初三数学二次函数知识点总结及经典习题

1 二次函数二次函数 知识点总结知识点总结 一一 二次函数概念 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 这 2 yaxbxc abc何何0a 里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 而可以为零 二次函数的定义域是0a bc何 全体实数 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc何何abc 二二 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 表达式 a 0 a 值图像 开口 方向 对称轴 顶点 坐 标 增减性最值 a 0向上y 轴 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 有最小值 即 0 最小值 y y ax2 a 0向下y 轴 0 0 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 有最大值 即 0 最大值 y a 0向上y 轴 0 k 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 有最小值 即 k 最小值 y y ax2 k a 0向下y 轴 0 k 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 有最大值 即 k 最大值 y a 0向上直线 x h h 0 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x 0 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 有最小值 即 0 最小值 y y a x h 2 a 0向下直线 x h h 0 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x 0 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 有最大值 即 0 最大值 y y a x h 2 k a 0向上直线 x h h k 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 有最小值 即 k 最小值 y 2 a 0向下直线 x h h k 当 x h 时 y 随 x 的增大而减小 当 x h 时 y 随 x 的增大而增大 当 x h 时 y 有最大值 即 k 最大值 y a 0向上 直线 x a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 当 x 时 y a b 2 随 x 的增大而增大 当 x 时 y a b 2 随 x 的增大而减小 当 x 时 a b 2 y 有最小值 最小值 y a bac 4 4 2 y ax2 bx c 可化为 y a x 2a b 2 a bac 4 4 2 a 0向下 直线 x a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 当 x 时 y a b 2 随 x 的增大而减小 当 x 时 y a b 2 随 x 的增大而增大 当 x 时 a b 2 y 有最大值 即 y最大值 a bac 4 4 2 三三 二次函数图象的平移二次函数图象的平移 1 平移步骤 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk何 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 2 yax hk何 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 自变量 上加下减 常数项 左加右减 自变量 上加下减 常数项 温馨提示温馨提示 二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移 因此只要掌握了顶点是如何平移的 就掌握了 二次函数图像间的平移 四四 二次函数二次函数与与的比较的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过配方可以得 2 ya xhk 2 yaxbxc 3 到前者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 何 五 二次函数解析式的三种表示方法五 二次函数解析式的三种表示方法 名称名称解析式解析式使用范围使用范围 一般式一般式 0 2 acbxaxy 已知任意三个点 顶点式顶点式 0 2 akhxay 已知顶点 h k 及另一点 交点式交点式 0 21 axxxxay 已知与 x 轴的两个交点及另一个点 温馨提示温馨提示 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以用交点式表示 二次函数解析式x 2 40bac 的这三种形式可以互化 将顶点式 交点式去括号 合并同类项就可转化为一般式 把一般式配方 因式分解就可转化为顶点式 交点式 六 二次函数的图象与各项系数之间的关系六 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向 a 决定抛物线开口的大小 a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 a 的值越小 开口越大 0a a 当时 抛物线开口向下 的值越大 开口越大 的值越大 开口越大 0a aa 注 注 a 越大 抛物线的开口越小 a 越小 抛物线开口越大 抛物线的形状相同 即抛物线的形状相同 即 a 相同相同 2 一次项系数 由 a 和对称轴共同决定 b 对称轴在 y 轴的左侧 a b 同号 对称轴在 y 轴的右侧 a b 异号 左同右异左同右异 b 为为 0 时 对称轴为时 对称轴为 y 轴轴 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为负 0c yxy 总结起来 总结起来 决定了抛物线与决定了抛物线与轴交点的位置 轴交点的位置 cy 七 二次函数图象 抛物线 与七 二次函数图象 抛物线 与 x x 轴交点情况的判断 轴交点情况的判断 y ax2 bx c a 0 a b c 都是常数 1 b 4ac 0抛物线与 x 轴有两个交点 2 b 4ac 0抛物线与 x 轴有一个交点 3 b 4ac 0抛物线与 x 轴没有交点 当时 图象落在轴的上方 无论为任何实数 都有 0a xx0y 当时 图象落在轴的下方 无论为任何实数 都有 0a xx0y 八八 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的解之间的关系 二次函数与一元二次方程 一元二次不等式的解之间的关系 1 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2 bx c 0 的解 因此利用 二次函数图象可求以 x 为未知数的一元二次方程 ax2 bx c 0 的解 从图象上进行判断 2 二次函数 y ax2 bx c 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2 bx c 0 的解 在 x 轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式 ax2 bx c 0 的解 4 九九 二次函数的应用二次函数的应用 二次函数应用 何何何何 何何何何何何何何 何何何何何何何 二次函数抛物线简单的图形变换二次函数抛物线简单的图形变换 1 1 顶点式 顶点式 a 0 khxay 2 名称名称 a a 顶点 顶点 h h k k 平移平移 a a h h k k 左加右减左加右减 上加下减上加下减 关于关于 x x 轴对称轴对称 a a h h k k 关于关于 y y 轴对称轴对称 a a h h k k 对对 称称 关于原点对称关于原点对称 a a h h k k 旋转 绕顶点旋转旋转 绕顶点旋转 180 180 a a h h k k 2 2 一般式 一般式 a 0 cbxaxy 2 平移平移 如将二次函数向右平移 m m 0 个单位 再向下平移 n n 0 个单位 cbxaxy 2 得到ncbmamxbamaxncmxbmxa 222 2 y 对称对称 名称名称a b c 的变化的变化解析式变化解析式变化 关于关于 x x 轴对称轴对称a a b b c c y ax bx c y ax bx c 关于关于 y y 轴对称轴对称a 不变 b b c 不 变 y ax bx c y ax bx c 关于原点对称关于原点对称a a b 不变 c c y ax bx c y ax bx c 注 无论是平移 轴对称还是旋转 最好先把二次函数化成顶点式 然后再根据需要进行求解 5 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一一 选择题选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 2 2yx A B C D 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 21yx 2 21yx 3 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2 ykxk 0 k yk x 4 已知二次函数的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 2 0 yaxbxc a 当和时 函数值相等 当时 的值只能取 0 其中正1x 3x 40ab 2y x 确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数的顶点坐标 1 3 2 及部分 2 0 yaxbxc a 图象 如图 由图象可知关于的一元二次方程的两个根x 2 0axbxc 分别是 A 1 3 B 2 3 C 0 3 D 3 3 12 1 3xx 和 6 已知二次函数的图象如图所示 则点在 2 yaxbxc ac bc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程的正根的个数为 2 2 2xx x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析式为y A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二 填空题二 填空题 9 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 x 0 时 函数值 y 随自变量 x 的增大而 增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可 12 抛物线的顶点为 C 已知直线过点 C 则这条直线与两坐标轴所围 2 2 2 6yx 3ykx 成的三角形面积为 13 二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位 再向下平移 2 2 241yxx 2 2yxbxc 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米 的地方 桥的高度是 取 3 14 6 三 解答题 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与轴的交点为 0 30 x y 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 0 t 2 2 0 1 2 hv tgt 其中重力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下降 并说明理由 17 如图 抛物线经过直线与坐标轴的两个交 2 yxbxc 3yx 点 A B 此抛物线与轴的另一个交点为 C 抛物线顶点为 D x 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 P APC S ACD S 的坐标 3 点 M 为平面直角坐标系上一点 写出使点M A B D 为平 行四边形的点 M 的坐标 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货源 待货物售出后再 进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260 元时 月销售量为45 吨 该建材店为提高 经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量 就会增加 7 5 吨 综合考虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每 吨材料售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为每吨多少元 4 小静说 当月利润最大时 月销售额也最大 你认为对吗 请说明理由 19 某商场试销一种成本为 60 元 件的 T 恤 规定试销期间单价不低于成本单价 又获利不 得高于 40 经试销发现 销售量 y 件 与销售单价 x 元 件 符合一次函数 y kx b 且 x 70 时 y 50 x 80 时 y 40 1 求出一次函数 y kx b 的解析式 2 若该商场获得利润为 w 元 试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式 销售单价定为 多少时 商场可获得最大利润 最大利润是多少 二次函数应用题训练二次函数应用题训练 1 心理学家发现 学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x 分 之间满足函数 关系 y 0 1x2 2 6x 43 0 x 30 第 15 题图 7 1 当x在什么范围内时 学生的接受能力逐步增强 当x在什么范围内时 学生的接受 能力逐步减弱 2 第 10 分钟时 学生的接受能力是多少 3 第几分钟时 学生的接受能力最强 2 如图 已知 ABC 是一等腰三角形铁板余料 其中 AB AC 20cm BC 24cm 若在 ABC 上截出 一矩形零件 DEFG 使 EF 在 BC 上 点 D G 分别在边 AB AC 上 问矩形 DEFG 的最大面积是多 少 FEB GD C A 3 已知锐角 ABC中 边BC长为 12 高AD长为 8 1 如图 矩形EFGH的边GH在BC边上 其余两个顶点E F分别在AB AC边上 EF交AD于点K 求的值 AK EF 设EH x 矩形EFGH的面积为S 求S与x的函数关系式 并求S的最大值 2 若ABAC 正方形PQMN的两个顶点在 ABC一边上 另两个顶点分别在 ABC的另两边上 直接 写出正方形PQMN的边长 4 如图 ABC 中 B 90 AB 6cm BC 12cm 点 P 从点 A 开始 沿 AB 边向点 B 以每秒 1cm 的速度移动 点 Q 从点 B 开始 沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 如果 P Q 同时出发 问经过几秒钟 PBQ 的面 积最大 最大面积是多少 8 B Q C P A 5 如图 隧道的截面由抛物线 AED 和矩形 ABCD 构成 矩形的长 BC 为 8m 宽 AB 为 2m 以 BC 所在的直线 为 x 轴 线段 BC 的中垂线为 y 轴 建立平面直角坐标系 y 轴是抛物线的对称轴 顶点 E 到坐标原点 O 的距离为 6m 1 求抛物线的解析式 2 一辆货运卡车高 4 5m 宽 2 4m 它能通过该隧道吗 3 如果该隧道内设双行道 为了安全起见 在隧道正中间设有 0 4m 的隔离带 则该辆货运卡车还能通 过隧道吗 举一反三举一反三 如图 隧道的截面由圆弧 AED 和矩形 ABCD 构成 矩形的长 BC 为 12m 宽 AB 为 3m 隧道的 顶端 E 圆弧 AED 的中点 高出道路 BC 7m 求圆弧 AED 所在圆的半径 如果该隧道内设双行道 现有一辆超高货运卡车高 6 5m 宽 2 3m 问这辆货运卡车能否通过该隧道 6 如图 一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离为 2 5 米时 达到最大高度 3 5 米 然后准确落入篮圈 已知篮圈中心到地面的距离为 3 05 米 1 建立如图所示的直角坐标系 求抛物线的表达式 2 该运动员身高 1 8 米 在这次跳投中 球在头顶上方 0 25 米处出手 问 球出手时 他跳离地面 的高度是多少 4 m 0 3 5 3 05 m x y O 9 7 如图 要建一个长方形养鸡场 鸡场的一边靠墙 如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙 的养鸡场 设它的长度为x m 1 要使鸡场面积最大 鸡场的长度应为多少m 2 如果中间有n n是大于 1 的整数 道篱笆隔墙 要使鸡场面积最大 鸡场的长应为多少m 比较 1 2 的结果 你能