例谈变式在数学教学中的应用

1 例谈变式在数学教学中的应用 泉州七中 吴大勤 在教学一线的大部分教师可以说工作勤勤恳恳 把自己的知识 毫无保留的传授给学生 但学生掌握知识的效果却给我们以极大的反 差 许多我们认为学生已掌握的知识 在一次次考试中 只要对问题 的背景或数量关系稍作演变 有的许多学生就无所适从 许多实例也 表明 在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生 就题论题 对一些学生薄弱的地方没有进行深入的思考 处理方法单一 缺乏演 变 再加上学生参与不够 这样的课堂就变得枯燥无味 而大量单一 的 重复的机械性练习 达到的不是 生巧 而是 生厌 它不仅对学 生知识与技能的掌握无所裨益 而且还会使学生逐步丧失学习数学的 兴趣 要改变上面所提到的现状 提高学生的学习兴趣 取得更佳的 效果 关键是我们的数学课堂教法上要有所改变 变式教学是有效 的 重要的教学手段 下面我结合教学实例 谈谈我的几点体会 一 变式教学对新概念教学的促进作用 概念 在数学课中 的比例较大 能否正确理解概念 是学生学好数学的关键 概念通常 比较抽象 学生感觉枯燥 学习起来索然无味 对抽象概念的理解就 显困难 通过变式等手段 不仅能有效的解决这一难题 使学生渡过 难关 而且还可加深学生对概念内涵和外延的更深层次的理解 如在讲分式的意义时 一个分式的值为零 是指分式的分子为零而分 母不为零 因此对于分式的值为零时 在得到答案 x 3 时 实 3 21 X X 2 际上学生对 分子为零而分母不为零 这个条件还不是很清晰 难以辨 析出学生是否考虑了 分母不为零 这个条件 此时可以做如下变形 X3 1X X3 2X 1 X3 2XX3 X 3 变式 当时 分式的值为零 此时 变式 当 时 分式的值为零 此时 所以说 运用变式教学 不仅能加深学生对新知识的理解 解决 难点 还能对概念内涵和外延的更深层次的理解 增加课堂思维量 提高课堂教学有效性 二 变式教学有利于培养学生良好的思维品质 如变式教学中 常用到的 一题多解 一题多变 的教学方法 其中 一题多解有利于 启迪思维 开阔视野 全方位思考问题 分析问题 有利于培养学生的 发散思维能力和解题技巧 而采用一题多变的形式 可以训练学生积 极思维 触类旁通 提高学生思维敏捷性 灵活性和深刻性 两者都有 利于将知识 能力和思想方法在更多的新情景 更高的层次中 不断 地反复地渗透 从而达到了螺旋式的再认识 再深化 乃至升华的效 果 通过 一题多变 一题多解 的训练 能激发学生的兴趣和求知 欲 不过 所有的变式都要鼓励学生从多角度去分析 选最优的方法 去解决 甚至将研究延伸到课下 就象我们听评书的 且听下回分解 一样 每节课给学生留下回味的余地 给学生提供继续研究的舞台 如题目 已知 如图 AE CD 求 A B C 3 AE B D 解一 过点 B 向右引 AE 的平行线 BF 利用平行线的性质求解 解二 过点 B 向左作 HB AE 构造出一个周角 解三 延长 AB 交 CD 的延长线于点 F 后用三角形外角等于与它不 相邻的两个内角的和 从而求解 解四 连接 AC 利用三角形内角和等于 180 解五 连接 DE 构成五边形 后用五边形内角和进行解答 解六 反向延长 AE CD 从而构成两个平角 等等 又如 勾股定理的应用 题目 图 1 中 在 ABC 中 C 90 在 ABC 外 分别以 AB BC CA 为边作正方形 这三个正方形的面积分别记为 1 2 3s s s 探索之间的关系 1 2 3s s s 图 1 图 2 图 3 变式 1 如图 2 在 ABC 中 C 90 在 ABC 外 分别以 AB BC CA 为边作正三角形 这三个正三角形的面积分别记为 C 4 请探索之间的关系 1 2 3s s s 1 2 3s s s 变式 2 如图 3 在 ABC 中 C 90 在 ABC 外 分别以 AB BC CA 为直径作半圆 这三个半圆的面积分别记为 请 1 2 3s s s 探索之间的关系 1 2 3s s s 变式 3 你认为所作的图形具备什么特征时 均有这样的关系 1 2 3s s s 上面通过变式 转换图形 使学生对勾股定理有深刻的理解 使 学生意识到 只要向外作以 AB BC CA 为对应边的相似图形即可 从而提高思维的灵活性 深刻性 广阔性 三 运用变式教学 可以确保学生参与教学活动的持续的热情 课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况 这就首先要 加强学生在课堂教学中的参与意识 使学生真正成为课堂教学的主人 这也是现代数学教学的趋势 而变式教学就注意到了教材前后知识的 衔接 题目设计由易到难 形成一定的层次 循序渐进 通过对各题的 分析 概括出各题中共同的 本质的东西 以达到由一题向另一题的 迁移 对一般原理的进一步认识的目的 让我们的数学活动有层次的 推进 给人以新鲜感 能够唤起学生好奇心和求知欲 因而能够产生 主动参与的动力 保持其参与教学活动的兴趣和热情 如 对于不等式的性质 不等式两边同时乘以或除以同一个 正数 不等号的方向不变 而不等式两边同时乘以或除以同一个负数 不等号的方向改变 初学者一时很难掌握下来 故可以可通过以下变 5 式训练来分散难点 变式 1 求下列不等式的解 1 2X 3 2 4X 5 2 4 4 2 2 3 4 5X 2kx 1 2k x x 1 K X 2kx 1ay中 a应满足 变式 解不等式 k 2 x 5 变式 若关于的不等式的解集为求的取值范围 若关于的不等式的解集为x 1 求的取值范围 通过以上变式练习 由浅入深 层层递进 既巩固了不等式的性 质这一新知识 又将知识引向深入 有效解决了难点又让所有学生参 与进来 四 利用变式教学有利于提高毕业班的复习效率 在单元复习 或期中 期末复习课中 由于学生对某一阶段的知识已经了解 并已 掌握了一般练习题的解法 这就具备了可提出综合性的或有一定难度 的变式题的条件 以训练学生灵活运用知识的能力 下面通过对几何 图形的形状 位置 大小等各种非本质属性的变化 使学生能透过外 部表象认清几何图形的本质特征同时又可将全等三角形和勾股定理 等重要的知识串起来 如题 1 如图 1 A 是 CD 上一点 ABC ADE 都是正三角形 求证 CE BD 6 题 2 如图 2 ABD ACE 都是正三角形 求证 CD BE 题 3 如图 3 分别以 ABC 的边 AB AC 为一边画正方形 AEDB 和正方形 ACFG 连接 CE BG 求证 BG CE 问题 1 你能从 1 2 3 三题中选择一个进行证明吗 问题 2 三个命题的证明方式为什么是一样的 用到了哪些知识点 问题 3 这些命题在证明过程中哪些条件起到解决问题的决定性作用 通过问题 1 2 3 师生共同探究在这儿的条件 正多边形 的作用 是 1 找到边相等 2 找到角相等从而为三角形全等创造条件 利用此题 让同学们明白引例中的条件 正多边形 是作为命题的 背景 只是设置给他们的障碍 在平时的学习中要学会抓住每个条件 所起的作用 要透过表象 看到问题的本质 紧接着 给出以下变式题 组 把学生的思维进一步调动起来 变式 2 如图 4 有公共顶点的两个正方形 ABCD BEFG 连接 AG EC 求证 AG EC 对吗 变式 3 在图 4 中 若将正方形 BEFG 绕点 B 旋转任意角度 AG EC 还成立吗 变式 4 如图 5 P 是正方形 ABCD 内一点 ABP 绕点 B 顺时针方 向旋转能与 CBP 重合 若 PB 3 求 PP 7 通过变式 2 到变式 4 发现图形不但有稍许改变 而且 结论也不一 样了 同时又将全等三角形 勾股定理 旋转等知识串起来 达到举一 反三的目的 五 利用变式教学可培养学生变式研究的能力 从而顺利突破中考题 可以毫不夸张地说 历年全国各地的中考试题中出现的一些新颖的题 大都是由一些常见的典型题加以变式而来 若能认识庐山真面目 不 难发现 他们实际上只不过是一道传统题而已 如 题目 2008 陕西 如图 梯形 ABCD 中 AB DC ADC BCD 90 且 DC 2AB 分别以 DA AB BC 为边向梯形外作正方形 其面积分别为 S1 S2 S3 则 S1 S2 S3 之间的关系是 提示 过点 A 作 AE BC 交 CD 于点 E 本题的关键在于通过作辅助线把 梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题 而后可证明三个正方形的 边长对应等于所得直角三角形的边 也就是上面提及的勾股定理的模型 再以 08 年义乌中考第 23 题进行说明 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 G 是 CD 边上的一个动点 点 G 与 C D 不重合 以 CG 为一边在正方形 ABCD 8 外作正方形 CEFG 连结 BG DE 我们探究下列图中线段 BG 线段 DE 的长度 关系及所在直线的位置关系 1 猜想如图 1 中线段 BG 线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系 将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到如图 2 如图 3 情形 请你通过观察 测量等方法判断 中得到的结论是否 仍然成立 并选取图 2 证明你的判断 2 将原题中正方形改为矩形 如图 4 6 且 AB a BC b CE ka CG kb a b k 0 第 1 题 中得到的结论哪些成立 哪些不成立 若成立 以图 5 为例 简要说明理由 3 在第 2 题图 5 中 连结DG BE 且 a 3 b 2 k 1 2 求 22 BEDG 的值 这题它将正方形的特殊性质 勾股定理 全等三角形的判定