安徽省六校教育研究会2013年高二数学素质测试试题 理 新人教A版

1 安徽省六校教育研究会安徽省六校教育研究会 20132013 年高二素质测试年高二素质测试 数学 理科 数学 理科 本试卷分第 卷和第 II 卷 非选择题 两部分 第 卷第 1 至第 2 页 第 II 卷第 3 至第 5 页 全卷满分 150 分 考试时间为 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中的姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背面 规定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 I 卷时 每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上所对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 3 答第 II 卷时 必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 要求字体工整 笔迹清晰 作图题可先用铅笔在答题卡的规定的位置绘出 确认后再用 0 5 毫米的黑色墨 水签字笔描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出答题区域书写的答案无效 在 试题卷 草稿纸上答题无效 第 卷 选择题 共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 1 3 为虚数单位 B 4 A B A 则复数 ziiz A 2 B 2 C 4 D 4iiii 2 是 向量与向量共线 的 2x 2 1 ax 2 2 bx A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 函数在上的单增区间是 4 2sin xxf 2 0 A B 8 0 2 8 C D 8 3 0 2 8 3 4 在正项等比数列 中 则 n a 1n a n a 2846 6 5aaaa 5 7 a a 2 A B 5 6 6 5 C D 2 3 3 2 5 某流程图如图所示 现输入如下四个函数 则可以输出的函数是 A B x f x x 2 lg1f xxx C D xx xx ee f x ee 2 2 1 1 x f x x 6 已知正方形 ABCD 的边长为 2 H 是边 DA 的中点 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P 则满足 PH 2的概率为 A B C D 8 1 84 4 1 44 7 分别是自然对数的底和圆周率 则下列不等式不成立的是 e A B 2 loglog2 e e loglog1 e e C D e eee 3 33 4 ee 8 已知双曲线的右焦点为 F 2 0 设 A B 为双曲线上关于原点 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 对称的两点 AF 的中点为 M BF 的中点为 N 若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上 直线 AB 的斜率为 则双曲线的离心率为 3 7 7 A B C 2D 435 9 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动 含正半轴上的整点 其运动规 x y 律为或 若该动点从原点出发 经过 6 步运 1 1 m nmn 1 1 m nmn 动到 6 2 点 则有 种不同的运动轨迹 A 15B 14C 9D 10 10 定义 符合 f x x 的 x 称为 f x 的一阶不动点 符合 f f x x 的 x 称为 f x 的二 阶不动点 设函数 f x bx c 若函数 f x 没有一阶不动点 则函数 f x 二阶不动点的 x2 个数为 A 四个B 两个 C 一个D 零个 第 II 卷 非选择题 共 100 分 是 是 否 否 开始 f x输入 0 f xfx f x 有零点 f x输出 结束 3 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知的最小值为 则二项式展开式中项的系数 2 4 f xxx n 1 nx x 2 x 为 12 设函数 则方程的解集为 0 log 0 2 2 xx x xf x 1 2 f x 13 若实数 x y 满足不等式组 则的最大值是 22 1 24 xy xy xy 31xy 14 设直线 与曲线有三个不同的交点 且 则直线l 3 1yxx A B C5ABBC 的方程为 l 15 如图所示 正方体的棱长为 1 分别是棱 的中点 ABCDA B C D E F AA CC 过直线的平面分别与棱 交于 设 给出以下四个 EF BB DD M N BMx 0 1 x 命题 平面平面 MENF BDD B 当且仅当x 时 四边形MENF的面积最小 1 2 四边形周长 是单调函数 MENF Lf x 0 1 x 四棱锥的体积为常函数 CMENF Vh x 以上命题中真命题的序号为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 凸四边形 PABQ 中 其中 A B 为定点 AB P Q 为动点 满足3 AP PQ QB 1 1 写出的关系式 coscosAQ与 2 设的面积分别为 和 求的最大值 以及此时凸四边APBPQB 和 22 ST 形 PABQ 的面积 17 本小题满分 12 分 小明参加完高考后 某日路过一家电子游戏室 注意到一台电子 游戏机的规则是 你可在 1 2 3 4 5 6 点中选一个 押上赌注 a 元 掷 3 枚骰子 如果所押的点数出现 1 次 2 次 3 次 那么原来的赌注仍还给你 并且你还分别可以收到赌注的 1 倍 2 倍 M N F E C D B A CD AB 4 3 倍的奖励 如果所押的点数不出现 那么赌注就被庄家没收 1 求掷 3 枚骰子 至少出现 1 枚为 1 点的概率 2 如果小明准备尝试一次 请你计算一下他获利的期望值 并给小明一个正确的建 议 18 本小题满分 12 分 如图 几何体中 四边形为菱形 111 ABCDBC D ABCD 面 面 都垂直于面 60BAD ABa 111 BC DABCD 1 BB 1 CC 1 DDABCD 且 为的中点 为的中点 1 2BBa E 1 CCFAB 1 求几何体的体积 111 ABCDBC D 2 求证 为等腰直角三角形 1 DB E 3 求二面角的大小 1 BDEF 19 本小题满分 13 分 设数列的前 n 项和为 Sn 且 n a 1 S22 n nn anN 1 求数列的通项公式 n a 2 令 记数列的前 n 项和为 Tn 求证 Tn 1 1 n n n an b na 1 n b 4 3 Nn 20 本小题满分 13 分 点 P 是椭圆外的任意一点 过点 P 的直线 PA PB 分别 22 1 43 xy 与椭圆相切于 A B 两点 1 若点 P 的坐标为 1 2 求直线 AB 的方程 2 设椭圆的左焦点为 F 请问 当点 P 运动时 是否总是相等 若是 PFAPFB 与 请给出证明 21 本小题满分 13 分 设函数 其中 2 1 x f xxekx k R 1 当时 求函数的单调区间和极值 1k f x 2 当时 证明函数在 R 上有且只有一个零点 安徽省六校教育研究会 0 k f x 2013 年高二素质测试 数学 理科 参考答案及评分细则 一 选择题 DACDB BCCCD A B C D E F 1 B 1 C 1 D 5 二 填空题 11 15 12 13 4 2 1 2 2 14 15 21yx 三 解答题 16 1 由余弦定理 在 PAB 中 222 2cosPBPAABPAABA 在 PQB 中 42 3cos A 222 2cosPBPQQBPQ QBQ 22cosQ 所以 即 42 3cos A 22cosQ cos3cos1 QA 4 分 2 13sin11 sin sinsin 2222 A SPAABATPQ QBQQ 222222 3131 sinsin 1cos 1cos 4444 STAQAQ 所以 2 2 3cos33337 cos cos 224268 A AA 当时 此时 3 cos 6 A 22 7 8 ST 有最大值 PABQ 11 3 4 S 12 分 17 1 4 分 55591 P 1 666216 2 2 2 3 3 1575 66216 1515 2 3 66216 11 3 6216 5125 6216 aaaa a Pa Pa Pa 设小明获利元 则的可能取值为 2 3 P 3 所以 12 7515112517 23 216216216216216 Eaaaaa 分 18 1 3 分 1 11 223 3135 6 22 23412 ABCD B C D Vaaaaa 2 连接 交于 因为四边形为菱形 所以BDACOABCD60BAD BDa 6 因为 都垂直于面 又面 面 1 BB 1 CCABCD 11 BBCC 111 BC DABCD 所以四边形为平行四边形 则因为 都垂直于面 11 BCC B 11 BCBCa 1 BB 1 CC 1 DD 则ABCD 2222 11 23DBDBBBaaa 2 222 6 22 aa DEDCCEa 2 222 1111 6 22 aa B EBCC Ea 所以 22 2222 11 66 3 4 aa DEB EaDB 所以为等腰直角三角形 7 分 1 DB E 3 取的中点 因为分别为的中点 所以 1 DBH O H 1 DB DBOH 1 BB 以分别为轴建立坐标系 则 OA OB OH x y z 1 323 0 0 0 0 2 0 222244 aaa DEaa Ba Fa 所以 1 3233 0 22244 a EBaa DFaa 11 11 111 CCABCDCCDF FABDFDCDFD DCCDFDE DE DFDEDF 平面 为的中点 平面 由 EB知二面角B D E F的大小为 EB 因为 22 11 33 0 2 88 cos 45 263 22 aa EB DFBDEF aa 所以二面角的大小为 12 分 19 1 由得 1 1 11 S22a 1 4 a A B C D E F 1 B 1 C 1 D O H x y z 7 由 1 111 1 1 1 1 1 S22 S22 2 222 22 1 1 222 2 2 1 1 1 2 22 nnn nnnnnnn nnnn nn nnn nn n n aanaaa aaa aa aa nnannN 相减得即 是以为公差的等差数列 6 分 2 12 11 1 11 1 1211211 1 1111 2 2 111111 22 2 2 2 2 2 2222 11111 11111 2 22 24 3 n nn n n nnn nn nnn nn nn nn n bT bbb bbn bb nTT bbbbbbbb T b 当时 当 n 1 时 T1 1 124 33b 综上 Tn 4 3 13 分 20 1 设点 A 的坐标为 x1 y1 则过点 A 的切线方程为 11 1 43 x xy y 1122 22 1 1 4343 xyxy P 点在切线上 同理 5 分 2 1 43 xy AB 故直线方程为 2 当点 P 运动时 总是相等的 PFAPFB 与 F 1 0 设点 P 的坐标为 m n 则由 1 知 11 m 1 43 xny 1 1 3 1 4 mx ny 1 11 1 111 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 3 1 4 4 4 4 AFx FA FPxymn mx mxnymx mx 8 13 分 1 1 1 4 4 4 4 cos 1 2 2 2 4 cos coscos 2 mx m PFA FP xFP m PFBPFAPFB FP PFAPFB 同理 所以 所以 21 1 当时 1k 2 1 x f xxex 1222 xxxx fxexexxexx e 令 得 0fx 1 0 x 2 ln2x 当变化时 的变化如下表 x fxf x x 0 0 0 ln2ln2 ln2 fx 0 0 f xA极大值A极小值A 右表可知 函数的递减区间为 递增区间为 极大值为 f x 0 ln2 0 ln2 1 极小值为 6 分 2 ln2 2ln22 2 1222 xxxx fxexekxxekxx ek 当 x 1 时 f x 0 所以 f x 在上无零点 故只需证明函数在有且 1 f x 1 上 只有一个零点 若 则0 2 e k 1 1 0