毕业论文-Z变换的收敛域

Z 变换的收敛域 本论文将从数学角度对 Z 变换简要地加以描述 序列 x n 的 Z 变换定义为 1 1 z 是复变量 一般用极坐标形式表示为 1 2 这里 1 3 有时也可写成直角坐标形式 X z 是复变函数 式 1 1 实 际上是一种罗朗 Laurent 级数 因此可将对罗朗级数的数学分析方法应用于 Z 变换的分析 比如式 1 1 是的幂级数和 存在着级数收敛的问题 当 满足一定条件时 级数收敛 X z 可以用某种解析函数 称为封闭形式 来表 示 使 X z 一致收敛的 z 的取值范围 叫做 Z 变换的收敛域 ROC Region of Convergence 级数一致收敛的充要条件使满足绝对可和 1 4 利用 z r 可以推出收敛条件 1 5 式中只有 n x n 三个因素 没有 arg z 可见 Z 平面的收敛域仅与模 z 有 关 而与幅角无关 收敛域的边界一定是圆 例 若 aa 可见 收敛域是 z 平面上半径为 a 的圆外 解毕 收敛域的确切范围需具体问题具体分析 但它的大体形状可以根据某些规律立 刻确定 以上分有限长序列 左边序列 右边序列和双边序列四种情况分析收 敛域的形状 1 有限长序列 我们考虑的 x n 均是有限幅值 x n 0 而 n 0 而 所以 1 当 x n 的定义域包括 n0 时 收敛域要排除 z 0 点 3 如果把去除了原点和点的 z 平面定义为有限 z 平面 则有限长序列一定 在有限 z 平面收敛 2 无限长右边序列 右边序列指 x n 自变量 n 的定义域从某起点开始一直向右延续到 然而 起点位置 N1 可以在原点左边 也可以在原点右边 我们一定可以把这类序列分 割成一个有限长序列与一个起点在原点右边的无限长序列 叫因果序列 之和 收敛域是他们两者各自收敛域的交集 根据级数收敛的判断法则 其中因果序 列的收敛条件是 1 6 经不等式运算 可得 这说明因果序列收敛域是在包括点的半径为 R1 的圆外 至于整个右边序列的 收敛域是否延伸到包含点 则取决于它的另一部分 有限长序列是否包含 n 0 的序列项 考虑因果序列和有限长序列收敛域的交集 得 1 当起点时 ROC 2 当起点时 ROC 不包含点 3 无限长左边序列 左边序列指 x n 的定义域从某起点 N2 开始一直向左延续到 同样 起点 N2 可以在原点左边 也可以在原点右边 我们总能把这类序列分成一个有限长序 列与一个起点在原点左边的纯左边序列之和 收敛域时两者的交集 式中 对第一项纯左边序列作的变量代换 得 级数收敛的条件是 即 z 0 的项 结论是 1 若起点 ROC 包含原点 2 若起点 0 ROC 0 z 扣除原点 4 双边序列 x n 定义域范围是 这样的序列一定可以化作一个因果序列和一个纯左 边序列之和 第一项收敛域是 z 总的收敛域是两者之交集 1 若 则 ROC z 是环形域 2 若 则交集为空 X z 不收敛 例 2 6 序列 且 a b 求 Z 变换 X z 及其收敛域 解 这里 两次用到等比级数求和公式 公式分别是和 第一项收敛条件 ROC z a 两者交集是 ROC a z b 环形 解毕 X z 的极点 使 X z 的 z 的值 与收敛域有一定关系 上例中 极点分别 是 a 和 b 收敛域正好是以半径 a 和 b 的圆为界