抛物线的简单几何性质58983PPT课件.ppt

抛物线的简单几何性质 1 定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 抛物线的定义及标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 一 温故知新 2 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 二 探索新知 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 3 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 4 定义 抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 只有一个 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 5 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 6 二 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 7 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 8 y2 2px l A B 过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径 长度为2p P越大 开口越阔 补充 1 通径 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 9 补充 1 通径 PF x0 p 2 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 10 总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 抛物线的通径为2P 2p越大 抛物线的张口越大 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 5 通径 11 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 三 典例精析 坐标轴 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 12 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 4 13 例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 14 15 16 抛物线的焦点弦的特征 1 已知AB是抛物线y2 2px的任意一条焦点弦 且A x1 y1 B x2 y2 1 求证 y1y2 P2 x1x2 p2 4 2 设 为直线AB的倾斜角 求证 当 90o时 取得 AB 的最小值2p 3 若弦AB过焦点 求证 以AB为直径的圆与准线相切 17 四 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的