选修2-2第二章教案

1 第二章第二章 推理与证明推理与证明 第一课时第一课时 2 1 1 合情推理 一 教学要求教学要求 结合已学过的数学实例 了解归纳推理的含义 能利用归纳进行简单的推理 体会 并认识归纳推理在数学发现中的作用 教学重点教学重点 能利用归纳进行简单的推理 教学难点教学难点 用归纳进行推理 作出猜想 教学过程教学过程 一 新课引入一 新课引入 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学概念 教学概念 概念 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的几个特点 1 归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特殊现象推断一般现象 因而因而 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围 2 归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象归纳是依据若干已知的 没有穷尽的现象推断尚属未知的现象 因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性 3 归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况 因而归纳是立足于观察 经验和实验的基础之上因而归纳是立足于观察 经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤 归纳推理的一般步骤 对有限的资料进行观察 分析 归纳对有限的资料进行观察 分析 归纳 整理 整理 提出带有规律性的结论 即猜想 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 检验猜想 归纳练习 i 由铜 铁 铝 金 银能导电 能归纳出什么结论 ii 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形内角和 180 度 能归纳出什么结论 iii 观察等式 能得出怎样的结论 222 1342 13593 13579164 讨论 i 统计学中 从总体中抽取样本 然后用样本估计总体 是否属归纳推理 ii 归纳推理有何作用 发现新事实 获得新结论 是做出科学发现的重要手段 iii 归纳推理的结果是否正确 不一定 2 教学例题 教学例题 出示例题 已知数列的第 1 项 且 试归纳出通项公式 n a 1 2a 1 1 2 1 n n n a an a 分析思路 试值 n 1 2 3 4 猜想 如何证明 将递推公式变形 再构造新数列 n a 2 3 小结 小结 归纳推理的药店 由部分到整体 由个别到一般 典型例子 哥德巴赫猜想的提 出 数列通项公式的归纳 三 巩固练习 三 巩固练习 2222 1 5124 7148 111120 131168 24 观察所得的结果都是的倍数继续试验 你能得到什么猜想 11 2 2 1 2 n nn n a aaanN a 在数列中试猜想这个数列的通项公式 12 3 2 1 n nn 对于任意正整数猜想与的大小关系 教学反思 教学反思 第二课时第二课时 2 1 1 合情推理 二 教学要求教学要求 结合已学过的数学实例 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推 理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 教学重点教学重点 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 教学难点教学难点 用归纳和类比进行推理 作出猜想 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学概念 教学概念 概念 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具 有这些特征的推理 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的几个特点类比推理的几个特点 1 类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性 推测正在研究的事物的属性推测正在研究的事物的属性 是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础 类类 比出新的结果比出新的结果 2 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性 3 类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠 单它却有发现的功能单它却有发现的功能 3 2 教学例题 教学例题 出示例 1 类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 得到如下表格 类比角度实数的加法实数的乘法 运算结果若则 a bR abR 若则 a bR abR 运算律 abba abcabc abba ab ca bc 逆运算 加法的逆运算是减法 使得 方程有唯一解0ax xa 乘法的逆运算是除法 使 得方程有唯一解1ax 1 x a 单位元0aa 11a 出示例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 思维 直角三角形中 3 条边的长度 2 条直角边和 1 条斜边 0 90C a b c a bc 3 个面两两垂直的四面体中 4 个面的面积和 0 90PDFPDEEDF 123 S SSS 3 个 直角面 和 1 个 斜面 拓展 三角形到四面体的类比 123 S SSS 3 小结 类比推理的一般步骤小结 类比推理的一般步骤 1 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 2 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 3 检测猜想检测猜想 教学反思 教学反思 第三课时第三课时 2 1 2 演绎推理 教学要求教学要求 结合已学过的数学实例和生活中的实例 体会演绎推理的重要性 掌握演绎推理的 基本方法 并能运用它们进行一些简单的推理 教学重点教学重点 了解演绎推理的含义 能利用 三段论 进行简单的推理 教学难点教学难点 分析证明过程中包含的 三段论 形式 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 4 复习 合情推理 归纳推理的一般步骤 类比推理的一般步骤 归纳推理的一般步骤 类比推理的一般步骤 二 讲授新课 二 讲授新课 观察与思考观察与思考 1 所有的金属都能导电所有的金属都能导电 因为铜是金属因为铜是金属 所以铜能够导电所以铜能够导电 2 一切奇数都不能被一切奇数都不能被 2 整除整除 因为因为 2100 1 是奇数是奇数 所以所以 2100 1 不能被不能被 2 整除整除 3 三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数 因为因为 tan 三角函数三角函数 所以是所以是 tan 周期函数周期函数 1 教学概念 教学概念 概念 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理演绎推理 要点 由一般一般到特殊特殊的推理 讨论 演绎推理与合情推理有什么区别 合情推理 演绎推理 由一般到特殊 归纳推理 由特殊到一般 类比推理 由特殊到特殊 三段论 是演绎推理的一般模式 第一段 大前提 已知的一般原理 第二段 小前提 所研究的特殊情况 第三段 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 举例 举出一些用 三段论 推理的例子 2 教学例题 教学例题 5 例例 如如图图 在在锐锐角角三三角角形形A AB BC C中中 A AD D B BC C B BE E A AC C D D E E是是垂垂足足 求求证证A AB B的的中中点点M M到到D D E E的的距距离离相相等等 A A D D E E C C M MB B 1 1 因因为为有有一一个个内内角角是是只只直直角角的的 三三角角形形是是直直角角三三角角形形 在在 A AB BC C中中 A AD D B BC C 即即 A AD DB B 9 90 00 0 所所以以 A AB BD D是是直直角角三三角角形形 同同理理 A AB BD D是是直直角角三三角角形形 2 2 因因为为直直角角三三角角形形斜斜边边上上的的中中线线等等于于斜斜边边的的一一半半 M M是是R Rt t A AB BD D斜斜边边A AB B的的中中点点 D DM M是是斜斜边边上上的的中中线线 所所以以 D DM M A AB B 1 2 同同理理 E EM M A AB B 1 2 所所以以 D DM M E EM M 大大前前提提 小小前前提提 结结论论 大大前前提提 小小前前提提 结结论论 证证明明 练习练习 0 n nn acqcqa 1 证明通项公式为的数列是等比数列并分析 证明过程中的三段论 ABCACBC CDABACDBCD 2 如图在中是边上的高求证 ABCCDABACBC ADBD ACDBCD 证明 在中因为 所以 于是 指出上面证明过程中的错误 3 比较 比较 合情推理与演绎推理的区别与联系 从推理形式 结论正确性等角度比较 演绎推 理可以验证合情推理的结论 合情推理为演绎推理提供方向和思路 归纳是由特殊到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 演绎推理是由 一般到特殊的推理 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 教学反思 教学反思 第一课时第一课时 2 2 1 综合法和分析法 一 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解 分析法和综合法的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用综合法证明问题 了解综合法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 结合综合法的思考过程 特点 选择适当的证明方法 DB C A 6 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学例题 教学例题 出示例 1 已知 a b c 是不全相等的正数 求证 a b2 c2 b c2 a2 4abc 提出综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最 后推导出所要证明的结论成立 框图表示 要点 顺推证法 由因导果 出示例 3 在 ABC 中 三个内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 A B C 成等差数 列 a b c 成等比数列 求证 为 ABC 等边三角形 2 练习 练习 1 已知 a b c 是全不相等的正实数 求证3 bcaacbabc abc 2为锐角 且 求证 提示 算 A Btantan3tantan3ABAB 60AB tan AB 3 小结 小结 综合法是从已知的 P 出发 得到一系列的结论 直到最后的结论是 Q 运用 12 Q Q 综合法可以解决不等式 数列 三角 几何 数论等相关证明问题 三 巩固练习 三 巩固练习 1 求证 对于任意角 教材 P44 练习 1 题 44 cossincos2 2 的三个内角成等差数列 求证 ABC A B C 113 abbcabc 3 作业 教材 P46 A 组 1 题 教学反思 教学反思 第二课时第二课时 2 2 1 综合法和分析法 二 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解 分析法和综合法的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用分析法证明问题 了解分析法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 选择适当的证明方法 教学过程教学过程 7 一 复习准备一 复习准备 1 提问 基本不等式的形式 2 讨论 如何证明基本不等式 0 0 2 ab abab 讨论 板演 分析思维特点 从结论出发 一步步探求结论成立的充分条件 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学例题 教学例题 22 0 828 ababab abab ab 例2 已知求证 2 22 22 4 sincos2sin 1 2 sincossin 2 1tan1tan 1tan2 1tan kkZ 已知且 求证 练习 设 x 0 y 0 证明不等式 11 2233 32 xyxy 先讨论方法 分别运用分析法 综合法证明 出示例 4 见教材 P48 讨论 如何寻找证明思路 从结论出发 逐步反推 出示例 5 见教材 P49 讨论 如何寻找证明思路 从结论与已知出发 逐步探求 2 练习 练习 672 25 1 求证 2 1 2 2 2 a b cSab SabcSa 2 设为一个三角形的三边且试证 222 tansin tansin 16ababab 3 已知求证 3 小结 小结 分析法由要证明的结论 Q 思考 一步步探求得到 Q 所需要的已知 直到所有 12 P P 的已知 P 都成立 比较好的证法是 用分析法去思考 寻找证题途径 用综合法进行书写 或者联合使用分析 法与综合法 即从 欲知 想 需知 分析 从 已知 推 可知 综合 双管齐下 两面 夹击 逐步缩小条件与结论之间的距离 找到沟通已知条件和结论的途径 框图示意 三 巩固练习 三 巩固练习 1 设 a b c 是的 ABC 三边 S 是三角形的面积 求证 222 44 3cababS 略证 正弦 余弦定理代入得 2cos42 3sinabCababC 8 即证 即 即证 成立 2cos2 3sinCC 3sincos2CC sin 1 6 C 2 作业 教材 P46练习 2 3 题 教学反思 教学反思 第三课时第三课时 2 2 2 反证法 教学要求教学要求 结合已经学过的数学实例 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法 的思考过程 特点 教学重点教学重点 会用反证法证明问题 了解反证法的思考过程 教学难点教学难点 根据问题的特点 选择适当的证明方法 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 A B C 三个人 三个人 A 说说 B 撒谎 撒谎 B 说说 C 撒谎 撒谎 C 说说 A B 都撒谎 则都撒谎 则 C 必定是在撒谎 为什么 必定是在撒谎 为什么 分析 假设分析 假设 C 没有撒谎 则没有撒谎 则 C 真真 那么那么 A 假且假且 B 假假 由由 A 假 知假 知 B 真真 这这 与与 B 假矛盾假矛盾 那么假设那么假设 C 没有撒谎不成立没有撒谎不成立 则则 C 必定是在撒谎必定是在撒谎 二 讲授新课 二 讲授新课 1 教学反证法概念及步骤 教学反证法概念及步骤 提出反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错 误 从而证明了原命题成立 证明基本步骤 假设原命题的结论不成立 从假设出发 经推理论证得到矛盾 矛盾的 原因是假设不成立 从而原命题的结论成立 2 教学例题 教学例题 33 2 2pqpq 例1 已知求证 例例 2 已知已知 a 0 证明 证明 x 的方程的方程 ax b 有且只有一个根 有且只有一个根 例 3 求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 分析 如何否定结论 如何从假设出发进行推理 得到怎样的矛盾 与教材不同的证法 反设 AB CD 被 P 平分 P 不是圆心 连结 OP 则由垂径定理 OP AB OP CD 则过 P 有两条直线与 OP 垂直 矛盾 不被 P 平分 练习 9 1 2 3 5 求证不可能成等差数列 3 2 ABCa b cB 的三边的倒数成等差数列求证 3 小结 小结 反证法是从否定结论入手 经过一系列的逻辑推理 导出矛盾 从而说明原结论正确 注意证明步骤和适应范围 至多 至少 均是 不都 任何 唯一 等特征的问 题 三 巩固练习 三 巩固练习 1 练习 教材 P45 1 2 题 2 作业 教材 P46 A 组 3 题 教学反思 教学反思 第一课时第一课时 数学归纳法 1 教学要求教学要求 了解数学归纳法的原理 并能以递推思想作指导 理解数学归纳法的操作步骤 能 用数学归纳法证明一些简单的数学命题 并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写 教学重点教学重点 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 教学难点教学难点 数学归纳法中递推思想的理解 教学过程教学过程 一 复习准备一 复习准备 1 1 已知数列 已知数列 a an n 中 中 a a1 1 1 a 1 an 1 n 1 a an n a an n 1 1 试求出试求出 a a2 2 a a3 3 a a4 4并猜想并猜想 a an n 的通项公式的通项公式 2 2 费马猜想 费马猜想 1 2234 222 2 215 2117 21257 2165537 21 n nN 都是质数 于是他用归纳推理提出猜想任何形如的数都是质数 225 52214294967297641 6700417 n n 时 是一个合数 3 思考 思考 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球从一个袋子里第一次摸出的是一个白球 接着接着 如果我们有这样一个保证如果我们有这样一个保证 当你这一次摸出当你这一次摸出 的白球的白球 则下一次摸出的一定也是白球则下一次摸出的一定也是白球 能判断这个袋子里装的全是白球吗能判断这个袋子里装的全是白球吗 4 多米诺骨牌游戏 成功的两个条件 1 第一张牌被推倒 2 骨牌的排列 保证前一张 牌倒则后一张牌也必定倒 二 讲授新课 二 讲授新课 1 数学归纳法的定义 数学归纳法的定义 对于某些与正整数对于某些与正整数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当先证明当 n 取第一个值取第一个值 n0时命题成立 时命题成立 10 然后假设当然后假设当 n k k N k n0 时命题成立 证明当时命题成立 证明当 n k 1 时命题也成立 时命题也成立 数学归纳法两大步 i 归纳奠基 证明当 n 取第一个值 n0时命题成立 ii 归纳递推 假 设 n k k n0 k N 时命题成立 证明当 n k 1 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就 可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 2 教学数学归纳法的应用 教学数学归纳法的应用 例例 1 1 用数学归纳法证明