湖南省湘潭市2011届高三数学第五次模拟考试 理

用心 爱心 专心1 湘潭市湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷理科数学届高三第五次模拟考试试卷理科数学 一 选择题 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 M 1 2 3 4 M N 2 3 则集合 N 可以为 A 1 2 3 B 1 3 4 C 1 2 4 D 2 3 5 2 抛物线 2 4yx 上一点M与该抛物线的焦点F的距离 4MF 则点M的横坐标 x A 2 B 3 C 4 D 5 3 a 1 是函数 axxf 在区间 1上为增函数的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几 何体的表面积是 A 6 B 7 C 8 D 9 5 已知方程 7 8585 0 xy是根据女大学生的身高预报 她体重的回归方程 其中y x 的单位分别是kgcm 则 该方程在样本 165 57 处的残差是 A 54 55 B 2 45 C 2 45 D 111 55 6 在 ABC 中 23sin 23 cos AB 22cos2 22sin2 AC 则 ABC 的面积 为 A 22 B 2 C 2 2 D 3 2 7 若函数 2 0 cos 01 1 xx xx xf 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a 则 正视图 侧视图 俯视图 2 2 2 2 2 2 22 2 第 4 题图 用心 爱心 专心2 a的值为 A 2 1 B 1 C 2 3 D 2 8 定义在 R 上的函数 xfy 在 a 上是增函数 且函数 axfy 是偶函数 当axax 21 且axax 21 时 有 A 2 2 21 xafxaf B 2 2 21 xafxaf C 2 2 21 xafxaf D 2 2 21 axfxaf 二 填空题二 填空题 本大题共7小题 每小题5分 共35分 把答案填写在答题卡中对应题号后的横 线上 A 必做题 必做题 9 执行右图所示的程序框图 输出结果y的值是 10 若二项式 12 nx 展开式中 3 x项的系数等于x项的系数的 8倍 则n等于 11 已知两定点 M 2 0 N 2 0 若直线上存在点 P 使 得2 PNPM 则该称直线为 A 型直线 给出下列直 线 1yx 23 xy 3yx xy2 其中是 A 型直线 的序号是 12 若不等式组 0 0 4 x y ykxk 表示的区域面积为 S 则 1 当 S 2 时 k 2 当1 k时 1 k kS 的最小值为 13 把正整数排列成三角形数阵 如图甲 如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶 数 得到新的三角形数阵 如图乙 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列 得到一 个数列 n a 则 2011 a 第 9 题图 用心 爱心 专心3 B 选做题 选做题 从下列三道题中 任选两道题作答 三道题都答的 按前两道题答案给分 14 几何证明选讲 如图 半径为 2 的 O 中 90AOB D为OB的中点 AD的 延长线交 O 于点E 则线段 DE 的长为 15 不等式选讲 已知函数 2 12 log 2 mxxxf 若关于 x的不等式1 xf的解集是 R 则m的取值范围是 16 坐标系与参数方程 已知圆 C 的极坐标方程为 sin32cos2 则圆心 C 的一个极坐标为 三 解答题 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分12分 已知平面上三点 0 2 A 2 0 B sin cos C 1 若 2 7OAOC O 为坐标原点 求向量OB与OC夹角的大小 2 若BCAC 求 2sin的值 18 本小题满分 12 分 将一颗质地均匀的正方体骰子 六个面的点数分别为 1 2 3 4 5 6 先后抛掷两次 记第一次出现的点数为 a 第二次出现的点数为 b 设 复数zabi 1 设事件 A 3zi 为实数 求事件 A 的概率 2 当 23z 成立时 令ba 求 的分布列和期望 19 本小题满分 12 分 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ACBDO 将正方形 ABCD 沿对角线BD折起 使1AC 得到三棱锥 A BCD 如图所示 1 求证 AOBCD 平面 2 求二面角ABCD 的余弦值 A B O D E 第 14 题图 用心 爱心 专心4 20 本小题满分 13 分 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款 旨在帮助高校家庭经济 困难学生支付在校学习期间 所需的学费 住宿费及生活费 每一年度申请总额不超过 6000 元 某大学 2010 届毕业生李霄在本科期间共申请了24000元助学贷款 并承诺在 毕业后3年内 按36个月计 全部还清 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元 第13个月开始 每月工资 比前一个月增加5 直到4000元 李霄同学计划前12个月每个月还款额为500 第 13个月开始 每月还款额比前一月多x元 1 若李霄恰好在第 36 个月 即毕业后三年 还清贷款 求x的值 2 当50 x 时 李霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款 他还清贷款的那一个月的 工资余额是多少 参考数据 18192021 1 052 406 1 052 526 1 052 653 1 052 786 21 本小题满分 13 分 若圆C过点 0 1 M且与直线1 yl相切 设圆心C的轨迹为 曲线E A B为曲线E上的两点 点 0 0 ttP 且满足 1 APPB 1 求曲线E的方程 2 若6 t 直线AB的斜率为 2 1 过A B两点的圆N与抛物线在点A处有共同的 切线 求圆N的方程 3 分别过A B作曲线E的切线 两条切线交于点Q 若点Q恰好在直线l上 求证 t与QA QB 均为定值 22 本小题满分 13 分 己知函数 1 1 ln 1 f x xx 1 求函数 f x的增区间 用心 爱心 专心5 2 是否存在实数m 使不等式 1 1 2 1 m x x 在10 x 时恒成立 若存在 求出实 数m的取值范围 若不存在 请说明理由 湘潭市湘潭市2011届高三第五次模拟考试试卷届高三第五次模拟考试试卷 理科数学参考答案理科数学参考答案 一 选择题 1 8 DBABBCCA 二 填空题 9 1 10 5 11 12 4 1 32 13 3959 14 5 53 15 2 1 m 16 3 2 三 解答题 17 解 1 sin cos2 OCOA 2 7OAOC 7sin cos2 22 2 1 cos 4 分 又 2 0 B sin cos C 设OB与OC的夹角为 则 2 3 sin 2 sin2 cos OCOB OCOB OB 与OC 的夹角为 6 或 6 5 7 分 2 cos2 sin AC 2sin cos BC 9 分 由ACBC 0AC BC 可得 2 1 sincos 11 分 4 1 sin cos 2 4 3 cossin2 4 3 2sin 12 分 18 解 1 3zi 为实数 即3 3 abiiabi 为实数 b 3 3 分 又依题意 b可取 1 2 3 4 5 6 故出现b 3 的概率为 1 6 即事件 3zi 为实数 的概率为 1 6 6 分 2 由已知 22 2 2 2 3zabiab 8 分 用心 爱心 专心6 可知 b的值只能取 1 2 3 9 分 当b 1 时 2 2 8a 即 a 可取 1 2 3 4 当b 2 时 2 2 5a 即 a 可取 1 2 3 4 当b 3 时 2 2 0a 即 a 可取 2 由上可知 2 3 4 5 6 的分布列为 23456 p 9 1 9 2 9 2 3 1 9 1 9 6 9 15 9 8 9 6 9 2 E 9 37 12 分 19 解 1 证明 在AOC 中 1AC 2 2 AOCO 222 ACAOCO AOCO 又 ACBD 是正方形 ABCD 的对角线 AOBD 又BDCOO AOBCD 平面 4 分 2 由 1 知AOBCD 平面 则 OC OA OD 两两互相垂直 如图 以 O 为原点 建立空间直角坐标系Oxyz 则 2222 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2222 OACBD 2 0 0 2 OA 是平面BCD的一个法向量 7 分 22 0 22 AC 22 0 22 BC 设平面ABC的法向量 x y z n 则0BC n 0AC n 即 22 0 0 22 22 0 0 22 x y z x y z 10 分 所以 yx 且 zx 令1 x 则1y 1z 解得 1 1 1 n 11 分 从而 3 cos 3 OA OA OA n n n 二面角ABCD 的余弦值为 3 3 12 分 20 解 1 依题意 从第 13 个月开始 每个月的还款额为 n a构成等差数列 其中 1 500ax 公差为x 从而 到第36个月 李霄共还款 用心 爱心 专心7 1 24 24 1 12 50024 2 ax 令 24 24 1 12 500 500 2424000 2 xx 解之得20 x 元 据题意 验证可行 即要使在三年全部还清 第 13 个月起每个月必须比上一个月多还20元 6 分 2 设李霄第n个月还清 则应有 12 12 1 12 500 50050 12 5024000 2 nn n 整理可得 2 38280nn 解之得 33321 30 2 n 取31n 即李霄工作31个月就可以还清贷款 这个月 李霄的还款额为 30 12 30 12 1 24000 12 500 50050 30 12 50 450 2 元 第 31 个月李霄的工资为 19 1500 1 051500 2 5263789 元 因此 李霄的剩余工资为37894503339 13 分 21 解 1 依题意 点C到定点M的距离等于到定直线l的距离 所以点C的轨迹为抛物 线 曲线E的方程为yx4 2 3 分 2 直线AB的方程是 1 6 2 yx 即2120 xy 由 0122 4 2 yx yx 得点A B的坐标是 6 9 或 4 4 5 分 当 6 9 A 4 4 B 时 由yx4 2 得 2 4 1 xy 1 2 yx 所以抛物线yx4 2 在点A处切线的斜率为 6 3 x y 直线NA的方程为 1 9 6 3 yx 即 1 11 3 yx 线段AB的中点坐标为 13 1 2 中垂线方程为 13 2 1 2 yx 即 17 2 2 yx 由 解得 3 23 22 N 7 分 用心 爱心 专心8 于是 圆C的方程为 2222 323323 4 4 2222 xy 即 2 125 2 23 2 3 22 yx 8 分 当 4 4 A 6 9 B时 抛物线yx4 2 在点A处切线的斜率为 4 2 x y 此时切线与 AB垂直 所求圆为以AB为直径的圆 可求得圆为 22 13125 1 24 xy 9 分 3 设 4 2 1 1 x xA 4 2 2 2 x xB 1 Q a 过点A的切线方程为 2 11 1 42 xx yxx 即 2 11 240 xax 同理可得042 2 2 2 axx 所以 12 2xxa 4 21 xx 10 分 又 21 2 2 2 1 44 xx xx kAB 12 4 xx 所以直线AB的方程为 2 112 1 44 xxx yxx 即 1212 44 xxx x yx 亦即1 2 a yx 所以1t 11 分 而 2 1 1 1 4 x QAxa 2 2 2 1 4 x QBxa 所以 22 12 12 1 1 44 xx QA QBxa xa 222 2 121212 1212 2 1 164 x xxxx x x xa xxa 2 22 48 42110 4 a aa 13 分 22 解 1 根据函数解析式得 10 11 x x 解得1x 且0 x 函数 f x的定义域是 1 x xR x 且x0 1 分 1 1 ln 1 f x xx 22 ln 1 1 1 ln 1 x fx xx 4 分 由 0fx 得ln 1 10 x 1 11 xe 函数 f x的增区间为 1 1 1 e 5 分 2 1 10 ex 1 11 ex 1ln 1 0 x