临界转速的计算

一 临界转速分析的目的 临界转速分析的主要目的在于确定转子支撑系统的临界转速 并按照经验或有关的技 术规定 将这些临界转速调整 使其适当的远离机械的工作转速 以得到可靠的设计 例如设计地面旋转机械时 如果工作转速低于其一阶临界转速 Nc1 应使 N 0 75Nc1 如果工作转速高于一阶临界转速 应使 1 4Nck NB2 时为正涡动 B1 B2 时为反涡动 由以上讨论可知 圆盘或转轴的中心的进动或涡动属于自然振动 他的频率就是圆盘 没有转动时 转轴弯曲振动的自然频率 1 2 圆盘的偏心质量引起的振动 临界转速 m w wt 观 察 方 向 X Y 假设转盘的质量为 m 偏心距为 角速度为 w 设离心力的初始相位 为 0 则在某一时刻 t 离心力矢量和 x 轴的夹角为 wt 此时离心力在 X 和 Y 向 的投影为 tm tm sinF cosF 2 y 2 x Fx 和 Fy 分别是各自方向上的周期性变化的力 频率和转盘的频率相同 在这 种交变力的作用下 转子在 X 和 Y 方向也将做周期性运动 假设两个方向上 阻尼和刚度相同 则转子的运动微分方程 wtFkycymy Fconwtkxcxmx sin 其解为 寇胜利 2 2 2 2 1 2 arctan 2 1 F Z sin cos n n n n ww ww ww w w wtZty wtZtx 钟一谔 结论 1 只考虑强迫振动时 轴心的响应频率和偏心质量的激振频率相同 在转速小于临界转 速时且不考虑阻尼时 相位也相同 轴心和质心在一条直线上 当转速大于临界转速 时且不考虑阻尼时 相位相差 180 2 当考虑转子的涡动时 运动比较复杂 3 不平衡矢量所在的位置成为重点 振动矢量所在的位置成为高点 高点比重点滞后的 角度成为滞后角 当令阻尼比为 0 时 为 0 说明滞后角是由阻尼引起的 4 转子存在偏心 运行的过程中又出现动挠度 当转速小于临界转速时 挠度和 F 即偏 心方向相同 使终偏心增大 当转速等于临界转速时 出现共振 当转速大于临界转 速时 挠度方向和偏心方向相反 使终偏心减小 转子振动趋于平稳 这种现象成为 自动对心 1 3 等截面转子的振动 并不是所有的转子系统都可以简化为具有刚性支撑的单轮盘转子系统模型 对于均质 等截面转子 如果按照集中质量处理 将不能反映真实振动特性 均质 等截面转子系统 的运动规律可以用一个偏微分方程表示 该偏微分方程含有时间和轴向位置两个自变量 因此可以确定任意轴线位置在任意时刻的位置 利用均质 等截面转子模型研究得出的结 论对一般转子也是适用的 X 轴 Y 轴 Z轴 运动方程 如图上图所示的两端简支的等截面转子 设其密度为 P 截面面积为 A 弯曲刚度为 EI 分布干扰力在 xoz 和 yoz 平面分别为 Fx z t Fy z t 则转子的振动可以用 以下一组微分方程组成 令分布干扰力为 0 即可得到转子的自由振动微分方程 0 x A 4 4 2 2 z tzx EI t tz 其解为 相位阶自由振动的振型和初分别为和为振型函数 其中 固有频率 nDnsin w sinD x n 2 22 1 n l zn A EI l n twcon l zn tz n nn n 由上式可知转子的自由振动是一系列简谐振动的合成 这些简谐振动有以下特点 固有频率和振型函数是一一对应的 tzf z tzy EI t tz tzf z tzx EI t tz y x y A x A 4 4 2 2 4 4 2 2 振型函数反映了转子轴线上各点位移的相对比例关系 无论振幅 Dn 如何 l zn sin 变化 这种比例关系不会变化 振型是由转子 支撑系统自身的特点决定的 所以又称为固有振型 不同类型的转 子系统的振型函数不同 上述的是均质等截面转子的振型函数 有关振型的基本概念 a 节点 轴线上某一点的振型函数值称为该点的振型值 振型值为 0 的点成为 节点 阶数越高节点越多 N 阶振型的节点数为 N 1 b 对称性 对于两端简支的等截面转子 奇数阶振型是对称的 而偶数阶振型 是反对称的 因此 在两支座间 奇数阶振型相位相同而偶数阶振型相位相 反 c 正交性 转子的不同阶振型间具有正交性 即第 m 阶振型和第 n 阶振型的乘 积在轴长上的积分为 0 d 理论上 转子的 1 2 3 阶固有频率的比值是 1 4 9 实际 1 2 阶固有频 率间的比值为 1 3 左右 e 理论上 转子 支撑系统经过临界点时 相位变化 180 实际上由于阻尼的 存在 在临界转速处相位一般变化 90 即振动矢量和不平衡矢量间的滞后 角为 90 f 如下图所示 由于阻尼的存在 转子中心对不平衡质量的响应在 w Wn 处不 仅不是无限大值 而且不是最大值 最大值发生在 w 略微大于 Wn 时 对于 实际的转子系统 有时通过在升速或降速的过程中测量响应的办法来确定转 子的临界转速 常常把这个过程中的最大值即峰值的转速作为临界转速 有 图可知 通过测量所获得的临界转速在升速上略大于实际的临界转速 而在 降速时这略小于实际的临界转速 1 3 陀螺力矩 基本概念 1 对质点的动量距 质点 Q 的动量对于点 O 的距定义为质点对于点 O 的动 量距 其值为点 O 到质点 Q 的矢量差乘以动量 Mo mv Rxmv 方向 按照右手定则判定 2 对轴的动量距 质点 Q 的动量在 xoy 面内的投影 mv xy 对与 O 点的距定 义为质点 Q 对 Z 轴的动量距 3 刚体对轴的转动惯量 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量 它等 于刚体内各质点的质量与该质点到轴的垂直距离平方的乘机的和 4 赖柴定理 质点系对固定点的动量距矢量断点的速度等于外力系对同一 点的主距 U M F1 F2 f1 f2 当圆盘不在两支撑的中点而偏于一边时 转轴变形后 圆盘的轴线和两指点的连线 AB 有一夹角 设圆盘的自转角速度为 极转动惯量为 Jp 则圆盘对质心的动量距为 H Jpw 根据右手定则 它与 AB 连线的夹角也为 设转轴涡动的频率为 Wn 则圆盘 中心 o 与轴线 AB 所构成的平面绕 AB 轴有进动角速度 由于进动 圆盘的动量距 H 将不 断变化 因此动量距矢量的终点将具有速度 U 根据赖柴定理 质点系对固定点的动量距 矢量断点的速度等于外力系对同一点的主距 而圆盘重力距等于 0 显然和动量距矢量终 点的速度相等的外力距只可能是轴承的动反力 F1 F2 产生的力矩 力矩 M 根据作用和反作用 称为陀螺力矩 它是圆盘施加与转轴的力矩 相当于弹 性力矩 在正进动 0 2 时 它是转轴的变形减小 从而提高了转轴的弹性刚度 即提高了转子的临界转速 在反进动 2 时 它是转轴的变形增大 从而降低 了转轴的弹性刚度 即降低了转子的临界转速 当机械中的高速转动部件的对称轴被迫在空间中改变方位时 即对称轴被迫进动时 转动部件必须对约束作用一个附加力偶 这种现象称为陀螺效应 当陀螺效应严重时 可 能使机械产生故障 尤其是轴承 1 4 弹性支撑对转子临界转速的影响 Jeffcott 转子 这种转子模型是对真实转子的简化 刚性支承的单盘转子 单 盘位于支承的中间 分析临界转速和陀螺力矩等 是转子动力学的基础 假设盘在平面内运动 不考虑轮盘的偏转 轴是无重轴 临界转速计算 200000000000 0 000000000982 1 基本参数 截面惯性矩 J 4 91E 10 弹性模量 E 2E11 右端质量 m3 0 096g 0 1kg 两个盘的质量 m1 m2 0 8kg 5 73E 2 rI 2 2 2 11p rm 4 Id Ip 2 2 86E 4 2 各轴段的传递矩阵 第一段 l 0 045m J 9 82E 10 a11 1 55E 7 a12 a21 5 16E 6 a22 2 29E 4 1000 045 0 100 1016 5 1029 2 10 1073 7 10 x16 5 045 0 1 64 86 xx x 第二段 l 0 11m J 9 82E 10 a11 2 26E 6 a12 a21 3 08E 5 a22 5 6E 4 1000 11 0 100 1008 3 106 510 10128 1 10 x08 3 11 0 1 54 65 xx x 第三段 l 0 15m J 9 82E 10 a11 5 73E 6 a12 a21 5 73E 5 a22 7 64E 4 1000 15 0 100 1073 5 1064 7 10 10865 2 10 x73 5 15 0 1 54 65 xx x 第四段 l 0 11m J 9 82E 10 a11 2 26E 6 a12 a21 3 08E 5 a22 5 6E 4 1000 11 0 100 1008 3 106 510 10128 1 10 x08 3 11 0 1 54 65 xx x 第五段 l 0 01 J 9 82E 10 a11 1 70E 9 a12 a21 2 55E 7 a22 5 09E 5 1000 01 0 100 1054 2 1009 5 10 105 810 x55 2 01 0 1 75 107 xx x 初始参数列阵为 令 X01 1 选取 P 2050r s 用第一段的矩阵乘此矩阵 即 0 0 X 01 01 可得此段的终端参数 0 0 22 22 0045 0 1X 1 1 011 011k k k k Q M 第二段的始端参数列阵为 用第二段的传递矩阵乘此列阵 得终端参 A Q M R 0 22 22 0X 02 02 02 02 数 Ak Ak Ak A RQ RM Rx Rx 2 2 5 2 6 2k 11 0 1008 3 22 22 10128 1 4442 2 X 通过转盘的传递矩阵 用此矩阵乘以第二段的终端矩阵得第三段的起始参数 10010362 3 01102 10 0010 0001 6 3 x x A A A A RxQ RM Rx Rx 79 4 1022 8 147 0 10 x67 2 1008 3 22 22 10128 1 4442 2 X 6 03 4 03 5 03 6 03 第三段的终端参数 Ak Ak Ak Ak RxQ RxM Rx R 79 4 1022 8 8655 0 1026 1 1018 4 62 513 10 x789 2 854 30 X 6 3 6 3 4 3 5 3 通过转盘的传递矩阵 用此矩阵乘以第三段的终端矩阵得第四段的起始参数 10010362 3 01102 10 0010 0001 6 3 x x A A A A RQ RM Rx R 556 9810 x12 1 367 1 10 x876 1 1018 4 62 513 10 x789 2 854 30 X 8 04 6 04 4 04 5 04 第四段的终端参数 该段末端为刚性支撑 估位移 Ak Ak Ak Ak RQ RxM Rx R 21 1210 x12 1 72 7 104196 1 10219 4 78 5013 2 27x10 19 472 X 8 4 7 4 3 4 4 4 为零 从而可得 RA 9 668E5 第五段的起始矩阵为 B RxQ M 7 05 6 05 05 05 1027 8 x1044 6 200 0X 第五段的终端矩阵 点质量的传递矩阵为 Bk Bk