AHP中判断矩阵一致性检验和修正的统计方法.doc

A H P 中判断矩阵一致性检验和修正的统计方法吴泽宁, 张文鸽, 管新建(郑州大学 环境与水利学院, 河南 郑州 450002)摘 要: 通过分析判断矩阵与其导出矩阵的关系, 提出一种检验判断矩阵一致性的统计检验方法; 当判断矩阵的一致性较差时, 基于偏差矩阵中绝对值大的元素对判断矩阵一致性的影响, 每次只修改判断矩 阵的一对元素即可进行判断矩阵一致性的修正。实例分析表明, 统计检验方法是可行的, 且可根据问题 的性质, 灵活确定一致性要求的标准。关键词: 判断矩阵; 一致性比例; 导出矩阵; 统计假设检验中图分类号: O 121 文献标识码: A层次分析法 (A H P ) 是一种实用的多准则决策方法, 判断矩阵A = (a ij ) nn 的一致性要求是其应用的关键前提。鉴于人们认识的多样性和客观事物的复杂性, 决策者或专家给出的判断矩阵, 并不总能满足上述要求, 因此, 需要 对判断矩阵的一致性进行检验。然而, A H P 中常规的一致性检验方法“一致性比例检验法1 ”存在以下几点不足: 第 一, 一致性比例 C. R. 应小于 0. 1 的规定缺乏必要的理论依据, 同时, 矩阵阶数越高, 这一要求越难满足; 第二, 对于 一般的判断矩阵, 其特征值的求解较困难。对于一个不具有满意一致性的判断矩阵, 其特征值的求解是一种浪费。 有鉴于此, 本文根据一致性要求的实质, 应用数理统计原理, 提出一种新的检验判断矩阵一致性的统计检验方法, 它从新的视觉去认识判断矩阵的一致性, 并且弥补了一致性比例检验法的上述两点不足。当决策者或专家给出的判断矩阵的一致性较差时, 如何对其修正, 是A H P 应用时所必须解决的问题。迄今, 许 多学者对此进行了研究, 并提出了自己的思想方法, 这些方法各有利弊, 如文献2 利用向量概念给出了校正判断 矩阵的一般规则, 该法虽直观, 能与决策者进行交互, 但校正速度慢; 文献3 利用判断矩阵的特征向量对矩阵进行 全面修正, 速度快, 但原判断矩阵所包含的信息丢失较多。 本文以统计检验方法为检验标准, 给出一种修正判断矩 阵一致性的方法。该法通过每次修改判断矩阵的一对元素, 使其一致性得到逐步改进, 直到达到满意的精度。1 判定矩阵一致性的概念判断矩阵A = (aij ) nn , 如果 a ij 0, a ij = 1 , i, j , 则称A 为正互反矩阵; 如果A 进一步满足 aij a j k = aik , i, j ,aj ik , 则称A 为完全一致性矩阵。在判断矩阵的构造中, 并不总是要求判断矩阵具有传递性和完全一致性, 这是由客观事物的复杂性和人的认 识多样性所决定的。但判断矩阵是计算排序权向量的根据, 故要求判断矩阵有大体上的一致性 ( 满意的一致性) 是 应该的。T. L. Saa ty 在文献1 中给出了一致性指标 C. I. = m ax - n与判断矩阵A 的阶数 n 有关的平均随机一致性指n- 1 、标 R. I. 和一致性比例 C. R. = C. I. 。并规定, 若判断矩阵A 是完全一致性矩阵, 当且仅当其最大特征值 m ax = n; 若R. I.C. R. 0. 1, 则判断矩阵A 具有满意的一致性。第 3 期吴泽宁, 张文鸽等: A H P 中判断矩阵一致性检验和修正的统计方法692 判断矩阵一致性的统计检验方法(1) 判断矩阵的导出矩阵T设A = (a ij ) nn 为 n 阶判断矩阵, 其排序向量为w = (w 1 , w 2 , , w n ) . 令B = (bij ) nn , 其中 bij = a ij aij ( i, j =nT1, 2, , n )。 再令w i = 1 bij ( i= 1, 2, , n ) , 由此求得判断矩阵排序向量w = (w 1 , w 2 , , w n )i的方法称为“和法”4 。n j = 1定义 设矩阵 C = (cij ) nn 为判断矩阵A 的导出矩阵, 其中,bij 式中, bij =aijaiji, w i =n1 bij ( i, j = 1, 2, , n)。n j = 1cij =wi(1)引理 判断矩阵A 为完全一致性矩阵的充要条件是其导出矩阵 C 中元素全为 1, 即1 1 11 1 1C =1 1 1证明 必要性: 设判断矩阵A 为完全一致性矩阵, 则A 的每一列归一化后就是相应的排序向量w , 即 bij = w i( i, j = 1, 2, n) , 由 (1) 式, 可得 cij = 1 ( i, j = 1, 2, n)。1 1 1充分性: 设A 的导出矩阵 C =1 1 1, 即 cij ( i, j = 1, 2, n ) , 由 ( 1) 式可得bij= 1, 从而 bij = w i ( i, jw i1 1 1= 1, 2, , n)。这表明, 判断矩阵A 的任意一列的归一化列向量就是其相应的排序向量, 故A 的最大特征根唯一, 且m ax = n (n 为判断矩阵A 的阶数) , 从而A 为完全一致性矩阵。 综上, 定理得证。(2) 构造检验统计量由上述引理可知: 若 C 中存在某个元素 cij 不为 1, 则说明判断矩阵A 不为完全一致性矩阵, 且 cij 偏离 1 越大,说明 a ij 对A 的一致性的影响越大。由此, 一个判断矩阵A 的导出矩阵 C 中的元素 cij 可视作以 1 为均值的正态随机 变量, 即 cijN (1, 2 , 其中, 2 为常数, 且诸 cij ( i, j = 1, 2, , n) 相互独立。据此, 可以应用数理统计有关原理, 得出0 ) 00以下结论。0 )结 论 设A 为 n 阶判断矩阵, C = (cij ) nn 为其导出矩阵, cij N ( 1, 2, 其中, 2 为常数, 且诸 cij ( i, j = 1, 2, ,n) 相互独立, 将矩阵 C 中元素从左到右、从上到下拉直后依次排列, 记为 ci ( i= 1, 2, , n2 ) , 可以证明, 统计量n2 - 1 222 = (ci+ 1 - ci) 2 (n2 - 1) (2)(3) 判断矩阵一致性检验的统计方法i= 1 2构造出统计量后, 可用统计检验方法对判断矩阵A 的一致性作出检验。具体方法如下:上述定理的假设 cijN (1, 2 中 2 的大小反映了 cij 对其数学期望 E cij = 1 偏离程度大小。因此, 常数 2 的不0 ) 0 00同值反映了决策人对判断矩阵的“满意一致性”的不同要求。显然, 较小的 2 值意味着对判断矩阵一致性有较高的要求。故决策人可依据决策问题的具体情况, 以及个人偏好选取适当 2 的值。一般可令 2 取 1 、1 、1 中的任何一0049 16个值或是满足不等式 1 2 1 的其他值5 。为了与 T. L. Saa ty 的一致性比例结果相衔接, 对低阶判断矩阵可取16 0 4220 = 1 或 1 , 高阶判断矩阵可取 0 = 1 或 1 。16 9 4 9对于一个有满意一致性的判断矩阵A , 由其导出矩阵C 算出的上述统计量 2 应该较小。反之, 若 2 过大, 则00可认为判断矩阵A 不具有满意的一致性。于是, 判断矩阵A 的一致性检验问题即成为如下的统计假设检验问题:假设 H 0: 2 2 3对于给定的显著性水平 , 令 P 2 2 (n2 - 1) = 10 ( )上述括号内的事件为小概率事件, 当判断矩阵的导出矩阵的 2 观测值 2 0, 则可知A 中第 i 行第 j 列 a ij 偏大, 同时与 aij 所对应的互反元素 a j i = 1 将偏小, 且 d j ia ij 0 时, 若 am k 1, 则 a3 k = am k - 1; 若 am k 1, 则 a3 k = am k (am k + 1) ; 当 d ij 1, 则 a3 k = am k +m m mm1; 若 am k 0. 1, 可验知A 不具有满意的一致性。2 1一致性检验。统计检验法, 取 0 = 1 , = 0. 05, 由“和积法”求得的排序向量 =40. 6400. 1540. 206, 由 (1) 式得导出矩1. 0180. 7811. 201阵 C =1. 4151. 0850. 501, 由 (2) 式得 2 = 19. 81 2 05 = 15. 507, 判断矩阵A0 0.不具有满意的一致性 ( 与 C. R.0. 6341. 6190. 747准则结论一致) , 有必要进行修正。进行一致性修正。由 (4) 式得偏差矩阵D =0. 018 - 0. 219 0. 2010. 415 0. 085 - 0. 499- 0. 366 0. 619 - 0. 253。其中, 绝对值最大的元素为 d 321 3 5 1= 0. 619 0, 且 a32 = 2 1, 故应将 a32 减小, a23 增大, 即 a3 = 1, a3 = 1a3 = 1, 从而可得 A 3 =3 1 1, C. R.3223(A 3 ) = 0. 0250 0. 1, 结论: 判断矩阵A 3 具有满意的一致性。32 15 1 10. 994 0. 915 1. 0880一致性检验。取 0 = 1 , = 0. 05。同理判断矩阵A 3 的导出矩阵C 3 =41. 160 1. 070 0. 7650. 829 1. 266 0. 905 2 = 3. 7430. 2 05 = 15. 507, A 3 已具有满意的一致性 (同 C. R. 准则结论一致) , A 3 即为修正后的判断矩阵。1 1 对判断矩阵A =6 1 96 91 4 , C. R. (A ) = 0. 096 0. 1, 可验知A 具有满意的一致性。 14 1一致性检验。统计假设检验法, 取 0 = 1 , = 0. 05。由 (1) 式计算判断矩阵A 的导出矩阵, 并由 (2) 式得 2 =4 00.14. 0792 0. 1, 可验知A 不具有满意的一致性。512120. 575 0. 541 2. 406 0. 4771. 100 1. 035 0. 852 1. 013一致性检验。判断矩阵A 的导出矩阵 C =, 由 ( 2) 式得 2 = 50. 0288 2 0500.0. 243 1. 233 1. 015 1. 5091. 237 1. 047 0. 690 1. 025= 24. 996, 判断矩阵A 不具有满意的一致性, 有必要进行修正。- 0. 425 - 0. 459 1. 406 - 0. 5230. 100 0. 035 - 0. 148 0. 013一致性的修正。判断矩阵 A 的偏差矩阵D =- 0. 757 0. 233 0. 015 0. 5090. 237 0. 047 - 0. 310 0. 025, 其中绝对值最大的元素为 d 13 = 1. 406 0, 且 a13 = 3 1, 故应将 a13 减小, 将 a31 增大, 即 a3 = 2, a3 = 1a3 = 12, 从而可得A 3 =13 31 131 1 2 19 59 1 5 2 1 12 5 11 , C. R. (A ) = 0. 1036 0. 1, 结论: 判断矩阵A 不具有满意的一致性。25 1 2 120. 679 0. 646 2. 106 0. 5690.1. 069 1. 016 0. 920 0. 995一致性检验。 用相同的方法得到判断矩阵 A 3 的导出矩阵 C 3 =0.49. 794 2 05 = 24. 996, 矩阵A 3 不具有满意的一致性, 仍需进行修正。0. 342 1. 169 1. 059 1. 4311. 207 1. 033 0. 748 1. 011, 2 =1 1 1 19 59 1 5 2一致性修正。用相同的修正方法, 得修正后的判断矩阵A 33 = 。1 1 1 15 25 1 2 12一致性检验。取 0 = 1 , 用 (1) 式计算A 33 的导出矩阵 (略) , 用 (2) 式计算得 2 = 7. 604 2 05 = 24. 996。判断4矩阵A 33 已具有满意的一致性, A 33 即为可采用的判断矩阵。5 结束语0 0.0本文给出的判断矩阵的统计检验方法弥补了一致性比例检验法的某些不足, 同时由于检验统计量中参数 2 以 及显著性水平 的选取有一定灵活性, 即可由决策人根据决策问题的不同情况以及其个人的偏好加以选定, 这就 为决策人留有较大的自由空间。同时, 本文给出的修正判断矩阵一致性的方法, 能较多地保留判断矩阵所包含的信 息, 直观、有效、实用, 且易于在计算机上实现, 值得决策者信赖。参考文献:1 Saa ty T L. T h e A na ly t ic H ie ra rch y P roce ssM . M cG raw H ill, Inc. , 1980.2 刘万里, 雷治军. 关于A H P 中判断矩阵校正方法的研究J . 系统工程理论与实践, 1997, 17 (6) : 30 39.3 M a W Y. A p ract ica l app roach to m od ify p a irw ise com p a r ison m a t r ice s and tw o cr ite r ia of m od if ica to ry effect ivene ssJ . Jou rna l of Science & Sy stem s E ng inee r ing, 1994 (4).4 王应明. 判断矩阵排序方法综述J . 决策与决策支持系统, 1995 (3) : 101 114.5 杜之韩. 判断矩阵一致性检验的新途径J . 系统工程理论与实践, 1998 (6) : 102 104.A Sta t ist ica l M ethod to Check an d Rect if y the Con s isten cy of a Judgm en t M a tr ixW U Ze2n ing, ZHA N G W en 2ge, GU A N X in 2jian(Schoo l of E nv ironm en t & W a te r Con se rvancy of Zh engzhou U