函数与方程思想

函数与方程思想函数与方程思想 思想方法解读 1 函数与方程思想的含义 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 是对函数概念的 本质认识 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从 而使问题获得解决的思想方法 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方 程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思 想方法 2 函数与方程的思想在解题中的应用 1 函数与不等式的相互转化 对函数 y f x 当 y 0 时 就化为不等式 f x 0 借助于函 数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重 要 3 解析几何中的许多问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函 数的有关理论 4 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式 的方法加以解决 建立空间直角坐标系后 立体几何与函数的关系更加密切 常考题型精析 题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 例 1 已知函数 f x x2 2ex t 1 g x x x 0 其中 e 表示自然对数的底数 e2 x 1 若 g x m 有实根 求 m 的取值范围 2 确定 t 的取值范围 使得 g x f x 0 有两个相异实根 解 1 方法一 因为 x 0 所以 g x x 2 2e 等号成立的条件是 x e e2 xe2 故 g x 的值域是 2e 因而只需 m 2e g x m 就有实根 方法二 作出 g x x x 0 的图象 如图所示 观察图象可知 e2 x g x 的最小值为 2e 因此要使 g x m 有实根 则只需 m 2e 方法三 由 g x m 得 x2 mx e2 0 故Error Error 等价于Error Error 故 m 2e 2 若 g x f x 0 有两个相异的实根 则函数 g x 与 f x 的图象有两个不同的交点 因为 f x x2 2ex t 1 x e 2 t 1 e2 所以函数 f x 图象的对称轴为直线 x e 开口向下 最大值为 t 1 e2 由题意 作出 g x x x 0 及 f x x2 2ex t 1 的大致图象 e2 x 如图所示 故当 t 1 e2 2e 即 t e2 2e 1 时 g x 与 f x 的图象有两个交点 即 g x f x 0 有 两个相异实根 所以 t 的取值范围是 e2 2e 1 点评 函数图象的交点 函数零点 方程的根三者之间可互相转化 解题的宗旨就是函数 与方程的思想 方程的根可转化为函数零点 函数图象的交点 反之函数零点 函数图象 交点个数问题也可转化为方程根的问题 变式训练 1 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x Error Error 且 f x 2 f x g x 2x 5 x 2 则方程 f x g x 在区间 5 1 上的所有实根之和为 A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 g x 2 由题意知函数 f x 的周期为 2 则函数 f x g x 在 2x 5 x 2 2 x 2 1 x 2 1 x 2 区间 5 1 上的图象如图所示 由图象知 f x g x 有三个交点 故方程 f x g x 在 x 5 1 上有三个根 xA xB xC xB 3 2 xA xC 4 xA xB xC 7 xA xC 2 题型二 函数与方程思想在不等式中的应用 例 2 已知函数 f x ln x x 1 g x x2 2bx 4 若对任意 x1 0 2 x2 1 2 1 4 3 4x 不等式 f x1 g x2 恒成立 则实数 b 的取值范围为 答案 14 2 解析 问题等价于 f x min g x max f x ln x x 1 1 4 3 4x 所以 f x 1 x 1 4 3 4x2 4x x2 3 4x2 令 f x 0 得 x2 4x 3 0 解得 1 x 3 故函数 f x 的单调递增区间是 1 3 单调递减区间是 0 1 和 3 故在区间 0 2 上 x 1 是函数的极小值点 这个极小值点是唯一的 故也是最小值点 所以 f x min f 1 1 2 由于函数 g x x2 2bx 4 x 1 2 当 b2 时 g x max g 2 4b 8 故问题等价于 Error Error 或Error Error 或Error Error 解第一个不等式组得 b1 时 f x x 1 3 2 2 当 1 x 3 时 f x 1 时 g x 0 1 x 1 2 x 3 2 又 g 1 0 所以有 g x 0 即 f x x 1 3 2 2 记 h x x 5 f x 9 x 1 则当 1 x 3 时 由 1 得 h x f x x 5 f x 9 x 1 x 5 9 3x x 1 x 5 3 2 1 x 1 2 x 1 2x 2 18x 3x x 1 x 5 2 18x x 1 2x x 2 1 2 7x2 32x 25 0 1 4x 因此 h x 在 1 3 内单调递减 又 h 1 0 所以 h x 0 即 f x 0 恒成立 1 x2 所以 f x 在 1 上是增函数 故当 x 1 时 f x min f 1 3 即当 n 1 时 bn max 1 6 要使对任意的正整数 n 不等式 bn k 恒成立 则须使 k bn max 所以实数 k 的最小值为 1 6 1 6 点评 数列问题函数 方程 化法 数列问题函数 方程 化法与形式结构函数 方程 化法类似 但要注意数列问题中 n 的取值范 围为正整数 涉及的函数具有离散性特点 其一般解题步骤 第一步 分析数列式子的结构特征 第二步 根据结构特征构造 特征 函数 方程 转化问题形式 第三步 研究函数性质 结合解决问题的需要研究函数 方程 的相关性质 主要涉及函数 单调性与最值 值域问题的研究 第四步 回归问题 结合对函数 方程 相关性质的研究 回归问题 变式训练 3 已知 f x x2 4x 4 f1 x f x f2 x f f1 x fn x f fn 1 x 函数 y fn x 的零点个数记为 an 则 an等于 A 2n B 2n 1 C 2n 1 D 2n或 2n 1 答案 B 解析 f1 x x2 4x 4 x 2 2 有 1 个零点 2 由 f2 x 0 可得 f1 x 2 则 x 2 或 2 x 2 即 y f2 x 有 2 个零点 由 f3 x 0 可得 f2 x 2 或 2 则 x 2 2 2 222 或 x 2 2 2 即 y f3 x 有 4 个零点 以此类推可知 y fn x 的零点个数 an 2n 1 22 故选 B 题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用 例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点 O 焦点在 y 轴上 短轴长为 离心率为 直线 l 与 2 2 2 y 轴交于点 P 0 m 与椭圆 C 交于相异两点 A B 且 3 AP PB 1 求椭圆 C 的方程 2 求 m 的取值范围 解 1 设椭圆 C 的方程为 1 a b 0 y2 a2 x2 b2 设 c 0 c2 a2 b2 由题意 知 2b 所以 a 1 b c 2 c a 2 2 2 2 故椭圆 C 的方程为 y2 1 即 y2 2x2 1 x2 1 2 2 设直线 l 的方程为 y kx m k 0 l 与椭圆 C 的交点坐标为 A x1 y1 B x2 y2 由Error Error 得 k2 2 x2 2kmx m2 1 0 2km 2 4 k2 2 m2 1 4 k2 2m2 2 0 x1 x2 x1x2 2km k2 2 m2 1 k2 2 因为 3 所以 x1 3x2 AP PB 所以Error Error 则 3 x1 x2 2 4x1x2 0 即 3 2 4 0 2km k2 2 m2 1 k2 2 整理得 4k2m2 2m2 k2 2 0 即 k2 4m2 1 2m2 2 0 当 m2 时 上式不成立 1 4 当 m2 时 k2 1 4 2 2m2 4m2 1 由 式 得 k2 2m2 2 又 k 0 所以 k2 0 2 2m2 4m2 1 解得 1 m 或 m0 或 0 中 即可求出目标参数的取值范 围 第五步 回顾反思 在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时 无论题目中有没有涉及求 参数的取值范围 都不能忽视了判别式对某些量的制约 这是求解这类问题的关键环节 变式训练 4 如图所示 设椭圆 C1 1 的左 右焦点分别是 F1 F2 下顶点为 x2 5 y2 4 A 线段 OA 的中点为 B O 为坐标原点 若抛物线 C2 y mx2 n m 0 n 0 与 y 轴的交 点为 B 且经过 F1 F2两点 1 求抛物线 C2的方程 2 设 M N 为抛物线 C2上的一动点 过点 N 作抛物线 C2的切线交椭圆 C1于 0 4 5 P Q 两点 求 MPQ 的面积的最大值 解 1 由题意可知 A 0 2 则 B 0 1 由抛物线 y mx2 n 过点 B 可知 n 1 又 F1 1 0 F2 1 0 抛物线 y mx2 n 经过 F1 F2两点 即 m n 0 所以 m 1 所以抛物线 C2的方程为 y x2 1 2 设 N t t2 1 由 y 2x 知直线 PQ 的方程为 y t2 1 2t x t 即 y 2tx t2 1 将其代入椭圆方程 整理得 4 1 5t2 x2 20t t2 1 x 5 t2 1 2 20 0 400t2 t2 1 2 80 5t2 1 t2 1 2 4 80 t4 182 3 设 P x1 y1 Q x2 y2 则 x1 x2 x1x2 5t t2 1 1 5t2 5 t2 1 2 20 4 1 5t2 故 PQ y1 y2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 4t2 1 4t2 x1 x2 2 4x1x2 5 1 4t2 t4 18t2 3 1 5t2 设点 M 到直线 PQ 的距离为 d 则 d 4 5 t2 1 1 4t2 t2 1 5 1 4t2 所以 S MPQ PQ d 1 2 1 2 5 1 4t2 t4 18t2 3 1 5t2 t2 1 5 1 4t2 5 10 t4 18t2 3 5 10 t2 9 2 84 5 1084 105 5 当且仅当 t 3 时取 经检验此时 0 满足题意 综上 可知 MPQ 的面积的最大值为 105 5 高考题型精练 1 若 2x 5y 2 y 5 x 则有 A x y 0 B x y 0 C x y 0 D x y 0 答案 B 解析 把不等式变形为 2x 5 x 2 y 5y 构造函数 y 2x 5 x 其为 R 上的增函数 所 以有 x y 即 x y 0 2 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园 阴影部分 则其边长 x 单位 m 的取值范围是 A 15 20 B 12 25 C 10 30 D 20 30 答案 C 解析 如图 ADE ABC 设矩形的另一边长为 y 则 S ADE S ABC 2 2 所以 y 40 x 由题意知 xy 300 即 x 40 x 300 整 40 y 40 x 40 理得 x2 40 x 300 0 解不等式得 10 x 30 3 满足条件 AB 2 AC BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 2 答案 2 2 解析 可设 BC x 则 AC x 2 根据面积公式得 S ABC x 1 cos2B 由余弦定理计算得 cos B 4 x2 4x 代入上式得 S ABC x 1 4 x2 4x 2 128 x2 12 2 16 由Error Error 得 2 2 x 2 2 22 故当 x 2时 S ABC最大值为 2 32 4 已知 f x 是定义域为 R 的偶函数 当 x 0 时 f x x2 4x 那么 不等式 f x 2 5 的 解集是 答案 x 7 x 3 解析 令 x0 x 0 时 f x x2 4x f x x 2 4 x x2 4x 又 f x 为偶函数 f x f x x 0 时 f x x2 4x 故有 f x Error Error 再求 f x 5 的解集 由Error Error 得 0 x 5 由Error Error 得 5 x 0 即 f x 5 的解集为 5 5 由于 f x 向左平移两 个单位即得 f x 2 故 f x 2 5 的解集为 x 7 x0 x2 8x 9 x4 x 9 x 1 x4 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 a 6 当 x 2 0 时 a x2 4x 3 x3 a min x2 4x 3 x3 仍设 x x x2 4x 3 x3 x 9 x 1 x4 当 x 2 1 时 x 0 当 x 1 时 x 有极小值 即为最小值 而 x min 1 2 a 2 1 4 3 1 综上知 6 a 2 6 已知函数 f x aln x 1 其中 x N a 为常数 1 1 x