湖北省武汉市部分学校2014届高三数学9月起点调研考试 理 新人教A版

1 湖北省武汉市部分学校湖北省武汉市部分学校 20132013 20142014 学年度新高三起点调研学年度新高三起点调研 数学 理 试题数学 理 试题 说明 全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置 2 选择题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其他答案标后 非选择题用黑包墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡 上 答在试题卷上无效 3 考试结束后 监考人员将本试题和答题卡一并收回 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 若复数z满足 iz 2 4i 则在复平面内z对应的点的坐标是 A 2 4 B 2 4 C 4 2 D 4 2 2 已知全集为 R R 集合A x log2x 1 B x x 1 0 则A R RB A x 0 x 1 B x 0 x 2 C x x 1 D x 1 x 2 3 设命题p 函数y sin2x的最小正周期为 命题q 函数y cosx的图象关于直线x 2 对称 则下列判断正确的是 2 A p为真 B q为假 C p q为假 D p q为真 4 某学校随机抽取 20 个班 调查各班中有网上购物经历 的人数 所得数据的茎叶图如图所示 以组距为 5 将 数据分组成 0 5 5 10 30 35 35 40 时 所作的频率分布直方图是 2 5 执行右边的程序框图 如果输入a 4 那么输出的n的值为 A 2 B 3 C 4 D 5 6 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 A 64 B 72 C 80 D 112 7 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积最大的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x为 A 35m B 30m C 25m D 20m 8 设关于x y的不等式组Error Error 表示的平面区域内存在点P x0 y0 满足x0 2y0 2 则m的取值范围是 A B C D 4 3 1 3 2 3 5 3 9 已知抛物线y2 2px p 0 与双曲线 1 a 0 b 0 有相同的焦点F 点A是 x2 a2 y2 b2 两曲线的一个交点 且AF x轴 则双曲线的离心率为 A 2 B 1 C 1 D 1 2532 10 若函数f x x3 ax2 bx c有极值点x1 x2 且f x1 x1 则关于x的方程 3 f x 2 2af x b 0 的不同实数根的个数是 A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 11 若x2dx 9 则常数T的值为 T 0 12 已知 ABC是边长为 1 的等边三角形 P为边BC上一点 满足 2 则 3 13 将序号分别为 1 2 3 4 5 的 5 张电影票全部分给 4 人 每人至少 1 张 如果分给同 一人的 2 张电影票连号 那么不同的分法种数是 14 设 为第二象限角 若 tan 则 sin cos 4 1 2 15 已知数列 an 的各项均为正整数 Sn为其前n项和 对于n 1 2 3 有 an 1 当a3 5 时 a1的最小值为 当a1 1 时 S1 S2 S10 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知 2cos B C 1 4cosBcosC 求A 若a 2 ABC的面积为 2 求b c 73 17 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1的中点 AA1 AC CB AB 证明 BC1 平面A1CD 求二面角D A1C E的正弦值 18 本小题满分 12 分 设公差不为 0 的等差数列 an 的首项为 1 且a2 a5 a14构成等比数列 求数列 an 的通项公式 若数列 bn 满足 1 n N N 求 bn 的前n项和Tn b1 a1 b2 a2 bn an 1 2n 19 本小题满分 12 分 现有A B两球队进行友谊比赛 设A队在每局比赛中获胜的概率都是 2 3 4 若比赛 6 局 求A队至多获胜 4 局的概率 若采用 五局三胜 制 求比赛局数 的分布列和数学期望 20 本小题满分 13 分 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 过右焦点F的直线l与C相交于A B x2 a2 y2 b2 两点 当l的斜率为 1 时 坐标原点O到l的距离为 求a b的值 C上是否存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有 成立 若存在 求出所有 的P的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 21 本小题满分 14 分 已知函数f x aln x 1 a R R 2 x x 1 若f x 在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 当a 2 时 求证 1 2ln x 1 2x 4 x 2 1 x 1 求证 lnn 1 n N N 且n 2 1 4 1 6 1 2n 1 2 1 n 1 5 参考答案 一 选择题 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 D 8 C 9 D 10 A 二 填空题 11 3 12 13 96 14 15 5 230 5 6 三 解答题 16 本小题满分 12 分 解 由 2cos B C 1 4cosBcosC 得 2 cosBcosC sinBsinC 1 4cosBcosC 即 2 cosBcosC sinBsinC 1 亦即 2cos B C 1 cos B C 1 2 0 B C B C 3 A B C A 6 分 2 3 由 得A 2 3 由S ABC 2 得bcsin 2 bc 8 3 1 2 2 33 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA 得 2 2 b2 c2 2bccos 即b2 c2 bc 28 7 2 3 b c 2 bc 28 将 代入 得 b c 2 8 28 b c 6 12 分 17 本小题满分 12 分 解 如图 连结AC1交A1C于点F 则F为AC1的中点 又D是AB的中点 连结DF 则BC1 DF BC1 平面A1CD DF 平面A1CD BC1 平面A1CD 4 分 由AC CB AB 得AC BC 以C为坐标原点 的方向为x轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐 标系C xyz 设CA 2 则D 1 1 0 E 0 2 1 A1 2 0 2 1 1 0 0 2 1 2 0 2 设n n x1 y1 z1 是平面A1CD的法向量 则 即Error Error 可取n n 1 1 1 同理 设m m是平面A1CE的法向量 则 可取m m 2 1 2 6 从而 cos n n m m n n m m n n m m sin n n m m 故二面角D A1C E的正弦值为 12 分 18 本小题满分 12 分 解 设等差数列 an 的公差为d d 0 则 a2 a5 a14构成等比数列 a a2a14 2 5 即 1 4d 2 1 d 1 13d 解得d 0 舍去 或d 2 an 1 n 1 2 2n 1 4 分 由已知 1 n N N b1 a1 b2 a2 bn an 1 2n 当n 1 时 b1 a1 1 2 当n 2 时 1 1 bn an 1 2n 1 2n 1 1 2n n N N bn an 1 2n 由 知an 2n 1 n N N bn n N N 2n 1 2n 又Tn 1 2 3 22 5 23 2n 1 2n Tn 1 2 1 22 3 23 2n 3 2n 2n 1 2n 1 两式相减 得 Tn 1 2 1 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n 1 3 2 1 2n 1 2n 1 2n 1 Tn 3 12 分 2n 3 2n 19 本小题满分 12 分 解 记 比赛 6 局 A队至多获胜 4 局 为事件A 则P A 1 C 5 1 C 6 1 5 6 2 3 2 36 6 2 3 256 729 473 729 故A队至多获胜 4 局的概率为 4 分 473 729 由题意可知 的可能取值为 3 4 5 P 3 3 3 2 3 1 3 9 27 1 3 P 4 C 2 C 2 2 3 2 3 1 3 2 32 3 1 3 2 3 1 3 10 27 7 P 5 C 2 2 2 4 2 3 1 3 8 27 的分布列为 345 P 1 3 10 27 8 27 E 3 4 5 12 分 1 3 10 27 8 27 107 27 20 本小题满分 13 分 解 设F c 0 当l的斜率为 1 时 其方程为x y c 0 O到l的距离为 由已知 得 c 1 由e 得a b 4 分 c a3a2 c22 假设C上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有 成立 设A x1 y1 B x2 y2 则P x1 x2 y1 y2 由 知C的方程为 1 x2 3 y2 2 由题意知 l的斜率一定不为 0 故不妨设l x ty 1 由消去x并化简整理 得 2t2 3 y2 4ty 4 0 由韦达定理 得y1 y2 4t 2t2 3 x1 x2 ty1 1 ty2 1 t y1 y2 2 2 4t2 2t2 3 6 2t2 3 P 6 2t2 3 4t 2t2 3 点P在C上 1 化简整理 得 4t4 4t2 3 0 即 2t2 3 2t2 1 0 解得t2 1 2 当t 时 P l的方程为x y 0 3 222 当t 时 P l的方程为x y 0 3 222 故C上存在点P 使 成立 此时l的方程为 3 2 x y 0 22 13 分 21 本小题满分 14 分 8 解 由已知 得f x 1 aln x 1 1 x 1 求导数 得f x 1 x 1 2 a x 1 f x 在 2 上是增函数 f x 0 在 2 上恒成立 即a 在 2 上恒成立 1 x 1 a max 1 x 1 x 2 0 1 a 1 1 x 1 故实数a的取值范围为 1 4 分 当a 2 时 由 知 f x 在 2 上是增函数 当x 2 时 f x f 2 即 1 2ln x 1 0 1 x 1 2ln x 1 1 1 x 1 令g x 2x 4 2ln x 1 则g x 2 2 x 1 2 x 2 x 1 x 2 g x 0 g x 在 2 上是增函数 g x g 2 0 即 2x 4 2ln x 1 0 2x 4 2ln x 1 综上可得 1 2ln x 1 2x