牙膏包装模型

1 牙膏包装模型牙膏包装模型 摘要 市场上的商品琳琅满目 有大大小小的包装 对消费者 而言 大包装的商品往往比小包装的商品要实惠 而对生产商而言 利用消费者这一心理 往往也能赚更多的利润 以牙膏包装模型为 例 通过比例模型 探究牙膏重量和牙膏价格的关系 进而帮助消 费者和厂家作出更合理的决策 一 提出问题一 提出问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象 了吗 比如洁银牙膏 50 装的每支 1 50 元 120 装的每支 3 00 元 二者单位重量的价格比是 1 2 1 试用比例方法构造模型解释这个 现象 1 分析商品价格 C 与商品重量 W 的关系 价格由生产成 本 包装和其它成本等决定 这些成本中有的与重量 W 成正比 有 的与表面积成正比 还有与 W 无关的因素 2 给出单位重量 c 价格与 W 的关系 画出它们的简图 说明 W 越大 c 越小 但是随着 W 的增加 c 减少的程度变小 解释实 际意义是什么 3 把实验过程写成一篇建模论文 尽量要图文并茂 4 最后要结合实验结论 对商家或顾客提出合理的建议 和意见 二 问题分析二 问题分析 对牙膏包装和价格的关系 牙膏价格和牙膏重量的关系这两个 2 问题 我们从两个方面进行研究 一是牙膏价格和牙膏重量的关系 二是牙膏单位重量的价格与牙膏重量的关系 针对问题一 我们分 别探究价格与生产成本 包装成本和其他成本之间的关系 在这些 成本中 生产成本与牙膏重量成正比 包装成本主要包括内 外包 装成本 它们分别与内外包装成本的表面积成正比 而牙膏重量与 牙膏包装的体积成正比 进而可以总结出牙膏包装的成本与重量的 关系 而生产牙膏还需要涉及运输费 电费 机器生产费等一系列 费用 这些费称之为其他成本 它与重量无关 可看做常量处理 综合三方面的分析 建立牙膏价格与牙膏重量的数学模型 而对于问题二 在问题一的基础上 作比例处理很容易得出牙 膏单位重量价格 c 与重量 w 的函数模型 利用几何画板作出其函数 图象 进行图象分析 得出更多的启示 从而对商家与消费者提出 合理有效的建议和意见 三 模型假设三 模型假设 一 特殊符号说明 C 牙膏成本价格 单位 元 w 牙膏的重量 单位 克 牙膏的生产成本 单位 元 1 c 单位重量的牙膏生产成本 单位 元 克 1 k 牙膏的内包装成本 单位 元 2 c 牙膏内包装的单位表面积的包装成本 单位 元 克 2 k 牙膏外包装包装成本 单位 元 3 c 3 牙膏外包装的单位表面积的包装成本 单位 元 克 3 k Q 牙膏的其他成本 单位 元 S 牙膏内包装的表面积 单位 平方厘米 1 S 牙膏外包装的表面积 单位 平方厘米 2 r 牙膏内包装的底面半径 单位 厘米 牙膏内包装的高于底面半径 r 的比值 h 牙膏外包装的高 单位 厘米 牙膏的密度 单位 克 立方厘米 V 牙膏内包装的体积 单位 立方厘米 c 牙膏单位重量的成本价格 单位 元 二 情况假设 1 将牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体 2 一般给牙膏内包装的高 h 与内包装底面半径 r 的比例关系设 为一个定值 3 将牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方体 4 由于牙膏一般可在盒里转动 可以假设底面边长即牙膏 360 较扁的一段的长度 5 假设内外包装的高是一样的 四 模型建立与求解四 模型建立与求解 按照问题分析中的思路 我们分别对问题一 二进行详细分析 一 牙膏价格 C 与单位重量 w 的关系 1 牙膏生产成本 与重量 w 的关系 w 1 c 1 c 1 k 4 据市场调查 单位重量的牙膏成本价格 0 02 元 克 1 k 2 牙膏内包装成本 与重量 w 的关系 2 c 牙膏内包装成本与内表面积 S 的关系 S 2 c 12 c 2 k 1 牙膏内包装表面积为 S rh 1 2 2 1 rS 据市场调查 牙膏内包装可以抽象成一个圆柱体 则由圆柱体 的体积公式得 V r h 2 按照密度公式 w V 从而得出底面半径与牙膏重量的关系 r 3 k w 据专家意见牙膏设计师考虑到牙膏包装设计的美观效果 一般 给牙膏内包装的高与内包装底面半径的比值设为定值 即 r h 综合 得牙膏内包装成本与牙膏重量 w 的关系为 c w k 2 3 2 2 3 2 2 3 牙膏外包装成本 c 与重量 w 的关系 3 牙膏外包装成本 c 与外包装表面积 S 的关系 32233 skc 同样 据市场调查 牙膏外包装可抽象为底面为正方形的长方 体 由于牙膏一般可在盒里转动 可以假设底面边长即牙膏较 360 扁的一段的长度 假设内外包装的高是一样的 那么外包装的表面 积 rh 4 2 2 2 rS 综合 得 牙膏外包装成本 与重量 w 的关系为 3 c 5 3 3 2 3 2 2 3 42 kwc 4 根据问题分析 其他成本与牙膏重量 w 没有直接的比例关系 设为一个常量 Q 5 牙膏总成本价格 C 与牙膏生产成本 包装生产成本 外包 1 c 2 c 装成本与其他成本 Q 关系为 3 c C Q 1 c 2 c 3 c 综合 1 2 3 4 5 得牙膏价格 C 与牙膏重量 w 的关系 C w w k Q 1 k 3 2 2 3 2 23 3 2 3 2 2 42 kw 据市场调查 单位重量的牙膏成本价格 0 02 元 克 牙膏 1 k 密度 1 15 克 立方厘米 牙膏内包装的单位表面积的包装成本 0 006 元 克 牙膏外包装的单位表面积的包装成本 2 k 0 0002 元 克 牙膏的其他成本 Q 0 53 元 牙膏内包装的高 3 k 于底面半径 r 的比值 10 5858 代入数据得 C 0 02w 0 0029w 0 53 3 2 一 牙膏单位重量的价格 c 与牙膏重量 w 的关系 1 c w 的模型建立 很显然 由于 则有 w C c c wk 1 k 3 2 2 3 1 23 3 1 3 2 2 42 kw w Q 代入数据得 c 0 02 0 0029w 0 53w 3 1 1 利用几何画板作出的函数图象如下 6 2 C w 的图象分析 观察图象 有如下特点 图象整体呈现下降的趋势 随着 w 的增加 c 越来越小 呈现 负相关 观察图像下降的变化趋势 很显然 由很陡到缓慢 逐渐趋 于平缓 即随着 w 的增加 c 减小的程度变小 我们可以进一步对 c 求导 得到的导函数为 2 3 3 4 3 3 4 2 3 4 2 3 2 2 3 412 3 2 w Q wkwkc 很显然 其导函数在实际意思范围内为负值 即更加说明随着 w 的 增加 c 在减小 另一方面 其导函数是一个减函数 从数学意义 上讲 原函数的斜率逐渐变小 说明随着 w 的增加 c 减小的程度逐 渐变小 3 图象中显示出的实际意义 由图象分析 随着 w 的增加 c 减小的程度变小 即意味着若将 7 重量等分为若干连续的重量区间 重量数值大的重量区间所对应的 牙膏单位重量的成本 c 的变化量要小 这样就导致在实际购买的过 程中 消费者购买大包装的牙膏得到的优惠多 并且对于产家而言 也达到了 薄利多销 的目的 实际上 这样的图象趋势就是反应 了市场上消费者的优惠心里和产家 薄利多销 的心里 五 模型检验五 模型检验 为了提高所建模型的可行性 我们用市场价格每支为 1 5 元 50g 装的洁银牙膏进行模型检验 而根据我们建立的 C w 函数模型 C w w k Q 1 k 3 2 2 3 2 23 3 2 3 2 2 42 kw 得 C 1 56 元 六 模型评价六 模型评价 缺点 1 建立的 C w 模型仅是牙膏的成本价格 C 与重量 w 的关系 必 须要考虑到出售前牙膏对于自身成本价格的利润 所以不能直接对 牙膏的市场售价进行估计 2 C w 模型中将牙膏外包装抽象为底面为正方形的长方体包装 盒 是为了计算方便 实际上 市场上牙膏包装形形色色 为了美 观好看 底面也有长方形的 所以在包装成本计算上就会出现误差 8 3 C w 模型中将牙膏的内包装抽象成圆柱体 主要是迎合市场 上大多数牙膏的内包装造型 实际上 有的内包装可以抽象成圆台 甚至是圆锥 优点 1 该模型的建立通过模型检测 可以大体上对消费者购买 牙膏 以及具有类似现