2019-2020学年九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质作业设计 （新版）华东师大版

26 2 126 2 1 二次函数二次函数y y 的图象与性质的图象与性质 2 ax 一 选择题一 选择题 1 已知a 0 在同一直角坐标系中 函数y ax与y ax2的图象有可能是 a b c d 2 函数y ax2 1 与y a 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 a x a b c d 3 已知抛物线y ax2 bx和直线y ax b在同一坐标系内的图象如图 其中正确的是 a b c d 4 已知函数y x m x n 其中m n 的图象如图 则一次函数y mx n与反比例函数y 的图象可 mn x 能是 a b c d 二 填空题二 填空题 5 下列函数 当x 0 时 y随x的增大而减小的是 填序号 1 y x 1 2 y 2x 3 4 y x2 2 y x 6 如图 抛物线与两坐标轴的交点坐标分别为 1 0 2 0 0 2 则抛物线的对称轴是 若 y 2 则自变量x的取值范围是 7 如图 边长为 2 的正方形abcd的中心在直角坐标系的原点o ad x轴 以o为顶点且过a d两点的抛物线 与以o为顶点且过b c两点的抛物线将正方形分割成几部分 则图中阴影部分的面积是 三 解答题三 解答题 8 抛物线y x2 m 1 x m与y轴交于点 0 3 1 求出m的值并画出这条抛物线 2 求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标 3 x取什么值时 抛物线在x轴上方 4 x取什么值时 y的值随x值的增大而减小 9 分别在同一直角坐标系内 描点画出y x2 3 与y x2的二次函数的图象 并写出它们的对称轴与顶点坐 标 参考答案参考答案 一 一 1 c 2 b 3 d 4 c 二 二 5 1 4 6 x 0 x 1 7 2 1 2 三 三 8 解 1 由抛物线y x2 m 1 x m与y轴交于 0 3 得m 3 抛物线为y x2 2x 3 x 1 2 4 列表得 x 10123 y03430 图象如右图 2 由 x2 2x 3 0 得x1 1 x2 3 抛物线与x轴的交点为 1 0 3 0 y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的顶点坐标为 1 4 3 由图象可知 当 1 x 3 时 抛物线在x轴上方 4 由图象可知 当x 1 时 y的值随x值的增大而减小 9 解 抛物线y x2 3 的开口方向向上 顶点坐标是 0 3 对称轴是y轴 且经过点 3 6 和 3 6 抛物线y x2的开口方向向上 顶点坐标是 0 0 对称轴是y轴 且经过点 3 3 和 3 3 则它们的图象如图 26 2 226 2 2 二次函数二次函数y y axax2 2 k k的图象与性质的图象与性质 1 如图 将抛物线y x2向 平移 个单位得到抛物线y x2 2 将抛物线y x2向 1 3 1 3 1 3 平移 个单位得到抛物线y x2 2 1 3 2 将二次函数y x2的图象向下平移 1 个单位 则平移后的二次函数的关系式为 a y x2 1 b y x2 1 c y x 1 2 d y x 1 2 3 不画出图象 回答下列问题 1 函数y 4x2 2 的图象可以看成是由函数y 4x2的图象通过怎样的平移得到的 2 说出函数y 4x2 2 的图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 3 如果要将函数y 4x2的图象经过适当的平移 得到函数y 4x2 5 的图象 应怎样平移 4 抛物线y x2 6 的开口向 顶点坐标是 对称轴是 当x 时 y有 1 2 最 值 其值为 当x 0 时 y随x的增大而增大 当x 0 时 y随x的增大而减 小 5 下列函数中 当x 0 时 y随x的增大而减小的有 填序号 y x 1 y 2x y y x2 2 x 6 已知点 1 y1 都在函数y x2 2 的图象上 则y1 y2 填 或 1 2 y2 1 2 7 二次函数y 2x2 1 y 2x2 1 y x2 2 的图象的共同特征是 1 2 a 对称轴都为y轴 b 顶点坐标相同 c 开口方向相同 d 都有最高点 8 二次函数y x2 1 的图象大致是 9 二次函数y 2x2 3 的图象是一条抛物线 下列关于该抛物线的说法 正确的是 a 抛物线开口向下 b 抛物线经过点 2 3 c 抛物线的对称轴是直线x 1 d 抛物线的顶点坐标是 0 3 10 已知二次函数y ax2 c有最大值 其中a和c分别是方程x2 2x 24 0 的两个根 试求该二次函数的 关系式 11 在同一坐标系中 一次函数y mx n2与二次函数y x2 m的图象可能是 12 从y 2x2 3 的图象上可以看出 当 1 x 2 时 y的取值范围是 a 1 y 5 b 5 y 5 c 3 y 5 d 2 y 1 13 已知函数y 则下列函数图象正确的是 x2 1 x 1 2 x x 1 14 已知二次函数y ax2 k的图象上有a 3 y1 b 1 y2 两点 且y20 b a 0 c a 0 d a 0 15 小华同学想用 描点法 画二次函数y ax2 c的图象 取自变量x的 5 个值 分别计算出对应的y值 如下表 x 2 1 012 y 112 1 25 由于粗心 小华算错了其中的一个y值 请你指出这个算错的y值所对应的x 16 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 4 与 y 轴交于点 a 过点 a 且与 x 轴平行的直线交抛物线 y x2于点 b c 则 bc 的长为 1 4 17 能否适当地上下平移函数 y x2的图象 使得到的新图象过点 4 2 若能 说出平移的方向和距离 1 2 若不能 请说明理由 18 已知抛物线 y x2 把它向下平移 得到的抛物线与 x 轴交于 a b 两点 与 y 轴交于点 c 若 abc 是直 1 2 角三角形 则原抛物线应向下平移几个单位 19 已知直线 y kx b 与抛物线 y ax2 4 的一个交点坐标为 3 5 1 求抛物线所对应的函数关系式 2 求抛物线与 x 轴的交点坐标 3 如果直线 y kx b 经过抛物线 y ax2 4 与 x 轴的交点 试求该直线所对应的函数关系式 参考答案参考答案 1 上 2 下 2 2 a 3 解 1 函数y 4x2 2 的图象可以看成是由函数y 4x2的图象向上平移 2 个单位得到的 2 函数y 4x2 2 的图象开口向上 对称轴为y轴 顶点坐标为 0 2 3 将函数y 4x2的图象向下平移 5 个单位得到函数y 4x2 5 的图象 4 下 0 6 y轴 或直线x 0 0 大 6 5 解析 y x 1 y随x的增大而减小 符合题意 y 2x y随x的增大而增大 不符合题 意 y 在每一个象限 y随x的增大而增大 不符合题意 y x2 在对称轴的左侧 y随x的增大而 2 x 增大 在对称轴的右侧 y随x的增大而减小 符合题意 故答案为 6 解析 抛物线y x2 2 当x 0 时 y随x的增大而减小 1 2 7 a 8 b 9 d 10 解 解方程x2 2x 24 0 得x1 4 x2 6 因为函数y ax2 c有最大值 所以a 0 而a和c分别是方程x2 2x 24 0 的两个根 所以a 4 c 6 所以该二次函数的关系式是y 4x2 6 11 d 解析 a 项 由n2 0 可知直线与y轴的交点在原点或y轴的正半轴上 错误 b 项 由二次函数 y x2 m的二次项系数为 1 可知二次函数图象的开口向上 错误 c 项 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴 上 可知m 0 由直线可知 m 0 错误 d 项 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上 可知m 0 由直 线可知 m 0 即m 0 正确 故选 d 12 c 解析 如图 根据y 2x2 3 的图象 分析可得 当x 0 时 y取得最小值 且最小值为 3 当 x 2 时 y取得最大值 且最大值为 2 22 3 5 故选 c 13 c 解析 y x2 1 图象开口向上 对称轴是y轴 顶点坐标是 0 1 当x 1 时 b c d 正确 y 图象在第一 三象限 当x 1 时 c 正确 故选 c 2 x 14 a 解析 二次函数y ax2 k的图象关于y轴对称 点a 3 y1 的对称点 3 y1 在二次函数图 象上 当横坐标 1 3 时 有对应的纵坐标y2 3 时 y随x的增大而减小 7 在平面直角坐标系中 函数y x 1 与y x 1 2的图象大致是 3 2 8 已知函数y x 1 2的图象上的两点a 2 y1 b a y2 其中a 2 则y1与y2的大小关系是 y1 y2 填 或 9 在平面直角坐标系中画出函数y x 3 2的图象 1 2 1 指出该函数图象的开口方向 对称轴和顶点坐标 2 说明该函数图象与二次函数y x2的图象的关系 1 2 3 根据图象说明 何时y随x的增大而减小 10 如图是二次函数y a x h 2的图象 则直线y ax h不经过 的象限是 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 11 已知二次函数y x h 2 当x 3 时 y随x的增大而增大 当x 3 时 y随x的增大而减 小 当x 0 时 y的值为 a 1 b 9 c 1 d 9 12 将抛物线y ax2 1 平移后与抛物线y a x 1 2重合 抛物线y ax2 1 上的点a 2 3 同时平移到点 a 的位置 那么点a 的坐标为 a 3 4 b 1 2 c 3 2 d 1 4 13 已知抛物线y a x h 2的形状及开口方向与抛物线y 2x2相同 且顶点坐标为 2 0 则 a h 14 二次函数y a x h 2的图象如图所示 若点a 2 y1 b 4 y2 是该图象上的两点 则 y1 y2 填 或 15 若点a b c为二次函数y x 2 2图象上的三点 则y1 y2 y3的大小关 13 4 y1 5 4 y2 1 4 y3 系为 16 已知直线y kx b经过抛物线y x2 3 的顶点a和抛物线y 3 x 2 2的顶点b 求该直线的函数关 1 2 系式 17 已知二次函数y x 3 2 1 写出该二次函数图象的开口方向 对称轴 顶点坐标和该函数的最值 2 若点a x1 y1 b x2 y2 位于对称轴右侧的抛物线上 且x10 个单位后 经过点a 0 3 试求m的值 2 画出 1 中平移后的图象 3 设两条抛物线相交于点b 点a关于新抛物线对称轴的对称点为c 试在新抛物线的对称轴上找出一点p 使bp cp的值最小 并求出点p的坐标 参考答案参考答案 1 左 5 右 5 2 a 解析 根据平移规律 左加右减 得抛物线y x 2 2可以由抛物线y x2向右平移 2 个单位得 2 5 2 5 到 3 b 解析 开口方向 形状与抛物线y x2相同 a 抛物线的顶点是 2 0 1 2 1 2 抛物线的表达式为y x 2 2 1 2 4 上 x 3 3 小 0 解析 因为二次项系数为 1 小于 0 所以在对称轴直线x 1 的左侧 y随x的增大而增大 在对 称轴直线x 1 的右侧 y随x的增大而减小 因为a 2 1 所以y1 y2 故答案为 9 解 图略 1 该函数图象的开口向下 对称轴为直线x 3 顶点坐标为 3 0 2 二次函数y x 3 2的图象是由二次函数y x2的图象向右平移 3 个单位得到的 1 2 1 2 3 当x 3 时 y随x的增大而减小 10 b 解析 由图象可知a 0 h0 所以该二次函数的图象开口向上 对称轴为直线x 3 顶点坐标为 3 0 当 x 3 时 y最小值 0 没有最大值 2 因为当x 3 时 y随x的增大而增大 又因为 3 x1 x2 所以y10 所以m 3 2 如图所示 3 如图 由题意可知平移后抛物线的函数关系式为y x 3 2 点b的坐标为 点c的坐标为 6 3 1 3 3 2 3 4 点p为直线bc与抛物线y x 3 2的对称轴 直线x 3 的交点 设直线bc所对应的函数关系式为y kx b 1 3 则解得 3 2k b 3 4 6k b 3 k 1 2 b 0 即直线bc所对应的函数关系式为y x 1 2 当x 3 时 y 因此点p的坐标为 3 2 3 3 2 26 2 426 2 4二次函数二次函数y y a a x x h h 2 2 k k的图象与性质的图象与性质 1 二次函数y 3 2 的图象是由抛物线y 3x2先向 填 左 或 x 4 2 右 平移 个单位 再向 填 上 或 下 平移 个单位得到 的 2 将抛物线y 2x2向右平移 3 个单位 再向下平移 5 个单位 得到的抛物线的表达 式为 a y 2 x 3 2 5 b y 2 x 3 2 5 c y 2 x 3 2 5 d y 2 x 3 2 5 3 抛物线y x 2 2 3 可以由抛物线y x2平移得到 则下列平移过程正确的是 a 先向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 b 先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 c 先向右平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 d 先向右平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 4 在同一平面直角坐标系内 将抛物线y x 2 2 5 先向左平移 2 个单位 再向下 平移 1 个单位后 所得抛物线的顶点坐标为 a 4 4 b 4 6 c 0 6 d 0 4 5 抛物线y 3 x 2 2 3 的开口 顶点坐标为 对称轴是 当x 2 时 y随x的增大而 当x 2 时 y随x的增大而 当 x 时 y有最 值是 6 如图所示为二次函数y a x h 2 k的图象 则 a 0 h 0 k 0 填 或 7 二次函数y x 2 2 1 的图象不经过的象限为 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 8 设二次函数y x 3 2 4 的图象的对称轴为直线l 若点m在直线l上 则点m 的坐标可能是 a 1 0 b 3 0 c 3 0 d 0 4 9 已知二次函数y x 1 2 2 则下列说法正确的是 a 其图象开口向上 b 其图象与y轴的交点坐标为 1 2 c 当x 1 时 y随x的增大而减小 d 其图象的顶点坐标是 1 2 10 二次函数y x b 2 k的图象如图所示 1 求b k的值 2 二次函数y x b 2 k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y x2的图 象 11 已知二次函数y x 1 2 3 3 4 1 画出该函数的图象 并写出图象的开口方向 对称轴 顶点坐标及y随x的变化情 况 2 函数y有最大值还是最小值 并写出这个最大 小 值 3 设函数图象与y轴的交点为p 求点p的坐标 12 若抛物线y x 1 2 2 不动 将平面直角坐标系xoy先沿水平方向向右平移 1 个单位 再沿铅直方向向上平移 3 个单位 则原抛物线的关系式变为 a y x 2 2 3 b y x 2 2 5 c y x2 1 d y x2 4 13 如图 将函数y x 2 2 1 的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象 其 1 2 中点a 1 m b 4 n 平移后的对应点分别为点a b 若曲线段ab扫过的面积为 9 图中的阴影部分 则新图象的函数表达式是 a y x 2 2 2 b y x 2 2 7 1 2 1 2 c y x 2 2 5 d y x 2 2 4 1 2 1 2 14 已知二次函数y a x 1 2 c的图象如图所示 则一次函数y ax c的大致图 象可能是图 26 2 21 中的 15 已知二次函数y x h 2 h为常数 当自变量x的值满足 2 x 5 时 与其 对应的函数y的最大值为 1 则h的值为 a 3 或 6 b 1 或 6 c 1 或 3 d 4 或 6 16 已知二次函数y x k 2 h 当x 2 时 y随x的增大而减小 则k的取 值范围是 17 已知抛物线y m 2 的顶点在第二象限 试求m的取值范围 x m 1 2 18 如图 抛物线y x 1 2 4 与y轴交于点c 顶点为d 1 求顶点d的坐标 2 求 ocd的面积 19 已知抛物线y 3 12 如图所示 x 1 2 1 求出该抛物线与y轴的交点c的坐标 2 求出该抛物线与x轴的交点a b的坐标 3 如果抛物线的顶点为d 试求四边形abcd的面积 参考答案参考答案 1 右 4 上 2 2 a 解析 抛物线y 2x2的顶点坐标为 0 0 点 0 0 向右平移 3 个单位 再向下平移 5 个单位所得对 应点的坐标为 3 5 所以平移后得到的抛物线的表达式为y 2 x 3 2 5 故选 a 3 b 解析 由抛物线平移的规律 左加右减 上加下减 可以得出 应先向左平移 2 个单位 再向下平移 3 个单位 所以选 b 4 d 5 向上 2 3 直线x 2 增大 减小 2 小 3 6 7 c 解析 根据题意可得该函数图象的顶点坐标为 2 1 与y轴交于 0 3 且开口向上 故抛物线 不经过第三象限 故选 c 8 b 解析 由题意可知二次函数的图象的对称轴为直线x 3 所以点m的横坐标为 3 对照选项可知选 b 9 d 解析 y x 1 2 2 二次函数的图象开口向下 顶点坐标为 1 2 对称轴为x 1 故 a 错误 d 正确 当x 1 时 y随x的增大而增大 当x 1 时 y随x的增大而减小 故 c 错误 在 y x 1 2 2 中 令x 0 可得y 1 图象与y轴的交点坐标为 0 1 故 b 错误 故选 d 10 解 1 由图象可得二次函数y x b 2 k的图象的顶点坐标为 1 3 因为二次函数y x b 2 k的图象的顶点坐标为 b k 所以b 1 k 3 2 把二次函数y x b 2 k的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位可得到二次函数y x2的 图象 其他平移方法合理也可 11 解 1 画函数图象略 a 0 图象的开口向上 对称轴为直线x 1 顶点坐标为 1 3 当 3 4 x1 时 y随x的增大而增大 2 a 0 函数y有最小值 最小值为 3 3 4 3 令x 0 则y 0 1 2 3 所以点p的坐标为 3 4 9 4 0 9 4 12 c 解析 y x 1 2 2 原抛物线的关系式变为y x 1 1 2 2 3 x2 1 故选 c 13 d 解析 连结ab a b 则s阴影 s四边形abb a 由平移可知 aa bb aa bb 所以四边 形abb a 是平行四边形 分别延长a a b b交x轴于点m n 因为a 1 m b 4 n 所以mn 4 1 3 因为s abb a aa mn 所以 9 3aa 解得aa 3 即函数y x 2 2 1 的图象沿y轴向上平移了 3 个 1 2 单位 所以新图象的函数表达式为y x 2 2 4 1 2 14 a 解析 由二次函数的图象开口向上得a 0 因为 c是二次函数图象顶点的纵坐标 所以c 0 所以 一次函数y ax c的大致图象经过第一 二 三象限 15 b 解析 如图 当h 2 时 有 2 h 2 1 解得h1 1 h2 3 舍去 当 2 h 5 时 y x h 2的最大值为 0 不符合题意 当h 5 时 有 5 h 2 1 解得h3 4 舍去 h4 6 综上所述 h的值为 1 或 6 故选 b 16 k 2 解析 抛物线的对称轴为直线x k 因为a 1 0 所以抛物线开口向下 所以当x k时 y随x的增大而减小 又因为当x 2 时 y随x的增大而减小 所以 k 2 所以k 2 17 解 因为y m 2 x m 1 2 m 2 所以抛物线的顶点坐标为 x m 1 2 m 1 m 2 因为抛物线的顶点在第二象限 所以即所以m 1 m 1 0 m 1 m 2 18 解 1 顶点d的坐标为 1 4 2 把x 0 代入y x 1 2 4 得y 3 即oc 3 所以 ocd的面积为 3 1 1 2 3 2 19 解 1 当x 0 时 y 9 所以点c的坐标为 0 9 2 当y 0 时 3 12 0 解得x1 3 x2 1 所以点a的坐标为 3 0 点b的坐标为 x 1 2 1 0 3 由抛物线所对应的函数关系式可知点d的坐标为 1 12 设对称轴与x轴交于点e 则点e的坐标为 1 0 所以s四边形abcd s ade s梯形ocde s boc 2 12 1 9 12 1 9 27 1 2 1 2 1 2 26 2 526 2 5 二次函数二次函数y y a a bxbx c c的图象与性质的图象与性质 2 x 一 选择题一 选择题 1 已知二次函数y ax2 2x 2 a 0 那么它的图象一定不经过 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 抛物线y 2x2 y 2x2 y x2共有的性质是 1 2 a 开口向下b 对称轴是y轴 c 都有最低点 d y的值随x的增大而减小 3 抛物线y 2x2 1 的顶点坐标是 a 2 1 b 0 1 c 1 0 d 1 2 4 对于二次函数y x 1 2 2 的图象 下列说法正确的是 a 开口向下b 对称轴是x 1 c 顶点坐标是 1 2 d 与x轴有两个交点 5 二次函数y ax2 bx c a 0 的大致图象如图 关于该二次函数 下列说法错误的是 a 函数有最小值b 对称轴是直线x c 当x y随x的增大而减小 d 当 1 x 2 时 y 0 1 2 1 2 二 填空题二 填空题 6 抛物线y 2x2 1 在y轴右侧的部分是 填 上升 或 下降 7 二次函数y x2 4x 5 图象的对称轴是直线 8 如果抛物线y a 3 x2 5 不经过第一象限 那么a的取值范围是 三 解答题三 解答题 9 在同一平面内画出函数y 2x2与y 2x2 1 的图象 10 如图 已知二次函数y a x h 2 的图象经过原点o 0 0 a 2 0 3 1 写出该函数图象的对称轴 2 若将线段oa绕点o逆时针旋转 60 到oa 试判断点a 是否为该函数图象的顶点 11 已知抛物线y x2 x 1 1 求抛物线y x2 x 1 的顶点坐标 对称轴 2 抛物线y x2 x 1 与x轴的交点为 m 0 求代数式m2 的值 2 1 m 参考答案参考答案 一 一 1 c 解析 二次函数y ax2 2x 2 a 0 图象的对称轴为直线x 0 2 b a 2 2a 1 a 其顶点坐标在第一或第四象限 当x 0 时 y 2 抛物线一定经过第二象限 此函数的图象一定不经过第三象限 故选 c 2 b 解析 函数y 2x2 y x2的图象开口向上 a 不正确 1 2 函数y 2x2的图象开口向下 有最高点 c 不正确 在对称轴两侧的增减性不同 d 不正确 三个抛物线中都不含有一次项 其对称轴为y轴 b 正确 故选 b 3 b 解析 y 2x2 1 2 x 0 2 1 抛物线的顶点坐标为 0 1 故选 b 4 c 解析 二次函数y x 1 2 2 的图象开口向上 顶点坐标为 1 2 对称轴为直线x 1 抛物线与x轴 没有公共点 故选 c 5 d 解析 a 由抛物线的开口向上 可知a 0 函数有最小值 正确 故不符合题意 b 由图象可知 对称轴为直线x 正确 故不符合题意 1 2 c 因为a 0 所以当x 时 y随x的增大而减小 正确 故不符合题意 1 2 d 由图象可知 当 1 x 2 时 y 0 故符合题意 故选 d 二 二 6 上升 解析 y 2x2 1 其对称轴为y轴 且开口向上 在y轴右侧 y随x的增大而增大 其图象在y轴右侧的部分是上升 7 x 2 解析 对称轴为直线x 2 即直线x 2 2 b a 4 2 1 8 a 3 解析 抛物线y a 3 x2 5 不经过第一象限 a 3 0 解得a 3 三 三 9 解 列表 得 x 2 1012 y 2x282028 y 2x2 193139 10 解 1 二次函数y a x h 2 的图象经过原点o 0 0 a 2 0 3 解得h 1 a 3 抛物线的对称轴为直线x 1 2 点a 是该函数图象的顶点 理由如下 如图 过点a 作a b x轴于点b 线段oa绕点o逆时针旋转 60 到oa oa oa 2 a oa 60 在 rt a ob中 oa b 30 ob oa 1 1 2 a b ob 33 点a 的坐标为 1 3 点a 为抛物线y x 1 2 的顶点 33 11 解 1 y x2 x 1 x2 x 1 x 2 1 4 1 4 1 2 5 4 所以顶点坐标是 对称轴是直线x 1 2 5 4 1 2 2 当y 0 时 x2 x 1 0 解得x 或x 15 2 15 2 当m 时 m2 2 15 2 2 1 m 15 2 2 2 15 3 62 54 2 56 42 52 56 6 62 562 5 4 当m 时 m2 2 15 2 2 1 m 15 2 2 2 15 62 54 2 56 42 52 56 6 3 62 562 5 4 故m2 3 2 1 m 26 2 626 2 6 二次函数最值的应用二次函数最值的应用 1 二次函数y x2 2x 6 有最 值 填 大 或 小 把函数关系式配方得 其图象 的顶点坐标为 故其最值为 2 某二次函数的图象如图所示 根据图象可知 当x 时 该函数有最 值 这个值是 3 若抛物线y ax2 bx c的开口向下 顶点坐标为 2 3 则二次函数y ax2 bx c有 a 最小值 3 b 最大值 3 c 最小值 2 d 最大值 2 4 已知二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 当 5 x 0 时 下列说法正确的是 a 函数有最小值 5 最大值 0 b 函数有最小值 3 最大值 6 c 函数有最小值 0 最大值 6 d 函数有最小值 2 最大值 6 5 若二次函数y ax2 bx 1 同时满足下列条件 图象的对称轴是直线x 1 最值是 15 则a的值为 a 14 b 14 c 28 d 28 6 一小球被抛出后 它距离地面的高度h 米 和飞行时间t 秒 满足函数关系式h 5 t 1 2 6 则小球 距离地面的最大高度是 a 1 米 b 5 米 c 6 米 d 7 米 7 某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形 如图 26 2 32 若喷水时水流的高度y m 与水平距离 x m 之间的函数关系式是y x2 2x 1 25 则在喷水过程中水流的最大高度为 图 26 2 32 a 1 25 m b 2 25 m c 2 5 m d 3 m 8 如图 26 2 33 假设篱笆 虚线部分 的长度为 16 m 则所围成矩形abcd的最大面积是 a 60 m2 b 63 m2 c 64 m2 d 66 m2 9 飞机着陆后滑行的距离s 单位 米 关于滑行的时间t 单位 秒 的函数关系式是s 60t t2 则飞机着 3 2 陆后滑行的最长时间为 秒 10 手工课上 小明准备做一个形状是菱形的风筝 这个菱形的两条对角线长度之和恰好为 60 cm 菱形的面 积s cm2 随其中一条对角线的长x cm 的变化而变化 1 请直接写出s与x之间的函数关系式 不要求写出自变量x的取值范围 2 当x的值是多少时 菱形风筝的面积s最大 最大面积是多少 11 用长 8 m 的铝合金条制成矩形窗框 如图所示 使窗户的透光面积最大 铝合金条的宽度忽略不计 那 么这个窗户的最大透光面积是 a m2 b m2 c m2 d 4 m2 64 25 4 3 8 3 12 如图 在矩形abcd中 ab 4 bc 6 当三角尺mpn的直角顶点p在bc边上移动时 直角边mp始终经 过点a 设三角尺的另一直角边pn与边cd相交于点q 则cq的最大值为 a 4 b c d 9 4 9 2 17 4 13 已知m n两点关于y轴对称 且点m在双曲线y 上 点n在直线y x 3 上 设点m的坐标为 a b 1 2x 则二次函数y abx2 a b x a 有最大值 最大值为 b 有最大值 最大值为 9 2 9 2 c 有最小值 最小值为 d 有最小值 最小值为 9 2 9 2 14 如图 26 2 36 在边长为 6 cm 的正方形abcd中 点e f g h分别从点a b c d同时出发 均以 1 cm s 的速度向点b c d a匀速运动 当点e到达点b时 四个点同时停止运动 在运动过程中 当运动时间 为 s 时 四边形efgh的面积最小 其最小面积是 cm2 15 如图 矩形abcd的周长为 20 求 1 矩形abcd的面积的最大值 2 矩形abcd的对角线的最小值 16 如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线y x2 x 4 与x轴交于点a b 与y轴交于点c 1 2 1 求点a b c的坐标 2 若m为第三象限内抛物线上一动点 点m的横坐标为m amc的面积为s 求s关于m的函数关系式 并 求出s的最大值 17 某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎 每年可在国内 国外市场上全部售完 该公司的年 产量为 6 千件 若在国内市场销售 则平均每件产品的利润y1 元 与国内的销售数量x 千件 之间的关系为y1 15x 90 0 x 2 5x 130 2 x 6 若在国外市场销售 则平均每件产品的利润y2 元 与国外的销售数量t 千件 之间的关系为y2 100 0 t 2 5t 110 2 t 6 1 用含x的代数式表示t为t 当 0 x 4 时 y2与x的函数关系式为y2 当 4 x 时 y2 100 2 求该公司每年销售这种健身产品的总利润w 千元 与国内的销售数量x 千件 的函数关系式 并指出x的 取值范围 3 该公司每年国内 国外的销售量各为多少时 可使公司每年的总利润最大 最大利润为多少 参考答案参考答案 1 小 y x 1 2 5 1 5 5 2 2 小 1 3 b 解析 因为抛物线y ax2 bx c的开口向下 所以顶点 2 3 是抛物线的最高点 所以二次函数 y ax2 bx c有最大值 3 4 b 解析 根据图象 当 5 x 0 时 图象的最高点的坐标是 2 6 最低点的坐标是 5 3 所以当x 2 时 y有最大值 6 当x 5 时 y有最小值 3 5 b 解析 根据题意 得 b 2a 1 4a b2 4a 15 解得a 14 6 c 解析 高度h 米 和飞行时间t 秒 满足函数关系式h 5 t 1 2 6 当t 1 时 小球距离地面的高度最大 此时h 5 1 1 2 6 6 米 故选 c 7 b 解析 y x2 2x 1 25 x 1 2 2 25 在喷水过程中水流的最大高度为 2 25 m 故选 b 8 c 解析 设ab x m 则bc 16 x m 于是矩形abcd的面积s ab bc x 16 x 16x x2 x2 16x x2 16x 64 64 x 8 2 64 64 x 8 2 因为 x 8 2 0 则 x 8 2 0 所以s 最大值 64 故选 c 9 20 解析 飞机停下时 也就是滑行最远时 故本题中需求出s最大时对应的t值 10 解 1 s x 60 x x2 30 x 1 2 1 2 2 在s x2 30 x中 a 0 1 2 1 2 s有最大值 当x 30 时 b 2a 30 2 1 2 s取得最大值 最大值为 450 4ac b2 4a 4 1 2 0 302 4 1 2 当x的值为 30 时 菱形风筝的面积s最大 最大面积是 450 cm2 11 c 解析 设矩形窗户水平方向的边长为x m 则竖直方向的边长为m 故这个窗户的透光面积 4 3 2x s x x2 4x 所以这个窗户的最大透光面积是 m2 4 3 2x 3 2 3 2 x 4 3 2 8 3 8 3 12 b 解析 设bp x cq y 则ap2 42 x2 pq2 6 x 2 y2 aq2 4 y 2 62 apq为直角三角形 ap2 pq2 aq2 即 42 x2 6 x 2 y2 4 y 2 62 化简 得y x2 x 1 4 3 2 整理 得y x 3 2 1 4 9 4 cq的最大值为 9 4 故选 b 13 b 解析 m n两点关于y轴对称 点m的坐标为 a b 点n的坐标为 a b 点m在反比例函数y 的图象上 点n在一次函数y x 3 的图象上 1 2x b b a 3 整理得ab a b 3 1 2a 1 2 故二次函数y abx2 a b x可转化为y x2 3x 该函数的二次项系数为 0 故此函数有最大值 1 2 1 2 最大值为 故选 b 9 2 14 3 18 解析 设运动时间为t s 0 t 6 则ae t cm ah 6 t cm 根据题意 得s四边形efgh s 正方形abcd 4s aeh 6 6 4 t 6 t 2t2 12t 36 2 t 3 2 18 当t 3 时 四边形efgh的面积取最小 1 2 值 最小值为 18 故答案为 3 18 15 解 1 设矩形的一边长为x 则其邻边长为 10 x 矩形abcd的面积s x 10 x x2 10 x x 5 2 25 当x 5 时 s最大 25 即矩形abcd的面积的最大值为 25 2 设矩形的一边长为x 则其邻边长为 10 x 对角线长为y y2 x2 10 x 2 2x2 20 x 100 2 x 5 2 50 当x 5 时 y最小2 50 矩形abcd的对角线的最小值为 5 2 16 解 1 当x 0 时 y 4 点c的坐标为 0 4 当y 0 时 x2 x 4 0 解得 1 2 x1 4 x2 2 点a的坐标为 4 0 点b的坐标为 2 0 2 过点m作md x轴于点d 设点m的坐标为 m n 则ad m 4 md n n m2 m 4 1 2 s s amd s梯形dmco s aco m 4 n n 4 m 4 4 2n 2m 8 1 2 1 2 1 2 2 2m 8 1 2m2 m 4 m2 4m 4 m 0 s m2 4m m 2 2 4 当m 2 时 s最大值 4 17 解 1 6 x 5x 80 6 2 当 0 x 2 时 w 15x 90 x 5x 80 6 x 10 x2 40 x 480 当 2 x 4 时 w 5x 130 x 5x 80 6 x 10 x2 80 x 480 当 4 x 6 时 w 5x 130 x 100 6 x 5x2 30 x 600 所以w 10 x2 40 x 480 0 x 2 10 x2 80 x 480 2 x 4 5x2 30 x 600 4 x 6 3 当 0 x 2 时 w 10 x2 40 x 480 10 x 2 2 440 此时 当x 2 时 w最大值 600 当 2 x 4 时 w 10 x2 80 x 480 10 x 4 2 640 此时当x 4 时 w最大值 640 当 4 x 6 时 w 5x2 30 x 600 5 x 3 2 645 此时当 4 x 6 时 w 640 所以当x 4 时 w最大值 640 所以该公司每年国内销售 4 千件 国外销售 2 千件时 可使公司每年的总利润最大 最大利润为 64 万元 或 640 千元 26 2 726 2 7 求二次函数的表达式求二次函数的表达式 一 选择题一 选择