2012高三数学上册 15.5《几何体的体积》教案（2） 沪教版

15 515 5 几何体的体积几何体的体积 2 2 锥体的体积锥体的体积 一 教学内容分析一 教学内容分析 锥体的体积是学习祖暅原理与柱体体积之后 对几何体体积的进一步探索 其中三棱锥 体积在这之中又尤为重要 起着承上启下的作用 推导三棱锥的体积要用到前一课时的内容 同时 n 棱锥乃至圆锥的体积公式又是建立在三棱锥体积之上的 所以处理好三棱锥的体积问 题 是这堂课的重中之重 二 教学目标设计二 教学目标设计 学生通过具体实验感知三棱锥体积公式 通过严谨证明确认三棱锥体积公式 通过对新 知识的应用推广得到 n 棱锥的体积公式 通过具体实例初步应用锥体体积公式 能应用割补法求体积以及体积法求点到面的距离 在这个过程中 提高分析 综合 抽 象 概括等逻辑推理能力 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 三棱锥体积公式及其探求 四 教学流程设计 复习已学知识 做好上课准备 通过实验 发现规律 提出质疑 严谨证明 继续推广 特殊到一般 简单应用 巩固公式 课堂小结 布置作业 五 教学过程设计五 教学过程设计 一 情景引入 1 复习祖暅原理 体积可看成是有面积叠加而成 用一组平行平面截两个空间图形 若在 任意等高处的截面面积都对应相等 则两空间图形的体积必然相等 2 柱体体积公式 V棱柱 Sh 3 问题 锥体的体积公式是什么 会不会和柱体的体积有什么联系 实验 如图取一个三棱锥教具 无底面 ABC 一个与之同底等高的三棱柱教具 无底面 ABC 教具可用硬板纸制作 以及黄沙若干 B CA O B CA O P Q 1 用三棱锥盛满黄沙 倒入三棱柱容器中 发现倒三次正好把三棱柱容器填满 从这个实验中 学生猜想三棱锥的体积公式为 V三棱锥 Sh 1 3 这个实验的结果到底是一个美丽的巧合还是一个必然的结果 二 学习新课 问题 1 从猜想的三棱锥体积公式为 V三棱锥 Sh 看 体积只和三棱锥底面积和高有关 而 1 3 与底面三角形的形状无关 那么 上述实验中的三棱柱不变 三棱锥变成与原三棱锥 O ABC 等底等高的三棱锥 P DEF 结果是否会不变呢 解决此问题 即要证明等底等高的三棱锥的体积相等等底等高的三棱锥的体积相等 已知三棱锥 O ABC 和 P DEF 的底面积都是 S 高都是 h 求证 三棱锥 O ABC 和 P DEF 的体积相等 证明 把两个三棱锥的底面都放在平面上 任意作平面 设平面截三棱锥 O ABC 所得的截线为三角形 A B C 其面积为 S1 平面截三棱锥 P DEF 所得的截线为三角 形 D E F 其面积为 S2 如果三棱锥的顶点 O 和 P 与平面的距离为 h1 那么推得 和 于是得 相似 1 hOAOBOC OAOBOCh 1 hA BB CC A ABBCCAh A B CABC 比是 同理可得 相似比也是 由相似形的性质得 1 h h D E FDEF 1 h h 2 11 Sh Sh 即 2 22 Sh Sh 2 1 12 h SSS h 因为任意平行于底面的平面截两个三棱锥时 所得的截面面积相等 所以由祖暅原理得 三棱锥 O ABC 和 P DEF 的体积相等 即等底等高的三棱锥的体积相等 问题 2 为什么三棱锥的体积公式恰巧为 V三棱锥 Sh 而不是 1 3 11 24 ShSh 观察实验中的三棱锥 O ABC 正好含在三棱柱 OPQ ABC 中 于是我们通过连接 OB OC 把三棱柱 OPQ ABC 中的三棱锥 O ABC 找出来 发现三棱柱 OPQ ABC 是由三棱锥 O ABC 和四棱 锥 O BCQP 组成的 进一步的 连接 BQ 那么此时比较明显的有 VOPQ ABC VO ABC VB OPQ VO BCQ 由于等底等高的三棱锥的体积相等 故有 VO ABC VB OPQ VO BPQ VO BCQ B CA O B CA O P Q 1 因此 V三棱锥 Sh 1 3 请学生叙述如果连接 PC 怎样证明 平面几何中求面积时 我们经常会用到割补法 同样的 立体几何求体积也会用到此法 上 述的证明方法 本质上就是把一个三棱锥补成三棱柱后 再加以证明 是求体积的 补 法 推广 1 四棱锥的体积公式呢 如果也采用三棱锥探求体积的方法 是否可行 三棱锥体积的证明中用到了一个三棱锥非常个性化 的特征 可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点 这是 其它任何棱锥所不具备的特征 那么 我们已经知道 并且证明了三棱锥的体积 四棱锥中有没有三棱锥呢 通过连接 AC 可得 P A BC D VP ABCD VP ABC VP ACD S ABC S ACD h SABCDh 1 3 1 3 其中 h 是 P 到底面 ABCD 的距离 即四棱锥的高 推广 2 n 棱锥的体积公式呢 基本上可由学生自行完成 课本 P39 也讲述的非常清楚 总结 V V棱锥 棱锥 ShSh 1 3 三 巩固应用 例 在正方体 ABCD A B C D 中 已知棱长为 a 求 1 三棱锥 B ABC 的体积 2 这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几 3 B 到平面 AB C 的距离 用 2 种方法答 解 1 由正方体棱长为 a 得 S ABC a 高 h a 2 1 2 所以 VB ABC S ABC h a a a 3 1 3 1 2 1 2 6 1 3 2 因为 V正方体 a 所以 VB ABC V正方体 3 6 1 3 方法一 如图 过 B 作 BO 面 AB C 于 O 则 O 必为 AB C 的重心 连 AO 并延长交 B C 于 M 因为 AB B C CA a 2 所以 AM a a OA AM a 2 3 2 2 6 3 2 3 6 在 Rt AOB 中 BO 即 B 到面 AB C 的距离为a 22 OAAB aaa 3 3 3 2 22 3 3 方法二 设 B 到面 AB C 距离为 h 因为 AB B C CA a 2 所以 S AB C a a 4 3 2 2 2 3 2 因此 a h VB AB C VB ABC a a 6 1 a 3 1 2 3 2 3 1 2 1 23 故 h a 即 B 到面 AB C 的距离为a 3 3 3 3 方法二充分运用了三棱锥的特征 可以以任何一个顶点作为三棱锥的顶点 这为我们求 解顶点到底面的距离提供了捷径 称之为体积法 四 课堂小结 1 割补法求体积 2 V V棱锥 棱锥 ShSh 1 3 3 体积法求点到面的距离 五 作业布置 课本 P41 练习 15 5 2 六 教学设计说明六 教学设计说明 数学是源于生活的 选用实际的实验操作能使学生对 V棱锥 Sh 有一个形象的 具体化 1 3 的认识 数学是严谨的 发现规律之后 需要的是严格的证明 证明的两个层