应用泛函分析

中中 国国 地地 质质 大大 学学 研研究究生生课课程程论论文文封封面面 课程名 称 应用泛函分析 教师姓 名 研究生姓名 研究生学号 研究生专业 所在院 系 类别 硕士 日期 2013 年 12 月 12 日 评评 语语 对课程论文的评语 平时成绩 课程论文成绩 总 成 绩 评阅人签名 注 1 无评阅人签名成绩无效 2 必须用钢笔或圆珠笔批阅 用铅笔阅卷无效 3 如有平时成绩 必须在上面评分表中标出 并计算入总成绩 应用泛函分析课程报告 泛函分析及其在地球物理中的应用 1 前言 1 1 概述概述 泛函分析是现代数学的一个分支 隶属于分 析学 其主要研究对象是无穷维空间和这类空间 之间各种映射的一般性质 它是从分析数学 变 分法 积分方程 微分方程 逼近论和理论物理 等的研究中发展起来的 成为近代分析的基础之 一 它以集合论为基础 综合运用分析 代数和 几何的观点方法 来研究分析学的课题 可看作 无限维分析学 泛函分析是 20 世纪 30 年代形成的 它的产 生和发展主要受两各因素的影响 一方面 由于 数学本身的发展 需要探求其各分支里被孤立讨 论过的结论和方法的一般性和统一性 分析 代 数 变分法 积分方程 集合的许多概念和方法 常常存在相似的地方 它启发人们从类似的东西 中探寻一般的真正属于本质的东西 加以总结和 整理 建立一套理论 用统一的观点理解和处理 已有的或将要出现的对象 促使了泛函分析抽象 理论的形成与提升 另一方面 正如 Newton 力学 对微积分的发展所起的作用一样 量子物理学的 需要对泛函分析的发展起到重要作用 泛函分析具有高度抽象性和概括性 并具有 广泛的应用性以及表述形式的简洁性 使得它的 概念和方法已渗透到数学 理论物理和现代工程 技术的许多分支 半个多世纪以来 泛函分析一 方面以其他众多学科所提供的素材来提取资自己 研究的对象和某些研究手段 并形成了自己的许 多重要分支 例如算子普理论 Banach 代数 拓 扑线性空间理论 广义函数论等等 另一方面 它也强有力的推动着其它不少学科的发展 它在 微分方程 概率论 函数论 计算数学 控制论 最优化理论等学科中都有重要应用 它也是研究 无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一 其方法大量的使用于连续介质力学 电磁场理论 量子场论等学科 此外 它的观点和方法已经渗 入到不少工程技术性的学科当中 其概念 术语 和符号作为科学的语言已被频频应用于许多技术 问题的表述之中 成为一种方便的数学语言和工 具 因此 泛函分析成为数学类高级本科生和研 究生必修的一门专业理论课 同时也成为工科研 究生的一门数学基础课程 1 1 2 泛函分析在中国的发展泛函分析在中国的发展 中国数学有悠久灿烂的历史 有史以来的两 千多年间 特别是公元十三世纪前 当时占统治 地位的数学各分支的许多重要领域内 一直是独 立发展 遥遥领先于世界 对世界数学发展有着 特殊的贡献和重大的影响 至十七世纪 西方数 学开始输入中国 是中国数学开始走上现代化的 道路 但由于中国近代历史的特殊原因 长期的 动荡与战乱 使得中国数学到近代逐渐落伍 在 二十世纪二十至三十年代 中国数学虽然有一定 的发展 但还是没有跟上世界主流 由哥廷根派 波兰学派 苏联学派发展起来的处于世界数学主 流和前沿的抽象代数 泛函分析和拓扑学 除了 少数几位数学家之外 中国几乎无人涉及 至四十年代 有许多工作已经进入世界数学 主流 涌现了一批出色的数学大师 如华罗庚 陈省身等 到四十年代末 已经初步形成了微分 几何 拓扑学 数论函数论的中国学派 由于与 世界数学脱节太久 在解放后虽然经过了一定的 发展 但还是有不少差距 2 虽然中国数学与世界存在差距 但中国数学 家对泛函分析做出了重大贡献 中国数学家曾远 荣 1903 1994 在 20 世纪 30 年代泛函分析正在 形成独立分支时 就引入并研究了任意维的实 复或四元数体上的线性空间的有解线性泛函数的 表现 无界自伴算子的固有值等问题 所得到的 一些结果早于 F 黎斯等当代最著名的数学家的结 果 五十年代 曾远荣在内积空间方面 引入矛 盾方程逼真解与线性算子广义迹概念 并在双直 交系方面获得较强的具体结果 冯康 1920 1993 提出广义函数的新处理形式 研究了广义 梅林交换 对其中最常见的基本空间 K E S 的自反 性给了初等证明 江泽坚 1921 2005 等在拓扑 线性空间研究中 结合古典的共鸣定理引入 BS 空间概念 丁夏畦 1928 系统的研究了 可微函数空间 得到各种类型的嵌入定理 补正 了哈代 利特伍德的一个经典不等式证明 丁夏畦 还应用自己所建立的函数空间理论 解决了强非 线性变分原理中拉登任斯卡娅提出过的一个问题 程文塬 1931 等研究了 Banach 空间及其线性算 子理论 于 1958 年完全解决了 H 在 L2 G 中考虑 是否由 L2到 Lp中的有界线性算子问题 夏道行 1930 字 60 年代以来 在非正常算 子理论方面取得了一系列的成果 对美国数学家 的研究也产生了影响 他提出了 半亚正常算子 的概念 建立了它的奇异积分模型 又给出了用 广义记号算子 一种正常算子 的谱来决定亚正 常算子谱的定理和用广义记号算子决定半亚正常 算子谱的定理 他还得到了关于半亚正常算子谱 与特普利兹算子谱的关系 他和李绍宽得到了关 于半亚正常算子的谱快照 谱投影和谱分割的定 理 Pincus 及夏道行建立了关于亚正常算子 半亚 正常算子的主函数 精刻函数和迹公式理论 夏 道行还得到了关于可微分变换群拟不变测速的拉 东尼可丁导数的一般形式 并作出了另一类基本 的表示 将这些表示用于点过程 局部流代数 解决了盖尔方德 夏普所提出的有关问题 江泽坚等研究巴拿赫约化问题 取得一系列 结果 王声望对广义谱算子和涅梅茨基算法的研 究 吴从炘 1935 关于核空间的研究 郭大钧 1934 关于非线性积分的研究 林群关于算子 方程近似解的研究 田方增 1915 阳明珠 1933 把算子谱理论应用于中子方程的研究 张恭庆 1936 关于分歧点理论在非线性偏微分 方程中的应用 对乌雷桑算子的研究和非线性算 子拓扑度的研究以及对偏微分算子的研究等等 都取得了相当好的结果 严绍宗对不定尺度空间上的酉算子和自共轭 算子建立了准确模型 并用它来解决了谱分析中 的一系列问题 给出了压缩算子的一种结构及一 切酉扩张等 同时 他还得到 极 积算子 的 一系列结果 使得沉寂多年的这方面理论有了进 展 在教学方面 六七十年代中国确立了自己的 教育体系 中国学者自己编著的教科书大量出现 泛函分析从测度论 积分论中脱离出来 逐渐成 为独立的教材 之后 随着高等数学在高校的普 及 泛函分析作为高校的一门基础课开设 对于 泛函分析理论的传播与发展起到重要作用 二十 世纪末 泛函分析理论发展成熟 各种泛函分析 理论的教科书呈现出来 2 应用泛函分析研究内容 泛函分析是高度抽象的数学分支 研究各类 泛函空间及算子理论 所谓泛函空间是带有某类 数学结构 主要是拓扑和代数结构 的抽象集 其元 或点 可以是数 向量 函数 张量场 甚至各种物理状态等 根据不同拓扑状态和结构 泛函空间划分为各个类别 常见的有 a 度量空 间 对任意两抽象元引入距离 由此自然的引入 开机等拓扑结构 从而 度量空间是一个特殊的 拓扑空间 但尚未赋予代数结构 b 线性拓扑空 间 拓扑向量空间 同时带有拓扑和代数结构 所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集 他们满足开集的基本公理 有了拓扑后 即能引 入极限 连续 紧致和收敛等初等分析的重要概 念 这里所述的代数结构指的是线性结构 加法 和数乘运算 由此可讨论线性无关 基和维数等 代数概念 泛函分析的空间绝大部分是无限维的 线性空间 带有线性结构的度量空间 是线性拓 扑空间的一例 但最重要的线性拓扑空间应是线 性赋范空间 c 线性赋范空间 每个元 向量 x 是普通向量的推广 线性空间配上范数后 能自然地诱导出度量和拓扑 就这个意义而言 它是特殊的线性拓扑空间和度量空间 于是具有 这两个空间中所有概念 例如可以讨论该空间 或其子集 是否完备 即任何柯西序列是否为 收敛序列 d Banach 空间 它是完备的线性赋范 空间 完备性使该空间具有非常良好的性质 例 如闭图像定理 共鸣定理 逆算子定理等 e 内 积空间 内积的引入使得该空间更直观形象 内 容格外丰富 内积把普通几何术语几乎全带入抽 象空间中 例如 长度 两向量交角 直交性 直交投影 就范直交系 点 向量 和子空间的 距离等 使抽象泛函空间涂上了浓厚的几何色彩 由于内积可诱导范数 内积空间是特殊的线性赋 范空间 但反之不然 与普通欧式空间最相像的 应是 Hilbert 空间 f Hilbert 空间 它是完备的内 积空间 内容丰富 例如 Fourier 展开 Bessel 不 等式和 Parseval 等式等 泛函分析另一内容是算子理论 可以讲更为 重要 它研究上述各类泛函空间上线性与非线性 算子的各种特性 对于单个算子 可以引入连续 有界 下有界 闭 紧致和全体连续等性质 对 于算子集 线性连续算子集或线性连续泛函集等 又可引入新的线性结构和范数等 构成高层的算 子空间 其中对偶 共轭 空间尤为重要 据此 可以引入自共轭算子 投影算子 酉算子 正常 算子 自反空间 强和弱收敛等 在初等分析中 卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子 例 如 Gatean 微分 Frechet 微分和次微分等 为了剖 析算子的结构和特性 谱分析是重要的手段 全 连续和正常算子的谱分析已成熟 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本 概念和方法一般化了 而且还把这些概念和方法 几何化了 比如 不同类型的函数可以看作是 函数空间 的点或矢量 这样最后得到了 抽 象空间 这个一般的概念 它既包含了几何对象 也包括了不同的函数空间 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的 工具 n 维空间可以用来描述具有 n 个自由度的力 学系统的运动 实际上需要有新的数学工具来描 述具有无穷多自由度的力学系统 比如梁的震动 问题就是无穷多自由度力学系统的例子 一般来 说 从质点力学过渡到连续介质力学 就要由有 穷自由度系统过渡到无穷自由度系统 现代物理 学中的量子场理论就属于无穷自由度系统 正如研究有穷自由度系统要求 n 维空间的几 何学和微积分学作为工具一样 研究无穷自由度 的系统需要无穷维空间的几何学和分析学 这正 是泛函分析的基本内容 因此 泛函分析也可以 通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学 古 典分析中的基本方法 也就是用线性的对象去逼 近非线性的对象 完全可以运用到泛函分析这门 学科中 作为理工科的研究生 泛函分析是必不可少 的一门课程 它可以在我们今后的学习和工作中 起到指导作用 使我们站在一个更高的位置去看 待问题 它的高度抽象性和概括性 能够让我们 更准确的抓住事物的本质和一般规律 帮助我们 客观 全面 系统的去解决问题 3 应用泛函分析在地球物理中的应用 举例与分析 在地球物理学中泛函分析被用于许多方面 对地球物理中的处理解释方法的提出 改进具有 很大的意义 由于地球物理学涉及面较广 本文 仅对泛函分析在位场及时处理方面的应用和小波 分析以及地震波散射非线性反演的不动点理论研 究加以介绍和分析 3 1 小波分析在重磁与地震勘探中的应用小波分析在重磁与地震勘探中的应用 泛函分析在位场解释理论中的应用 五十年 代末由苏联学者提出 自六十年代以来 在苏联 的一些文献中见的较多 主要用于解位场的反演 问题及探讨一些基础性解释理论问题 在西方国 家的一些文献中也曾见到 但并不多见 尽管如 此 我们认为 泛函分析是研究无穷域线性空间 上泛函数与算子理论的一门分析数学 在数学学 科内部 它已渗透到其它许多分支 如逼近论 偏微分方程论 概率论 数值分析 最优化理论 等学科之中 这些学科中一些近代的方法 往往 被用于位场资料解释的理论和方法中 例如吉洪 诺夫 3 的解不适定问题的正则化方法 就已用于对 重磁异常的解释延拓中 其理论基础的证明常常 就涉及解泛函方程 或者用到泛函分析中的一些 基本概念 最优化理论中也有这种情况 4 在重磁异常解释中 位场的泛函解析方法是 把函数论方法 实变函数和复变函数论 和泛函 分析方法两者统一起来实现的 首先是从位场理 论反问题解法的不稳定性这一古典问题发展起来 的方法 比如 不适定问题的近似解法 第二个 问题是建立解释方法 这里不像通常那样 根据 异常场元素的特征和对激发体形状的假设建立解 释方法 而是以描述异常的解析函数的奇点为基 础 即应用泛函理论建立计时方法 这时 把用 调和函数和解析函数所描述的位场的奇点看做是 场源 从这种概念出发探讨重磁反问题的解法 例如 用向场源方向和地质体内部解析延拓的方 法 整函数的逼近方法 以及以调和有理函数逼 近为基础的最优化方法 确定位场的奇点 泛函分析方法的实质是研究任意抽象集合空 间的结构和构造 研究从一个空间向另一个空间 映象的性质 在异常解释中用来在划分出的函数 类范围建立积分式 把已知场值和待求函数联系 起来 这时 我们把待求函数作为场源分布或者 是这个场的数值 然后把这些积分式推广 把它 们看成是在某些抽象空间的映象 用泛函分析方 法研究映象的性质和相应算子方程的性质 进一 步建立算子方程的近似解和精确解法 为阐述这 样一些问题 B H 斯特拉霍夫发表了一系列有关文 章 建立了位场平面反问题的泛函方程和近似解 反问题的数值算法 他在文章中 由位场反问题 的积分方程推导出泛函方程表达式 求解这些方 程得到反问题的待求解 从位场平面反问题的泛 函基本方程理论出发 研究了二维位场解析延拓 的非线性方法 应用泛函分析方法 还研究了变 密度质量重力反问题的解法和唯一性等理论问题 以及重力或者磁性体复矩的计算问题 泛函解析理论中 应用的数学方法有函数的 度量论 Banach 和 Hilbert 空间论 包括正交级数 理论 Banach 和 Hilbert 空间的线性算子论 调和 分析 傅里叶积分 函数的构造论以及复变函数 论 用泛函解析方法整理和解释重磁异常的主要 问题 包括反问题的近似解法 求解线性积分方 程 位场的变换方法 其中包括向下半空间域的 解析延拓 用泛函解析方法求解重磁反问题 是把异常 场作为 有用信号 和 干扰 的总和 有用信 号和干扰都是泛函分量 并且认为干扰是未知的 非随机函数 这一点是和统计方法不同之处 用 泛函解析方法求解重磁反问题 不是直接寻求场 源 而是寻求位场的奇异域 由于反问题的不稳 定性 故在解释结果中的不到奇点的准确位置 只能得到解的不稳定域或者奇点存在域 但是 在解释过程中 若给以附加信息 例如 给定某 些已知参数 可使解的不稳定域的范围缩小 从 而改善解释结果 5 小波变换是由加窗傅里叶变换演变而来 可 以说是泛函应用的一个新的分支 由开窗傅里叶 变换而来的小波变换 其表达式为 1 wt G tg ttf t edt 式中 f 为原函数 G 是其变换 t 是输入函数变 量 以空间或时间作为尺度 为变换参数 空 间或时间频率 t 与 t 为同尺度 函数 g 是窗函数 若 g 选为一高斯窗函数 2 1 42 0 t g te 2 则与之间的不确定关系为最小 值给出t 了高斯窗的宽度且确定了变换的分辨率 当 1 时 这种类型的视窗变换系数称为仿射相干状态 Klauder 和 Skagerstam 1985 和经典想相干状 态 Cabor 波函数 Cabor 1946 该变换的一个重要方面是增加源函数的尺度 如果 f 是时间函数 则该变换同时是时间和频率的 函数 这种性质在许多应用中非常有用 一些应 用将在后面给与讨论 该变换的另一个性质是基 函数是非正交的且反变换是非唯一的 反变换的 一种选择是 1 2 t f tgtt G tedt d 3 连续小波变换 Daubechies 1992 为 1 2 W a btba f t dt 4 式中是小波函数 a 是伸缩参数 它控制小波的 宽度 b 是平移参数 小波变换与开窗傅里叶变换 之间的主要差别是小波改变尺度而其形状保持不 变 该性质称之为度分辨率 且允许小波变换在 较宽的尺度范围内获得较好分辨率 式 4 的反变换为 2 0 1 da f ttba W a bdb Ca 5 其中 2 Cd 6 式中 为的傅里叶变换 式 6 称为允许条 件 它相当于要求具有零均值 0t dt 7 利用正交镜像滤波器能够有效地实现离散小 波变换 这些滤波器是高和低通滤波器 通过提 取褶积的 1 10 有效地分解输入信号 离散输入信 号的变换为 0 fV 011 0 1 1 nnnnnn nn fccd 8 式中和分别为子空间 V1和 W1的正交基 1 n 1 n 且 我们假定的输入信号数字化采样 110 VWV 代表最精细的尺度系数或第一级变换 基 和 分别称为尺度和小波变换 序列 c1和 d1为 100 12kn kk k cc hHc 9 100 12kn kk k dc gGc 10 其中 H 和 G 为正交镜面滤波器 1 2 2 k hxxk dx 11 和 1 2 2 k gxxk dx 12 这些滤波器 H 和 G 是取褶积的 1 10 序列 c1是较 大尺度上 c0的平均形式 序列 d1是在与 c1相同尺 度上 c0与 c1之间的不同信息 该变换是可逆的 HHG GI 13 0HG 14 2 n n h 15 0 n n g 16 则输入信号可通过来复原 6 11 o knn cHcG d 小波分析是当前应用数学领域中一个迅速发 展的新领域 与傅里叶变换和加窗傅里叶变换相 比 小波变换是空间 时间 和频率的局部变换 因而能有效地从信号中提取信息 通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析 解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题 被 誉为 数学显微镜 正因为小波所具有的多分辨 分析能力 可以对信号在不同尺度上进行分解 在小波域进行去噪 压缩处理后 做反变换得到 去噪和解压缩后的信号 将小波分析用于非平稳 信号的处理处于传统的傅里叶变换 这已被许多 应用领域的事实所证实 所以 自小波理论诞生 到现在就在诸如地球物理勘探 信号分析和处理 等领域内取得了很好的应用效果 小波变换表现为一些列的褶积运算 对信号 进行小波分解 实质上就是对信号用不同的滤波 器进行滤波 这些滤波器的脉冲响应就是一系列 的小波基 对应于不同尺度因子 s 的小波基 将 信号分解到相应的频带 显然 尺度因子越小 对应频带的中心频率越高 7 在地震勘探中 首先 小波分析可以提高地 震资料的信噪比和分辨率 这也一直是地震资料 处理所追求的目标 为提高分辨率 可将地震信 号做小波变换 分解成不同的频带成分 对分频 后的记录进行增益控制 使各频带记录的振幅谱 叠加结果逼近于一个标准子波的振幅 这样可以 达到增强有效波 压制干扰波 消除地层对地震 波高频成分的吸收 恢复地震记录的理想状态 从而达到提高地震记录分辨率 利用小波变换对 地震信号进行去噪的方法是 将每个地震道信号 进行小波变换 得到地震信号在不同频率刻度上 的时间特性 然后根据采样频率 地层特性以及 采集仪器的频率特性等先验知识 灵活的选择滤 波器相应 对信号进行滤波 8 9 其次小波分析可以压缩地震数据 将地震记 录做小波变换 变换后的结果做阈值量化 去除 大量接近零的值 用一定的记录方式把结果存储 起来 达到压缩的目的 当需要再利用这些地震 资料时 做小波逆变换恢复原来的记录 最后小波分析逆变换可以描述地震剖面的棱 边 在一幅图中 棱边是指那些灰度 振幅记录 强度 变化急剧的部位 图像中的棱边往往蕴含 有图像的最重要的信息 如图像的结构轮廓和细 部特征等 用两个有关的小波函数对地震剖面做 两次小波换得 Ws1 x y Ws2 x y 矢量模为 17 22 12 sSS Mx yWx yWx y 则矢量模 M x y 就构成了地震剖面的棱边 在油气勘探中 寻求地壳物质物性参数的奇异性 是非常有意义的 判断出奇异性的大小和位置就 可以对异常现象做出解释 应用中 通常将分形 几何理论和模型识别理论与小波变换的突变点原 理相结合 通过确定表征奇异性的 Lipschitz 指数 检测地震道的分维数或提取小波变换域的地震特 征参数 建立关联维数或地震特征参数与含油气 的关系 利用模式识别的原理确定油气井的位置 小波理论从它一诞生就由于其具有同时在时 间域和频率域对信号进行局部化分析的特点而显 示出强大的生命力和广泛的应用前景 并且其发 展速度比其他许多理论要迅猛得多 这说明此方 法具有较强的理论性和实用性 10 3 2 地震波散射非地震波散射非线线性反演的不性反演的不动动点理点理论论研究研究 11 11 地震波散射非线性反演选用标量波方程作为方法 研究的起点 利用 Fourior 变换将物理空间方程映 射到频率域的像空间 得到算子 18 I D x x ux x ux x uL 22 其中为地震波波函数或波场函数 为 xu x 波的速度函数 假设波的频率域空间是一个 Banach 空间 由 Banach 空间的一些基本概念和结论我们可以得到 以下结论 a 连续函数空间是一个 Banach 空间 ba C b 在完备的度量空间中的压缩映射必然有唯 一的不动点 c 设函数在条形闭区间 yx f yb xa 上处处连续 关于 y 的偏导数有界 yx f y M 则在连续函数的完备空间中做映射 ba C 19 x f M 1 A 则算子 A 是到自身的压缩映射 ba C 下面介绍构造速度参数函数压缩算子从而得 到不动点的理论过程 如前所述 设是一个波函数 u x uL 和波速函数的隐函数 将坐标向量固定 简记为 L u v 并设L u v 隐函数关于波速的偏导数在其 定义域上是连续的 设 20 u maxLM 1 则我们可以得到如下定理和推论 定理 1 在连续函数的完备空间波的频域像空 间中做映照 21 n 1 n nnn1n u L M 则算子是频域的像空间到自身的压缩映射 其 n 中 是伸缩常量 0 1 n n 推论 1 在连续函数的完备频域的像空间中 算子必有波的速度参数 v 的不动点 v n 定理 2 由不动点 v 及正演 18 式所确定的 波函数的值一定也是算子的不动点 n 推论 2 波函数值 u 是一个稳定点 推论 3 波函数值 u 是一个全局最优点 以上是地震波散射非线性反演的不动点理论 研究的基本理论部分 下面将分步骤介绍其基本 算法的构建 1 速度参数的数据做了通常用的迭代后 所 面临的第一个问题就是是否要对速度参数在各个 结点处很差的值 做简单的平滑性处理 在本文讨论的模型中 由于所研究的模型介 质只由两种介质构成 而且模形的顶层是在背景 材料部分 所以有理由相信 顶层的各个结点处 的速度算术平均值 除去顶层后各个结点处速度 的算术平均值以及立方体各个结点处速度的算术 平均值都是一个吸引子 如果在某些结点处出现 了与这些平均值相差悬殊的速度值 或者速度在 除去顶层后各个结点处的最大值和最小值相差很 小时 说明我们初始模型中的速度赋值不好 因 此要对速度在这些不好的点处局部或整体的做一 些修正 一般来说 对于大多数初始模型 这部分对速 度函数做平滑性处理的步骤是不需要的 2 判断是否需要做物质结构反演断是否要做 物质结构反演是否要做物性的结构反演 必须要 建立一套合理的判据 文中的判据 是根据速度 在各个结点处的取值是否合理而取的 其核心与 第一部分的理由是相同的 这里不在重复 3 调整物质的内部物性结构文中采用的调整 物体内部结构的方式类似于单纯形方法 具体的 说 由于模型中的介质只有两种 而且高速异常体 是一块完整的置于模型中心位置的连续块体 可 以认为 在同一种介质中 各个结点处的速度应该 是差不多的 虽然可以不同 但差别不很大 所以 文中分别对沿坐标轴三个方向进行了全局的单独 搜索 搜索过程中比较相邻两点速度值的变化情 况 制定一个变化量的最高限度 如果变化量超 过了这个限度 则按照某种规则 对数据做替换 并通过设置开关结束一次迭代中的这个局部的替 换工作 如果不超过这个限度 则继续搜索 直到 模型的另一端 这里要指出的是 对沿坐标轴三个方向的搜 索是独立进行的 之所以这样做是为以后 在真 实模型中告诉的异常体不再是一个空间完全对称 的几何体时 搜索依然可以进行 由于文中的异 常体是一个正立方体 所以建立物性反演的判据 对三个方面可以完全同样地进行 如果是别的几 何体 判据就必须在各个方面上独立地建立了 4 利用不动点进行物性反演在进行反演运算 之前 先要对初始模型进行简单的分类 初始模 型的简单分类是根据对初始模型中两种介质任意 赋值与真实模型的介质的速度参数的真值的差别 来很粗的大概归类的 大约是这样分的 初始模 型的两种介质中 速度参数的赋值都大于真实模 型的高速异常体中速度的值 初始模型的两种介 质中 速度参数的赋值都小于真实模型的背景材料 中速度的值 初始模型中背景材料部分速度的赋 值小于真实模型的背景材料中速度的值 而初始 模型中高速异常体部分速度的赋值大于真实模型 的异常体部分中速度的值 初始模型中背景材料 部分速度的赋值小于真实模型的背景材料中速度 的值 而初始模型中高速异常体部分速度的赋值 小于真实模型的异常体部分中速度的值 但大于 真实模型的背景材料中速度的值 分类的基本思 路基本如此 但为了使得本方法能够适用于更多 的初始模型 避免太多的死角 分类应该更系统 一些 笔者在后来的研究中 对此已经做了一些 进一步的工作 这里构造出的压缩映射算子在形式上与 18 式 是相同的 只是那里的权和隐函数关于速度的偏 导数的最大值 被具体的计算出来 并直接地写 在了迭代公式当中 所以 公式虽然看起来长一 些 内容是相同的 22 TT1800 ckj i U900kj i lap TTkj i sigkj i ckj i c 3 157 2 2n 17161nn 其中 sig i j k sign 1 0 T18 i j k 意思为取 T18 i j k 的符号 而其值取为 1 它的 作用是调节各个结点处的值 做合理的增减 使 得对于所有的初始模型 速度变化后的值 在做 了压缩映射这样的数学运算后 都有利于朝吸引 子 这里基本都是速度的算术平均值 靠近 T18 i j k 是一个在各个类中分别取不同的表达式的一个已 知量 这里略去其在不同类中的表达式 lap i j k 结 点 i j k 处 波函数用 Laplace 算子作用后的函数 值 T7波向量 Un 1的取模后的最大值 1T0 0011T0 001TT 552015 23 T20向量的 cn 1最小值 T5速度向量 cn 1在立 方体顶层各个结点处的算术平均值 T16的表达式 为 T4向量 cn 1的算术平均值 2 5 3 4516 TTTT 对各个分量求和取平均 需要特别说明的是 T17 i j k 是一个压缩因 子 它是一个变化的量 当初始模型取得不同的 类型的时候 也要取不同类型的值 限于篇幅的 原因 这里不将其表达式一一给出 当然 满足小于 1 的要求 kj i TT 1716 这里需要说明的是 由于文中的分类做得很 粗 很可能存在一些初始模型 用本方法做反演 所得到的结果不好 5 迭代停止的判断条件迭代是否需要继续进 行的判断条件这里运用了各个结点处速度的值是 否都已经走到了不动点 换句话说 下面的条件 是否得到满足 8 2 1 2 1kj i kj i c kj i c nnn1n 或 8 2 1 2 1kj i kj i ckj i c nn 如果都得到满足 则说明各个结点处的速度 值都走到了不动点 如果不满足 则迭代继续进行 6 迭代后速度参数的平滑性处理做事后的平 滑处理的原因是因为 通过压缩映射算子迭代运 算之后 速度中会出现一些极其不合理的值 特 别是最小值 因此 必需再一次对速度做平滑性 处理 才可以保证经过多次迭代后的值符合这时 候情况 4 总结 如上所述 和以前所学习的数学知识相比 泛函分析具有更的大的综合性 它站的高度更高 无穷维空间是描述具有无穷多个自由度的物理系 统的有力工具 泛函分析则是研究无穷维线性空 间