GMAT数学知识点与技巧小结.doc

数学知识与技巧一、方程与方程组1.一元二次方程一般常用因式分解法：2.二元一次方程组消去其中一个元素即可例1： （1） （2）（1）（2），消去y，得x=1,y=2注意：并不是任何二元一次方程组都有唯一解。例2： （1） （2）上述方程有无穷多解。例3： （1） （2）无解。3.二元二次方程组一般只考如下形式： （1） （2）即其中的一个方程为一次。这种形式等价于一元二次方程，把（1）代入（2）即可。4.不等式如果不等式两边同时乘以或者除以一个负数，这时不等式的方向发生变化。如果不等式两边同时乘以或者除以一个正数，这时不等式的方向不发生变化。若a b0,a0,则b0若ab，c0，则acb c若ab，c0，则acb c (注意c的符号的影响)若|xa|b,则bxab,则xab或xa0,kp?(1)n 二、数列与集合1.等差数列2.等比数列,当时，例：3.集合无重复元素的序列（或数列）就是集合。I=A+BAB+非A非BI=A+B+CABBCCA+ABC+非A+非B+非C例：小于100的自然数中有多少个即不被2整除又不被5整除？三、排列组合与概率1.排列与组合 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（1） 加法原理某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n中方法完成，则这件事可由m+n种方法来完成。例：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？（2） 乘法原理某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n中方法完成，则这件事可由m x n种方法来完成。例：到美利坚去，先乘飞机，再坐轮船，其中飞机还有战斗机与民航，轮船有小鹰号和泰坦尼克号，问有多少种走法？2.概率第一步：概率基本原理（古典定义） P(A)=A 所包含的基本事件数/基本事件总数。例1：某班有男生30名，女生20名，问从中随机抽取一个学生，是男生的概率有多大挑取两个全是男生的概率是多大呢？, 例2：硬币有正反两面，抛一次正面朝上的几率是多少？连续抛两次，至少有一次正面朝上的几率是多少？第二步：使用加法或者乘法原则第三步：减法原则例题：袋中有a只白球，b只红球，一次将球一只只取出，不放回。求第K次取出白球的概率。）例题：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？3.条件概率例1：一个班有100人，男生60人，女生40人，男女生当中都有黑头发与棕色头发的，其中有10个男生棕色头发，棕色头发一共有30个人，问在100个学生，随便抽取，抽到男生棕色头发的概率是多少？古典概型： 乘法原则：例题：1.用0，2，4，6，9这五个数字可以组成数字不重复的五位偶数共有多少个？2. 6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女想间而坐，则不同的分法数为多少？3.甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻），那么不同的排法有多少种？4.晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？第一，3个舞蹈节目排在一起；第二，3个舞蹈节目彼此分开；第三，3个舞蹈节目先后顺序一定。挡板模型：0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 05.4本不同的书分给2人，每人2本，不同的分法共有多少种？ 四、排列组合和概率习题讲解排列组合题目的四个步骤：1. 古典概型2. 加法原则、乘法原则3. 减法原则、除法原则4. 条件概率讲义白皮书第28页：1 10个人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。答案： 8 4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 答案：95辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 答案： 或者 11掷一枚均匀硬币2n次，求出现正面k次的概率。12有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ 答案：18从0到9这10个数中任取一个数并记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。两个值的和为8时，出现5的概率是多少？ 答案：195双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率是多少？ 答案：11掷一枚均匀硬币2n次，求出现正面k次的概率。 答案： 26有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？ 答案：27一个人掷飞标，其击中靶心的概率为0.7，他连续掷4次飞标，有2次击中靶心的概率为多少？ 答案：28某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6，问连续抛5次，至少有4次正面朝上的概率。 答案：29A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B都不发生的最大概率？答案：0.430某种动物由出生而活到20岁得概率为0.7，活到25岁得概率为0.56，求现龄为20岁得这种动物活到25岁的概率。 答案：五、数论（自然数的理论）1 自然数：正整数。如1，2，3，4，5。2 奇数：不能被2整除的整数（可正可负），通式：2n+1。如-1，1。3 偶数：能被2整除的整数（可正可负），零是偶数。通式：2n。如-4，-2，0，2，4。4 质数：除了1和它本身之外没有别的因子的自然数。2是最小的质数，也是唯一的偶质数。1不是质数。如2，3，5，7，11，13。5 合数：除了1和它本身之外由别的因子的自然数。4是最小的合数。1不是合数。如4，6，8，9。6 奇偶性分析：1) 偶数偶数偶数 或 奇数奇数，偶数偶数偶数 或 奇数偶数2) 奇数奇数偶数3) 奇数个奇数相加减，结果为奇数4) 偶数个奇数相加减，结果为偶数5) 任意个偶数相加减，结果为偶数6) 若n个整数相乘结果为奇数，则这n个整数为奇数7) 若n个连续的整数相加等于零，则n为奇数。如：(-2)+(-1)+0+1+2=08) 若n个连续的奇数相加等于零，则n为偶数。如：(-3)+(-1)+1+3=09) 若n个连续的偶数相加等于零，则n为奇数。如：(-4)+(-2)+0+2+4=010) 两个质数之和为奇数，其中必有一个是2。7n个连续自然数的乘积一定能够被n！整除。如：234，45678若n能被a整除，且能被b整除，那么n一定能够被a, b整除。（其中a, b表示a和b的最小公倍数，另外a, b表示a和b的最大公约数） 特别地,当a,b互质(即无公因子),则n能被ab整除。(这里用到了公式a,bab/a, b) 如n能被8和12整除，n也能被24整除； 如n能被8和11整除，n也能被88整除。 9余数表示法。 如：一个偶数被7除余3，问被14除余几？ p=7n3，由于p为偶数，3为奇数，所以7n为奇数，n可以表示为2q+1 于是p=7(2q+1)+3=14q+10 很明显余数为10。10字母法（未知数法）。 如：两个两位数各位与十位恰好颠倒，问下面哪个不能是两数之和？ A181 B121 C77 D132 E154 设两数分别为ab和ba，则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，即和必为11的倍数 显然答案为A。11代入法。 如：余数表示法例中，既然问被14除余几，则必然结果唯一，任意代入一个数即可，比如 24，立刻得到答案10。 代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。12一些整除性质。1)已知C=A+B且A是m的倍数，则C是m的倍数与B是m的倍数互为充分必要条件推论：一个数是否能够被5整除，只要看它的最后一位。 一个数是否能够被4整除，只要看它的后两位。 一个数是否能够被8整除，只要看它的后三位。 一个数能否被3整除，取决于各位之和能否被3整除。 例题：已知m7n8（n为整数），下面哪个不能是m的值？ A49 B43 C64 D78 E922)个位数为1的数任意次方个位数均为1。3)个位数为5的数任意次方个位数均为5。4)个位数为6的数任意次方个位数均为6。 练习：求的个位数是多少？ 求的个位数是多少？ 六、单利和复利1单利通式：a1（1nx）复利通式：a12综合例子：年利率为12，按每月的复利计算，两年后100元变成多少元？ 100七、数据充分性1约定：A为(1)充分，(2)不充分。B为(1)不充分，(2)充分。C为(1)和(2)在一起充分，但分别不充分。D为(1)和(2)自己分别充分。E为(1)和(2)在一起也不充分。做题阶段：第一阶段：先看条件(1)，只要(1)充分，答案不是A就是D 再看条件(2)，只要(2)充分，答案不是B就是D 如果(1)(2)都充分，则答案一定是D 如果一个充分一个不充分，答案就是A或者B (只要(1)不充分，答案肯定不是A或者D)第二阶段：C是好的，E是坏的 2做题步骤。1) 读题干，若是文字题，必须列出相应的式子。2) 先单独看(1)，(2)是否充分，若分别都充分，选D；若其中一个充分，则选A或B。3) 若都不充分，则看(1)和(2)加在一起是否充分，若充分，则C；否则选E。3 特点。1) 不需要求出具体值，只需要知道求出即可。例：买一打（12个）罐装汤，问降低后的价格比起原价格便宜多少？ （C）（1）原价一美元三个。 （2）降低后的价格一美元三个。 2) 字母不代表具体的值，应确定字母的值以后，才决定充分与否。例：W- w 0? （E）(1) W= a+ b (2) w = a- b 3) 选C时应该注意是否可选A或B。例： （A）（1）|x|=2 （2）x0 4) 唯一性。例：x？ （A）（1）x2 （2） 练习：蓝皮书234页114题114. Pam and Ed are in a line to purchase tickets. How many people are in line?（E）(1) There are 20 people behind Pam and 20 people in front of Ed. (2) There are 5 people between Pam and Ed. 5) 不矛盾性。例：两辆火车相对行驶，同时开出，距离500英里，问多长时间后相遇？（C）（1）其中一辆速度为200英里每小时。（2）其中一辆速度为300英里每小时。6) 否定性。例：x0？ （B）（1）（2）白皮书17页例题 例：若n=kp且p0，kp? （D） (1) (2) 7) 关于方程组的解。例1：（唯一根） （D） （1）（2）k=2 例2：（根不唯一，结果唯一） （D） （1） （2） 例3：（唯一根）已知，那么xy(x+y)=? （A） （1）xy=6 （2）x-y= -5 例4：（根不唯一，结果唯一）已知，那么xy(x+y)=? （D） （2）注意：如果一个数是一个完全平方数，那么它的因子的个数一定是奇数 问一个数有多少个因子，先把它进行质因子表达展开，然后乘以（指数1）即可 假如一个数有奇数个因子，那么这个数一定是另一个数的平方笔记：两个相差为m的自然数，其公因子一定是m的约数。推论：两个相邻的自然数一定互质。 两个相邻的奇数一定互为质数。 两个相邻的偶数最大公约数一定是2。第三章 几何3.1 平面几何1 直角三角形勾股定理。a2+b2=c22 两直线平行，内错角相等，同位角相等。3 圆心角是圆周角的两倍。4 面积与周长。 三角形（边长为a,b,c）：面积=1/2 absin（是a,b两边之夹角）对于直角三角形，=90，S直角三角形=ab 。对于等边三角形，=60，S等边三角形= 。 周长=a+b+c 梯形（上底为a，下底为b，高为h）面积=（a+b）h/2 平行四边形（边长为a，b，高为h）面积=ah周长=2（a+b） 矩形（边长为a，b）面积=ab周长=2（a+b） 正方形（边长为a）面积=a2周长=4a 圆（半径为R）面积=R2周长=2R5 多边形内角和：（n-2）1803.2 立体几何体积和表面积：1 长方体（边长为a，b，c）体积=abc表面积=2（ab+bc+ca）2 正方体（立方体）（边长为 a）体积=a3表面积=6a23 圆柱（底面半径为R，高为h）体积=R2h表面积=2R2+2Rh3.3解析几何1 关于对称。 坐标(a,b)关于y=x的对称点为(b,a) 坐标(a,b)关于y=-x的对称点为(-b,-a)2 直线方程。 y=kx+b （斜截式，k为斜率slope，b为截距intercept） x/a + y/b =1 （截距式，a为x轴上截距，b为y轴上截距） (y-y2)/( x-x2) = (y1-y2)/(x1-x2)（两点式，已知(x1,y1)，(x2,y2)） (y-y1)/(x-x1) =k （点斜式，已知(x1,y1)，斜率k）例：请写出x轴与y轴上截距分别为20和30的直线方程在x,y0条件下的整数解。第四章 统计1. 算术平均数（arithmetic mean）。E=当a, b0时，下式成立，当a=b时取等号。 调和平均， 几何平均， 算术平均，加权平均或平方平均2 期望（expectation）在GMAT数学中，期望就是算术平均。通常计算出来的算术平均都用E表示，这个E就