初中数学经典几何题及答案

第 1 页 共 14 页 经典难题 一 经典难题 一 1 已知 如图 O 是半圆的圆心 C E 是圆上的两点 CD AB EF AB EG CO 求证 CD GF 初二 2 已知 如图 P 是正方形 ABCD 内点 PAD PDA 150 求证 PBC 是正三角形 初二 3 如图 已知四边形 ABCD A1B1C1D1都是正方形 A2 B2 C2 D2分别是 AA1 BB1 CC1 DD1的中点 求证 四边形 A2B2C2D2是正方形 初二 4 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AB CD 的中点 AD BC 的延长线交 MN 于 E F 求证 DEN F 经经 典典 难难题 二 题 二 A P C D B A F G C E B OD D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B 第 2 页 共 14 页 P C G F BQ A D E 1 已知 ABC 中 H 为垂心 各边高线的交点 O 为外心 且 OM BC 于 M 1 求证 AH 2OM 2 若 BAC 600 求证 AH AO 初二 2 设 MN 是圆 O 外一直线 过 O 作 OA MN 于 A 自 A 引圆的两条直线 交圆于 B C 及 D E 直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 3 如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内 则由此可得以下命题 设 MN 是圆 O 的弦 过 MN 的中点 A 任作两弦 BC DE 设 CD EB 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 4 如图 分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边 在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方 形 CBFG 点 P 是 EF 的中点 求证 点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 初二 经经 典典 难难题 三 题 三 1 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC AE AC AE 与 CD 相交于 F 求证 CE CF 初二 A D H E M C B O G A O D B E C QP NM O Q P B D E C N M A A F D E C B 第 3 页 共 14 页 2 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC 且 CE CA 直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证 AE AF 初二 3 设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点 PF AP CF 平分 DCE 求证 PA PF 初二 4 如图 PC 切圆 O 于 C AC 为圆的直径 PEF 为圆的割线 AE AF 与直线 PO 相交 于 B D 求证 AB DC BC AD 初三 经经 典典 难难题 四 题 四 1 已知 ABC 是正三角形 P 是三角形内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度数 初二 2 设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点 且 PBA PDA 求证 PAB PCB 初二 3 设 ABCD 为圆内接凸四边形 求证 AB CD AD BC AC BD 初三 D E DA C B F F EPC B A ODB F A E C P A P CB P A D CB C B D A 第 4 页 共 14 页 4 平行四边形 ABCD 中 设 E F 分别是 BC AB 上的一点 AE 与 CF 相交于 P 且 AE CF 求证 DPA DPC 初二 经经 典典 难难题 五 题 五 1 设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点 L PA PB PC 求证 L 2 2 已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点 求 PA PB PC 的最小值 3 P 为正方形 ABCD 内的一点 并且 PA a PB 2a PC 3a 求正方形的边长 4 如图 ABC 中 ABC ACB 800 D E 分别是 AB AC 上的点 DCA 300 EBA 200 求 BED 的度数 F P D E CB A A P CB A C B P D E D CB A A C B P D 第 5 页 共 14 页 经经 典典 难难题 一 答案题 一 答案 1 如下图做 GH AB 连接 EO 由于 GOFE 四点共圆 所以 GFH OEG 即 GHF OGE 可得 又 CO EO 所以 CD GF 得证 EO GF GO GH CO CD 2 如下图做 DGC 使与 ADP 全等 可得 PDG 为等边 从而可得 DGC APD CGP 得出 PC AD DC 和 DCG PCG 150 所以 DCP 300 从而得出 PBC 是正三角形 3 如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F E 连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点 连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点 由 A2E A1B1 B1C1 FB2 EB2 AB BC FC1 又 GFQ Q 900和 1 2 1 2 1 2 1 2 GEB2 Q 900 所以 GEB2 GFQ 又 B2FC2 A2EB2 可得 B2FC2 A2EB2 所以 A2B2 B2C2 又 GFQ HB2F 900和 GFQ EB2A2 从而可得 A2B2 C2 900 同理可得其他边垂直且相等 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形 第 6 页 共 14 页 4 如下图连接 AC 并取其中点 Q 连接 QN 和 QM 所以可得 QMF F QNM DEN 和 QMN QNM 从而得出 DEN F 经经 典典 难难题 二 题 二 1 1 延长 AD 到 F 连 BF 做 OG AF 又 F ACB BHD 可得 BH BF 从而可得 HD DF 又 AH GF HG GH HD DF HG 2 GH HD 2OM 2 连接 OB OC 既得 BOC 1200 从而可得 BOM 600 所以可得 OB 2OM AH AO 得证 第 7 页 共 14 页 3 作 OF CD OG BE 连接 OP OA OF AF OG AG OQ 由于 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG 由此可得 ADF ABG 从而可得 AFC AGE 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆 可得 AFC AOP 和 AGE AOQ AOP AOQ 从而可得 AP AQ 4 过 E C F 点分别作 AB 所在直线的高 EG CI FH 可得 PQ 2 EGFH 由 EGA AIC 可得 EG AI 由 BFH CBI 可得 FH BI 从而可得PQ 从而得证 2 AIBI 2 AB 第 8 页 共 14 页 经经 典典 难难题 三 题 三 1 顺时针旋转 ADE 到 ABG 连接 CG 由于 ABG ADE 900 450 1350 从而可得 B G D 在一条直线上 可得 AGB CGB 推出 AE AG AC GC 可得 AGC 为等边三角形 AGB 300 既得 EAC 300 从而可得 A EC 750 又 EFC DFA 450 300 750 可证 CE CF 2 连接 BD 作 CH DE 可得四边形 CGDH 是正方形 由 AC CE 2GC 2CH 可得 CEH 300 所以 CAE CEA AED 150 第 9 页 共 14 页 又 FAE 900 450 150 1500 从而可知道 F 150 从而得出 AE AF 3 作 FG CD FE BE 可以得出 GFEC 为正方形 令 AB Y BP X CE Z 可得 PC Y X tan BAP tan EPF 可得 YZ XY X2 XZ X Y Z YXZ 即 Z Y X X Y X 既得 X Z 得出 ABP PEF 得到 PA PF 得证 第 10 页 共 14 页 经经 典典 难难题 四 题 四 1 顺时针旋转 ABP 600 连接 PQ 则 PBQ 是正三角形 可得 PQC 是直角三角形 所以 APB 1500 2 作过 P 点平行于 AD 的直线 并选一点 E 使 AE DC BE PC 可以得出 ABP ADP AEP 可得 AEBP 共圆 一边所对两角相等 可得 BAP BEP BCP 得证 3 在 BD 取一点 E 使 BCE ACD 既得 BEC ADC 可得 即 AD BC BE AC BE BC AD AC 又 ACB DCE 可得 ABC DEC 既得 即 AB CD DE AC AB AC DE DC 由 可得 AB CD AD BC AC BE DE AC BD 得证 第 11 页 共 14 页 4 过 D 作 AQ AE AG CF 由 可得 ADE SA 2 ABCD SA DFC SA 由 AE FC 2 AE PQA 2 AE PQA 可得 DQ DG 可得 DPA DPC 角平分线逆定理 经经 典典 难难题 五 题 五 1 1 顺时针旋转 BPC 600 可得 PBE 为等边三角形 既得 PA PB PC AP PE EF 要使最小只要 AP PE EF 在一条直线上 即如下图 可得最小 L 第 12 页 共 14 页 2 过 P 点作 BC 的平行线交 AB AC 与点 D F 由于 APD ATP ADP 推出 AD AP 又 BP DP BP 和 PF FC PC 又 DF AF 由 可得 最大 L 2 由 1 和 2 既得 L 2 2 顺时针旋转 BPC 600 可得 PBE 为等边三角形 既得 PA PB PC AP PE EF 要使最小只要 AP PE EF 在一条直线上 即如下图 可得最小 PA PB PC AF 第 13 页 共 14 页 既得 AF 2 13 1 42 23 42 3 2 2 31 2 2 31 2 62 2 3 顺时针旋转 ABP 900 可得如下图 既得正方形边长 L 22 22 2 22 a A52