2016年天津市高考数学理科试题含答案(Word版)

绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 数 学 （ 理工类 ） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 卷 1至 2 页，第 卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 卷 注意事项： 1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥， 那么 如果事件 A ， B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P B. ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 棱柱的 体积公式 V . 棱锥 的体积公式 13V 其中 S 表示 棱柱 的底面面积， 其中 S 表示 棱锥 的底面面积， h 表示圆柱的高 . h 表示 棱锥 的高 . 一 . 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1） 已知集合 4,3,2,1A ， ,23 ，则 （ ） （ A） 1 （ B） 4 （ C） 3,1 （ D） 4,1 （ 2） 设变量 x ， y 满足约束条件632,022 的最小值为 （ A） 4 （ B） 6 （ C） 10 （ D） 17 （ 3） 在 中，若 13 3 120C ， 则 ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 （ 4） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 则 输出 S 的值为 （ ） （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 （ 5） 设 比为 q 则 “ 0q ”是“对任意的正整数 n ， 0212 nn ”的 （ ） （ A） 充要条件 （ B） 充分而不必要条件 （ C） 必要而不充分条件 （ D） 既不充分也不必要条件 （ 6）已知双曲线 14 222 （ 0b ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A ， B ， C ， D 四点，四边形 面积为 则双曲线的方程为 （ ） （ A） 143422 （ B） 134422 （ C） 144 222 D） 112422 （ 7） 已知 是边长为 1 的等边三角形，点 D ， E 分别是边 中点，连接 并延长到点 F ，使得 ，则 的值为 （ ） （ A）85（ B）81（ C）41（ D）811（ 8） 已知函数0,1)1(lo )34()(2 0a ，且 1a ）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 2)( 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 （ ） （ A） 32,0(（ B） 43,32（ C） 32,3143 （ D） )32,3143 （第 4 题图） 否开始 4S 1 61输出 结束 ?3 ?6S 是绝密 启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷 ) 数 学 （理工类） 第 卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 . 2. 本卷共 12 小题 , 共 110 分 . 二填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 . （ 9） 已知 a ， b R， i 是虚数单位，若 )，则_. （ 10） 82 )1(的展开式中 7x 的系数为 _.（用数字作 答） （ 11） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积 为 _ 3m . （ 12） 如图， 圆的直径，弦 交于点 E ， 22 ，则线段 长 为 _. （ 13） 已知 )(定义在 R 上的偶函数，且在区间 )0,( 上单调递增 a 满足 )2()2( 1 ff a ， 则 a 的取值范围是 _. （ 14） 设抛物线 2 （ t 为参数， 0p ）的焦 点 F ，准线为 l 点 A 作 l 的垂线，垂足为 B 0,27( 交于点 E ， A 1 13且 的面积为 23 ，则 p 的值为 _. 三 . 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 15）（ 本小题满分 13 分 ） 已知函数 3)3c o s ()2s t a （ ）求 )( 定义域与 最小正周期； （ ） 讨论 )(区间 4,4 上的 单调性 . （ 16） （ 本小题满分 13 分 ） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动 ， 2 ， 3 的人数分 别为 3 ， 3 ， 4 0 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会 . （ ） 设 A 为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 ”，求事件 A 发生的概率 ； （ ） 设 X 为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列 和数学期望 . （ 17） （ 本小题满分 13 分 ） 如图，正方形 中心为 O ，四边形 矩形，平面 面 点 G 为 中点， 2 （ ） 求证： 平面 （ ） 求二面角 的正弦值 ； （ ） 设 H 为线段 的点，且 求直线 平面 成角的正弦值 . E F 18） （ 本小题满分 13 分 ） 已知 差为 d （ ） 设 221 ， 求证：数列 （ ） 设 1 ， nk 12)1(， 求证21 211k. （ 19） （ 本小题满分 14 分 ） 设椭圆 13222 3( ，右顶点为 A ， 其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率 . （ ） 求椭圆的方程 ； （ ） 设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，且 ，求直线 l 的斜率的取值范 围 . （ 20） （ 本小题满分 14 分 ） 设函数 3)1()( ， x R，其中 a ， b R. （ ） 求 )(单调区间 ； （ ） 若 )(在极值点0x，且 )()(01 ，其中01 ，求证： 3201 （ ） 设 0a ，函数 )()( ，求证： )(区间 2,0 上的最大值 不小于 41 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类） 一、选择题： （ 1） 【答案】 D （ 2） 【答案】 B （ 3） 【答案】 A （ 4） 【答案】 B （ 5） 【答案】 C （ 6） 【答案】 D （ 7） 【答案】 B （ 8） 【答案】 C 第 卷 二、填空题： （ 9） 【答案】 2 （ 10） 【答案】 56 （ 11） 【答案】 2 （ 12） 【答案】 233（ 13） 【答案】 13( , )22(14) 【答案】 6 三 、 解答 题 （ 15） 【答案】 （ ） ,2x x k k Z ， . （ ）在区间 ,12 4上 单调递增 ,在区间4 12，上 单调递减 . 【解析】 试题分析： （ ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数： ( ) = 2 s i n 2 3f x x ，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（ 1）的结论，研究三角函数在 区间 ,44上单调性 试题解析： 解： 2x x k k Z . 4 t a n c o s c o s 3 4 s i n c o s 333f x x x x x x 213= 4 s i n c o s s i n 3 2 s i n c o s 2 3 s i n 322x x x x x x = s i n 2 3 1 - c o s 2 3 s i n 2 3 c o s 2 = 2 s i n 2 3x x x x x . 所以 , 解：令 2,3函数 2的单调递增区间是 2 , 2 , k k Z 由 2 2 22 3 2k x k ,得 5 , 1 2k x k k Z 设 5, , ,4 4 1 2 1 2A B x k x k k Z ，易知 ,1 2 4. 所以 , 当 ,44x 时 , 区间 ,12 4上 单调递增 , 在区间4 12，上 单调递减 . 考点：三角函数性质， 诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 【结束】 (16) 【答案】 （ ） 13（ ）详见解析 【解析】 试题分析： （ ）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数： 210C，再确定 选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4 所包含基本事件数： 1 1 23 4 4C C C，最后根据概率公式求概率（ ）先确定随机变量 可能取值为0,1,2. 再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解： () 由已知，有 1 1 23 4 42101 ,3C C 所以，事件 A 发生的概率为 13. () 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. 2 2 23 3 42100 C C 415 ， 1 1 1 13 3 3 42107115C C C ， 11342104215 . 所以，随机变量 X 分布列为 X 0 1 2 P 415 715 415 随机变量 X 的数学期望 4 7 40 1 2 11 5 1 5 1 5 . 考点：概率，概率分布与数学期望 【结束】 (17) 【答案】 （ ）详见解析（ ） 33（ ） 721【解析】 试题分析： （ ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（ ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（ ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析： 依题意， O F A B C D 平 面 ，如图，以 O 为点，分别以 ,A 方向为 x 轴， y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 (0,0,0)O ， 1, 1, 0 , ( 1, 1, 0 ) , ( 1, 1, 0 ) , ( 1 1, 0 ) , ( 1, 1, 2 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1, 0 , 0 )A B C D E F G ，. （ I）证明：依题意， ( 2 , 0 , 0 ) , 1 , 1 , 2A D A F 1 ,n x y z为平面 法向量，则 1100n F ，即 2020xx y z z ，可得 1 0, 2,1n ，又 0,1, 2，可得1 0EG n，又因为直线E G A D F 平 面 ，所以 /E G A D . （ ：易证， 1,1, 0 为平面 一个法向量 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2E F C F 2 ,n x y z 为平面 法向量，则 2200n F ，即 020y z . 不妨设 1x ，可得 2 1, 1,1n . 因此有2226c o s ,3O A n ，于是23s i n , 3O A n ，所以，二面角 O 的正弦值为 33. （ ：由 23F，得 25F 1, 1, 2 ，所以 2 2 2 4,5 5 5 5A H A F ，进而有 3 3 4,5 5 5H ，从而 2 8 4,555 ，因此2227c o s ,21B H n 线 平面 成角的正弦值为 721. 考点： 利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18) 【答案】 （ ）详见解析（ ）详见解析 【解析】 试题分析： （ ）先根据等比中项定义得： 21n n nb a a ，从而 221 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a d a ，因此根据等差数列定义可证： 21 2 122n n n nc c d a a d （ ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简 2211n 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 1 2b b b b b 221d n n，再利用裂项相消法求和 2 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1n n nk k d k k d k k d n ，易得结论 . 试题解析： （ I ）证明：由题意得 21n n nb a a ，有 221 1 2 1 12n n n n n n n nc b b a a a a d a ，因此 21 2 122n n n nc c d a a d ，所以 等差数列 . （ 明： 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 1 2n n nT b b b b b b 22 22 4 22 2 2 12 nn n a ad a a a d d n n 所以 2 2 2 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 2n n nk k d k k d k k d n d . 考点： 等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （ 19） 【答案】 （ ） 22143（ ） ),4646,( 【解析】 试题分析： （ ）求椭圆标准方程，只需确定量，由 1 1 3| | | | | | O A F A，得 1 1 3()cc a a a c ，再利用2 2 2 3a c b ， 可解得 2 1c ， 2 4a （ ）先化简条件： M O A M A O | | | |O ， 即 A 中垂线上， 1 ，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B ；利用两直线方程组求 H，最后根据 ， 列等量关系解出直线斜率 试题解析： （ 1）解：设 ( ,0)由 1 1 3| | | | | | O A F A，即 1 1 3()cc a a a c ，可得 2 2 23a c c ，又2 2 2 3a c b ，所以 2 1c ，因此 2 4a ，所以椭圆的方程为 22143. （ 2） （ ）解：设直线 l 的斜率为 k （ 0k ），则直线 l 的方程为 )2( 设 ),( BB 由方程组)2(13422消去y ，整理得 0121616)34( 2222 解得 2x ，或34 68 22 题意得34 68 22 而34 122 k 由（ ）知， )0,1(F ，设 ),0( 有 ),1( ， )34 12,34 49( 222 k kk ，得0 所 以 0341234 49 222 k k H， 解 得2492 . 因 此 直 线 方 程 为2 4912 . 设 ),( MM 由 方 程 组)2(12491 2去 y ， 解 得 )1(12 920 22 在 中，| A ，即 2222)2( ，化简得 1即 1)1(12 92022 解得46k. 所以，直线 l 的斜率的取值范围为 ),4646,( . 考点： 椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】 （ 20） 【答案】 （ ）详见解析（ ）详见解析 （ ） 详见解析 【解析】 试题分析： （ ）先求函数的导数： 2)1(3)( ， 再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论： 当 0a 时，有 ( ) 0 恒成立，所以 () , ) . 当 0a 时，存在三个单调区间（ ）由题意得3)1( 20 ，计算可得00( 3 2 ) ( )f x f x再由 )()( 01 及单调性可得结论 （ ） 实质研究函数 )(大值：主要比较 (1), ( 1)， 33| ( | , | ( ) |大小即可，分三种情况研究 当 3a 时，312031 ， 当 3 34 a时，33212313103321 ， 当 304a时， 23313310 试题解析： （ ）解：由 3)1()( ，可得 2)1(3)( . 下面分两种情况讨论： （ 1）当 0a 时，有 0)1(3)( 2 成立，所以 )(单调递增区间为 ),( . （ 2）当 0a 时，令 0)( 解得331 ，或331 . 当 x 变化时， )( )(变化情况如下表： x )331,( a331 a)331,331( 331 a),331( a)( 0 0 )(单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以 )(单调递减区间为 )331,331( ，单调递增区间为 )331,( a，