第四章复变函数的级数.ppt

第四章复变函数的级数 4 1复数项级数 4 2幂级数 4 3Taylor级数 4 4Laurent级数 主要内容 本章介绍复变函数级数的概念 重点是Taylor级数 Laurent级数及其展开 1复数列的极限 2复数项级数概念 4 1复数项级数 1复数列的极限 称为复数列 简称 为数列 记为 定义4 1设是数列 是常数 如果 e 0 存在正整数N 使得当n N时 不等式 成立 则称当n 时 收敛于 或称是的极限 记作 复数列收敛与实数列收敛的关系 此定理说明 判别复数列的敛散性可转化为判别 两个实数列的敛散性 即 同理 证明如果则存在正整数N 从而有 反之 如果那么 存在正整数N 使得当n N时 所以 2复数项级数的概念 为无穷级数 称 为该级数的部分和 设是复数列 则称 级数收敛与发散的概念 定义4 2如果级数 的部分和数列收敛于复数S 则称级数收敛 这时称S为级数的和 并记做 如果不收敛 则称级数发散 复数项级数与实数项级数收敛的关系 定理二级数收敛的充要 条件是都收敛 并且 说明 复数项级数的收敛问题 两个实数项级数的收敛问题 推论如果级数收敛 则 证明由 记 于是 由定理一知收敛的充要条件是与皆收敛 此时显然有 解因为级数 收敛 所以原复数项级数发散 练习级数是否收敛 发散 而级数 证明由定理二知 再由实数项级数收敛的 级数收敛的充要条件是 都收敛 必要条件 知 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数 定义4 3设是复数项级数 如果正项 级数收敛 则称级数绝对收敛 绝对收敛级数的性质 并且 定理三若级数绝对收敛 则也收敛 收敛 证明由于而 级数收敛 由正项级数收敛的比较判别法 知和收敛 从而和绝对 收敛 故收敛 因此级数收敛 因为所以 补充因为所以 综上可得 因此 如果和都绝对收敛时 也 绝对收敛 绝对收敛和都绝对收敛 例1下列数列是否收敛 如果收敛 求出其极限 例2下列级数是否收敛 是否绝对收敛 定理4 4设是收敛数列 则其有界 即 存在M 0 使得 1幂级数的概念 2收敛圆与收敛半径 3收敛半径的求法 4 2幂级数 4幂级数的运算和性质 为复变函数项级数 为该级数的部分和 设是定义在区域D上的 复变函数列 称 1幂级数的概念 称为该级数在区域D上的和函数 如果对下述极限存在 则称级数在点收敛 且是级数和 如果级数在D内处处收敛 则称其在 区域D内收敛 此时级数的和是函数 这类函数项级数称为幂级数 当或时 或的特殊情形 函数项级数的形式为 定理一 Abel定理 若级数在 处收敛 则当时 级数绝对收敛 若级数在处发散 则当时 级数 发散 因而存在正数M 使得 当时 记于是 由正项级数的比较判别法知 收敛 因此 证明若级数收敛 则 级数绝对收敛 其余的结论用反证法易得 2收敛圆与收敛半径 1 对所有的正实数都收敛 级数在复平面内绝对收敛 2 对所有的正实数都发散 级数在复平面内除原点外处处发散 3 既存在使级数发散的正实数 也存在使级数收 敛的正实数 设时 级数收敛 时 级数发散 如图 由 幂级数收敛情况有三种 收敛圆 收敛半径 事实上 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨 问题 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何 以为中心的圆域 收敛半径根据前面所述的三种情形 分别 规定为 论比较复杂 没有一般的结论 要对具体级数 进行具体分析 解 绝对收敛 且有 在内 级数 例1求级数的收敛半径与和函数 所以收敛半径 3收敛半径的求法 3 当时 收敛半径 1 当时 收敛半径 2 当时 收敛半径 定理二 比值法 设级数如果 则 形式上可以记为 证明 由于 故知当时 收敛 根据上节的定理三 级数在圆内收敛 正项级数达朗贝尔判别法 当时 假设在圆外有一点z0 使级数收敛 反证法 在圆外再取一点z1 使 那么根据 Abel定理 级数必收敛 然而 所以 这与收敛相矛盾 在圆外发散 由z0的任意性知级数 3 当时 收敛半径 1 当时 收敛半径 2 当时 收敛半径 定理三 根值法 设级数如果 则 形式上可以记为 例2求下列幂级数的收敛半径 并且讨论在收敛圆周上的情形 并讨论z 0 2时的情形 由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛 因此 可得出下面几个定理 定理 1 设级数和的收敛 半径分别为和 则在内 4幂级数的运算和性质 例3设有幂级数与 求的收敛半径 2 设级数的收敛半径为r 如果在内 函数解析 并且 则当时 前面关于级数的性质 如果将换成 之后 对于级数当然也成立 例4把函数表示成形如 的幂级数 其中a与b是不相等的复常数 代数变形 使其分母中出现 凑出 把函数写成如下的形式 当即时 所以 补例把函数在的范围表示成形如的幂级数 定理四设幂级数的收敛半径为R 那么 是收敛圆 内的解析函数 在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项 求导得到 即 1 它的和函数f z 即 补例把函数在的范围表示成形如的幂级数 3 f z 在收敛圆内可以逐项积分 即 或 4 3泰勒级数 能 R为到D边界的最短距离 定理 Taylor展开定理 设在区域D R D是全平面时 R 则在内可 展开为幂级数 其中 系数cn按上述表示的幂级数称为 在点的Taylor级数 C R 证明对内任意一点z 存在r 0 使得并且 以z0为圆心 r为半径 作正向圆周 由 因为当时 C R 从而 实际上积分号下的级数可在C上逐项积分 50 R为到D边界的最短距离 定理 Taylor展开定理 设在区域D R D是全平面时 R 则在内可 展开为幂级数 其中 系数cn按上述表示的幂级数称为 在点的Taylor级数 此定理给出了函数在z0点的邻域内展开成 Taylor级数的公式 同时给出了展开式的收敛半 径R z0 a 其中a是离z0最近的f z 的奇点 Taylor展开式的唯一性定理 注任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数 绝对收敛 得 其中 则由 可以逐项积分 又因为 以及 因此 解析函数在一点展开成幂级数的结果唯一 考虑f z 的任意展开式 显然 又 所以 显然 又 所以 又 即 将函数展开为Taylor级数的方法 1 直接方法 2 间接方法 1 直接方法 由Taylor展开定理计算级数的系数 然后将函数f z 在z0展开成幂级数 并且收敛半径 2 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 结合解析函数的性质 幂级数运算性质 逐项求导 逐项积分等 和其它的数学技巧 代换等 求函数的Taylor展开式 间接法的优点 不需要求各阶导数与收敛半径 因而比直接展开更为简洁 使用范围也更为广泛 例利用 并且收敛半径 同理 的Taylor级数 解 故收敛半径 在中 用z替换 z 则 逐项求导 得 的Taylor级数 负实轴向左的射线的区域内解析 因为 并且由有 所以 根据 把上式逐项积分 得 在z 0点的Taylor展开式 解法一 待定系数法 由于 可知f z 满足微分方程 设 将 带入 得 即 比较上式的系数 所以所求得展开式为 实轴向左的射线的区域内解析 因此在内 可展开为z的幂级数 根据复合函数求导法则 按照直接方法展开如下 解法二 令z 0 有 于是 附 常见函数的Taylor展开式 1Laurent级数的概念 2函数的Laurent级数展开 3典型例题 3 4Laurent级数 1Laurent级数的概念 本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数 即Laurent级数 它将在后面讨论孤立奇点与留数 中起重要作用 问题 解析函数能否在奇点处展开成幂级数 如果能应为何种形式 负幂项部分 正幂项部分 这种双边幂级数的形式为 同时收敛 Laurent级数 收敛 主要部分 解析部分 收敛半径R 收敛域 收敛半径R2 收敛域 两收敛域无公共部分 两收敛域有公共部分 结论 常见的特殊圆环域 1 幂级数的收敛域是圆域 且和函数在收敛域内解析 2 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数 对于Laurent级数 已经知道 Laurent级数的收敛域是圆环域 且和函数在圆环域内解析 问题 在圆环域内解析的函数是否可以展开成Laurent级数 对于通常的幂级数 讨论了下面两个问题 2函数的Laurent级数展开 定理3 15 Laurent展开定理 设 在此环域内可展开为Laurent级数 其中 C是圆 周的正向 证明 设z在圆环域内 取 和 当z在K2上变化时 根据 和 R r 与的证明方法相同 可以逐项积分 R r 当z在K1上变化时 类似有 因为f z 在K1上有界 即存在 使得z K1时 R r 根据 可以逐项积分 根据 R r 因此 注函数f z 展开成Laurent级数的系数 与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同 所以Laurent级数包含了Taylor级数 cn不能写为 Laurent展开式的唯一性定理 定理3 16设函数f z 在圆环域 内解析 并且可以展开成双边幂级数 注函数在圆环域内Laurent展开式是唯一的 因此 为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础 方法 可以证明双边幂级数也可以在C上逐项积 分 设 证明利用证明的 于是在C上取积分得 根据 所以 1 直接方法直接计算展开式系数 然后写出Laurent展开式 这种方法只有理论意义 而没有实用价值 就是 说 只有在进行理论推导时 才使用这种表示方法 将函数展开为Laurent级数的方法 1 直接方法 2 间接方法 根据解析函数Laurent级数展开式的唯一性 可运用代数运算 代换 求导和积分等方法去将函数展开成Laurent级数 2 间接方法 这是将函数展开成Laurent级数的常用方法 数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式 包括Taylor展开式作为特例 这与Laurent展开式 的唯一性并不矛盾 在同一圆环域内的展开式唯一 内展开成Laurent级数 处都解析 并且可分解为 3 4 3典型例题 函数f z 在z 1和z 2处不解析 在其它点 1 在内 有则 于是在内 2 在内 有 于是在内 3 在内 有 于是在内 4 由知 展开的级数形式应为 所以在内 为Laurent级数 解除z 0点之外 f z 在复平面内处处解析 对任何复数z 于是在内 利用洛朗级数求积分 函数f z 展开成Laurent级数的系数 当n 1时 即 例3求下列各积分的值 内展开成Laurent级数 解 1 当时 2 在内 内展开成Laurent级数 展开的级数形式应为 因为 所以在内 复数项级数 函数项级数 充要条件 必要条件 幂级数 收敛半径R 复变函数 绝对收敛 运算与性质 收敛条件 条件收敛 复数列 收敛半径的计算 Taylor级数 Laurent级数 本章内容总结 1 函数展开成Taylor级数与Laurent级数 本章的重点 第三章完 NielsHenrikAbel 1802 8 5 1829 4 6 挪威数学家 牧师的儿子 家 境贫困 Abel15岁读中学时 优秀 的数学教师B Holmboe 1795 1850 发现了Abel的数 学天才 对他给予指导 1821年进入克利斯安那大学