,为参数,以下用数学归纳法证明:()当时,原不等式成立;当时,左边,右边,因为,所以左边右边,原不等式成立;()假设当时,不等式成立,即,则当时,于是在不等式两边同乘以得,所以即当时,不等式也成立综合()()知,对一切正整数,不等式都成立举例2设正整数数列满足:,且对于任何,有;(1)求,;(2)求数列的通项(07高考江西理22)解析:(1)据条件得 当时,由,即有,解得因为为正整数,故当时,由,解得,所以(2)由,猜想:下面用数学归纳法证明1当,时,由(1)知均成立;2假设成立,则,则时由得因为时,所以,所以又,所以故,即时,成立由1,2知,对任意,巩固1已知数列,;S为其前n项和,求S、S、S、S,推测S,并用数学归纳法证明。巩固2 已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,()求的通项公式;()设数列满足,并记为的前项和,求证: (07高考重庆理21)5若存在,则=,若=0,则一般“约分”(约去含的因式)后再求极限。若=A、=B,则= AB, =AB, = (B0).举例 .(07高考陕西理13)解析:=,=巩固1 下列四个命题中,不正确的是( )A若函数在处连续,则B函数的不连续点是和C若函数,满足,则D (07高考湖南理7)巩固2 _ 6若|1或-1, 则不存在。=(为常数);“ ”型的式子极限为0;“”型、“”型的极限不存在;“”型和“”型,一般分子、分母“同除以”一个式子(包括“约分”)后再求极限;含有根式的和(差)的式子一般有理化后再求极限。若=A、=B,则 ()= AB, ()=AB, = (B0).举例1若 .解析:分母有理化举例2已知和是两个不相等的正整数,且,则( )A0B1CD (07高考湖北理5)解析:=,选C。巩固1把展开成关于的多项式,其各项系数和为,则等于( )ABCD2巩固2. 等于( ) A. 1 B. C. D.0迁移设正数满足,则() (07高考重庆理8)7无穷数列的前n项和为Sn,称为数列的无穷多项和或所有项和。求时,切不可分别求各项的极限后再求和;必须先求Sn,再求极限。若为等比数列,公比为q且|q|1,则=。举例1若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则 (07高考湖南理2) A B C D P1P2Pn-1Q1Q2Qn-1Pn-2O解析:数列满足: , 且对任意正整数都有,数列是首项为,公比为的等比数列。,选A.巩固2如图,抛物线与轴的正半轴交于点,将线段的等分点从左至右依次记为,过这些分点分别作轴的垂线,与抛物线的交点依次为,从而得到个直角三角形当时,这些三角形的面积之和的极限为 解析:,;,记的面积为Sn,则S1=,S2=,Sn-1=; =.巩固1数列的前n项和为Sn,则Sn_巩固2 如图,等边三角形ABC的面积等于1,连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形,又连结这个小三角形各边
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