52[1].平面几何综合复习(五)

平面几何综合复习平面几何综合复习 五五 例题精选例题精选 例例 1 96 年中考题 7 分 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 D 是 BC 中点 DE AB 垂足 为 E tgB AE 7 1 2 求 DE 的长 分析 分析 将题目中的 tgB 在 Rt BDE 中 利用设未知数的方法 由勾股定 1 2 理解关于 x 的方程 即可求出 解法一 解法一 tgB 1 2 在 Rt BED 中和 ABC 中 DE BE AC BC 1 2 设 DE x BE 2x BDx 5 又 BD DC ACx5 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 ABACBC 222 即 7252 5 222 xxx 347 7 3 1 7 3 2 12 xxxx DE 舍去 解法二 解法二 同解法一得 BE 2x BDx ACx 55 在 ABC 和 DBE 中 BCA BED B B ABC DBE AB DB AC DE x x x x x 72 5 5 0 725 7 3 xxx 经检验 是原方程的根x 7 3 DE 7 3 例例 2 96 年中考试题 8 分 已知 如图 DB 为 O 的直径 A 为 B 延长线 上一点 AC 与 O 相切于点 E CB AB 如果 AE EC 2 1 DE BE 42 2 求 ABC 的面积 分析 分析 将题目中的 AE EC 2 1 设未知数 CE x AE 2x 再由勾股定理和相似三角形的有关概念 即可求出 解 解 设 CE x AE EC 2 1 AE 2x DB 是 O 直径 且 CB DB CB 切 O 于 B CB CE x 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 ACBCAB 222 ABxxx AEDABEAA 92 2 22 AEB ADE AD AE AE AB DE EB AD x x x DE EB ADx DE EB DEBE 2 2 2 2 2 2 2 42 2 DEBE2 24 在 Rt BDE 中 由勾股定理得 BD 2 6 ABADx x ABBC S ABC 22 6 2 3 4 62 3 1 2 4 62 312 2 例例 3 已知 一元二次方程中的 m n 分别为一个等腰三角形的xmx n 2 2 2 4 0 腰和底边的长 1 求证 关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根 2 如果为方程的两根 且等腰三角形的面积为 12 求这xx 12 xx 12 8 个等腰三角形内切圆的面积 证明 证明 1 422 22 mnmnmn 其中 m n 分别是等腰三角形的腰和底边的长 2m n 0 220mnmn 即 0 方程有两个不相等的实数根 解 解 2 xxm xx n xx xxxxx xmn 12 12 2 12 1212 2 12 22 2 4 8 4481 等腰三角形的高 hmn 22 1 4 又 S 12 2 nmn448 22 解 1 2 方程组得 m 5 n 6 负值舍 设内切圆的半径为 r 而S r mn r 2 2 2 1612 rr 3 2 9 4 2 这个等腰三角形的内切圆的面积为 9 4 例例 4 已知 已知 O1 O2交于 A B 两点 DT 切 O2于 T 交 O1于 D M 且 M 为 DT 的中点 BA 的延长线交 DT 于 C 求证 CT 2CM 分析 分析 方程思想在证明题中也可应用 若设 CT 为 x CM 为 a 再通过 CT 2 CA CB 找到与 CM 之间的关系 证明 证明 设 CT 为 x CM 为 a CT 是 O2的切线 O1的割线 CTCACBCMCDCACB CTCMCDMDT CMCMCTCDCMDMCMCMCTCMCT 2 2 2 是的中点 CTCMCMCT 2 2 即 不合题意舍去 xaaxxaxa xaxa CTCM 222 220 2 2 例例 5 已知 ABC C 90 tg CBD 1 6 sin AAD 12 13 3 求 AB 分析 分析 要求的 AB 边恰是直角三角形 ABC 的斜边 则很容易联想到勾股定理 这样结合题目中的数量条件 很快可利用方程思想 通过ABACBC 222 Rt BCD 找到 AC BC 使问题得解决 解 解 在 DBC 中 C 90 又tg CBD CD BC 1 6 设 CD x 则 BC 6x 在 Rt ABC 中 sin A BC AB 12 13 ABxABACBC 13 2 222 又 即 整理得 13 2 36 222 xxx 78120 2 xx 解得 x 2 舍 x 6 7 ABx 13 2 13 例例 6 已知 如图 BD 为直圆 O 的半径 M 为 的 中点 点 A 在 上运动 使 AB AC 点 C 在 BD 的延长线上 如果 BD 8 设 AB x BC y 1 求 y 与 x 的函数关系式和自变量 x 的取值范围 2 CA 能和 O 相切吗 如能相切 写出当 CA 为 O 的切线时的 x 值和与它 相应的 y 值 如不能相切 请说明理由 分析 分析 建立 y 与 x 的函数关系问题 离不开数形结合 要通过对图形的观察 充分利用题目的条件架起 y 与 x 的联系的桥梁 由图中不难发现 OAB ABC 对于自变量 x 的取值范围也要通过图形的有关条件加以求解 第 2 问 原于开放型问题 无论你做肯定或否定的回答 都要充分证明或论证 解 解 1 连结 OA 则 OA OB B OAB 又 AB AC B C OAB C 而 B B OAB ABC AB BC OA AB 将 DB 8 AB x DC y OBBD 1 2 4 代入上式 得 x yx8 4 yx 1 4 8 2 M 是的中点 点 A 在上运动 连 BM 则 BM AB 4 AB 2 据题意 可分两种情况 第一种 如图 当 tg BAE时 设 CE x BE m 1 2 则 AB DC 2m AD m x AD AB 6 26mmx m x 6 3 梯形 SADECDC mxxm m mx xx xx AECD 1 2 1 2 2 2 6 3 65 3 5 9 8 3 4 2 即 Sxx 5 9 8 3 4 2 其中 3 x 6 第二种情况 如图 当时 AD BC tg DAE 1 2 DAE AEB tg AEB 1 2 设 CE x AB CD n 则 BE 2n AD 2n x 矩形周长为 12 AB AD 6 n 2n x 6 n x 6 3 SADECDC nxxn nxn xx xxx AECD梯 其中 1 2 0 1 2 2 62 3 6 3 2 9 2 3 406 2 例例 15 已知抛物线与 x 轴交于两点 A B 与 y 轴交于ymxmx 2 3 4 3 4 C 点 若 ABC 是等腰三角形 求抛物线的解析式 分析 分析 通过已知条件 可求出抛物线与 y 轴交点 C 0 4 与 x 轴交点 A 3 0 和用 m 表示的 B 0 根据已知条件中的 ABC 是等腰三角形 则必须加以分类讨 4 3m 论 则分三种情况 AC BC AC AB AB BC 缺一不可 解 解 抛物线与 y 轴点 C 则 x 0 与 x 轴交 A B 两点 则ymxmx 2 3 4 3 4 y 0 当 x 0 时 yy 40 当时 mmxmx 03 4 3 40 2 时 xx m 12 3 4 3 抛物线与 y 轴交点为 C 0 4 与 x 轴交点为 A 3 0 B 4 3 0 m 当 ABC 为等腰三角形时 可分为以下三种情况 1 若 AC BC 时 据等腰三角形的三线合一 可知 OB OA 4 3 3 4 9m m 抛物线解析式为 yx 4 9 4 2 2 若 AC AB 时 OA 3 OC 4 AC 5 BA m mm myxx myxx 3 4 3 5 1 6 2 3 1 6 1 6 11 6 4 1 3 2 3 2 3 4 12 2 2 当时 当时 3 若 AB BC 时 3 4 3 4 4 3 8 7 22 mm m yxx 8 7 44 21 4 2 综上所述 抛物线解析式为 yxyxx yxxyxx 4 9 4 1 6 11 6 4 2 3 2 3 4 8 7 44 21 4 22 2 或 或或 例例 16 如图 Rt ABC 中 C 90 BC 9cm CA 12cm 动 点 P 从 C 点出发 以每秒 2cm 的速度沿 CA AB 向点 B 运动 1 问点 P 从 C 点出发几秒时 可使 SS BCPABC 1 3 2 求此时以线段 BP BC 的长度为两根的且二次项系数为 1 的一元二次方程 解 解 1 在 Rt ABC 中 C 90 BC 9cm CA 12 cm 由勾股定理可 得 AB 15 cm 当点 P 在 CA 上运动时 SBCCA SBCCP SS BCCPBCCA CPCA ABC BCP BCPABC 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 4 422 又 秒 cm 当点 P 在 AB 上运动时 设 C 点到 AB 的距离为 h SABhSBPh SS BPhABh BPAB ACAP ABCBCP BCPABC 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 5 1215522 22211 又 秒 cm cm 综上所述 点 P 从 C 点出发 2 秒或 11 秒时 可使 SS BCPABC 1 3 2 当点 P 从 C 点出发 2 秒时 BPBC 49979 22 所求一元二次方程为 xx 2 9979 970 当点 P 从 C 点出发 11 秒时 BP 5 BC 9 所求一元二次方程为 xx 2 14450 综合练习综合练习 1 如图 在直角坐标系 xoy 中 以 o 为圆心的圆交 x 轴 于点 C D 交 y 轴正半轴于点 A 弦 CM 交 OA 于点 B 若 tg C MB BC 20 2 3 求 1 C 点坐标 2 直线 CM 的解析表达式 3 ABM 的面积 2 关于 x 的方程 的两个实根的平方和不大于方程xmxmx 22 272 0 的两个实根的积 且一次函数的图象xxm 2 1127 ymxm 31 与 y 轴的交点在 x 轴上方 试求满足上述条件的 m 的整数值 3 如图 直角梯形 ABCD AB CD AD AB 以 BC 为直径 的 O 与 AD 切于点 E 交 AB 于 F 已知 CD a AB c AD b 连结 BE CE 1 求证 关于 x 的方程有两个相等实根 axbxc 2 0 2 有一小圆 O 与 O 外切 且与 AD AB 相切 若 DC 4 AB 16 求此小圆的半径 4 在平面直角坐标系 xoy 中 点 P 的横坐标是 2 半径的 P 与 x 轴 y2 2 轴的正半轴分别交于 A B 两点 且截得的两弦长度相等 点 C 为 x 轴负半轴 上一动点 连结 CB 设 OCB 为 a 1 求 a 在什么范围内 CB 的延长线与 P 有另一个交点 E 2 如果设 AE x 点 E 到 x 轴的距离与点 E 和原点的距离之比为 y 求 y 关于 x 的函数解析式 并指出自变量 x 的取值范围 5 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC 2 D 点在 AB 上运动 CDE 45 DE 与 CB 交于点 E 若 DB x CE y 1 证明 ACD BDE 2 求 y 与 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 3 若 AD DB 1 2 求 CDE 的面积 6 已知二次函数的图象与 x 轴交于 A B 两点 yxmxm 43861 22 点 A 在点 B 的左侧 且点 A 点 B 到原点的距离的比为 3 2 1 求 m 的值 2 若 P 点在 y 轴上 P 点异于 O 点 设 PAB PAB 问 和 能否相等 如果能相等 请说明理由 如果不相等 请证明 并比较 与 的大小 7 已知 如图在 ABC 中 若边长 AC BC 是关于 x 的方程 的两个根 且 5BC xABxAB 2 4480 3AB CD AB 于 D 以 CD 为直径作圆 分别交 AC BC 于 E F 1 判断 ABC 的形状 并求 ABC 三边的长 2 求 sin DCB 的值 3 求 AE 的长 8 已知 如图 ABC 内接于以 AD 为直径的半圆 O PE 与半圆 O 相切 切点为 C AD 的延长线与 PE 相交于点 P BCE CAD 若 求四边形 PABC 的面积 和 ABC 的另外两边长 ABP 3 5 3 4 tg 9 98 年中考题 已知二次函数 x 为自变量 的yxmxm 22 244 图象与 y 轴的交点在原点的下方 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 且 A B 两点到原点的距离 AO OB 满足 直线32 OBAOAOOB 与这个二次函数图象的一个交点为 P 且锐角 POB 的正切值为 4 ykxk 1 求这个二次函数的解析式 2 确定直线 的解析式 ykxk 10 已知 如图 抛物线 与 x 轴交于 A Byxaxb 2 两点 与 y 轴交于点 C 若 ACB 90 CAO CBO 且 tg tg 2 1 求此抛物线的解析式 2 平行于 x 轴的直线交抛物线于 MN 两点 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相切 求此圆的半径 答案或提示答案或提示 1 1 解 利用相交弦定理 ABBEMBBC 20 求得 OC 6 点 C 的坐标为 6 0 2 直线 CM 过 B 点 B 点坐标 0 4 设直线 CM 的解析式为 y kx 4 点 C 6 0 k 2 3 yx 2 3 4 3 提示 利用勾股定理求得 BC 2 13 利用 BM BC 20 求出MB 10 3 13 再过 M 点作 MN CD OB MN BC BM OC ON ON SABON ABM 求 30 13 1 2 30 13 2 答案 m 2 3 提示 1 连接 OE CF 可得 OE 是梯形 ABCD 的中位线 OECDAB 1 2 易得直径 BC 20E a c CF b 利用直径的性质 在 Rt 1 2 ac BCF 中 BFCFBC cacab bac 222 222 2 40 得到 2 连接 OO 由 1 可求bacb 2 41616 再由两圆外切构造直角三角形 81010 222 rrr 整理 得 rr 2 56640 依题意舍去 r2812 5r 2812 5 小圆半径为2812 5 4 1 0 a 45 2 yxx 2 8 44 2 5 1 提示 A B 45 CDB CDE EDB CDB A ACD 且 CDE 45 A ACD BDE ACD BDE 2 由 1 中 BDE ACD 易得 BD AC BE AD xy x 2 2 2 2 yxxx 1 2 2202 2 2 其中 3 S CDE 20 27 6 1 m 2 2 由 m 2 yxxAB 426 3 2 01 0 2 则 点 P 在 y 轴上 设 P 0 n PAB PBA tgtg OP AO nOP OB n 3 2 1 为锐角 tgtg 2B 0 01D 0 4 5 3 4 的算术平方根是 A 2B 2C 2D 2 4 199900 用科学记数法表示为 A 1 999 104B 1 999 105C 1 999 106D 1999 102 5 下列各组数据 不能构成三角形的是 A 2cm 2cm 3cmB 3cm 4cm 5cm C 2cm 3cm 5cmD 6cm 6cm 6cm 6 多项式的次数是 1 2 25 222 a baba b A 2B 4C 5D 7 7 点 P 1 6 关于 x 轴对称点的坐标是 A 1 6 B 1 6 C 1 6 D 1 6 8 如果一个多边形的内角和等于外角和 那么这个多边形是 A 三角形B 四边形C 六边形D 八边形 9 下列图形中 既是轴对称图形也是中心对称图形的是 A 等边三角形 B 等腰梯形C 平行四边形 D 圆 10 函数中 自变量 x 的取值范围 y x 1 21 A B C D x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 11 下列各式中 是最简二次根式的是 A B C D 3 a8a 1 a 2 2 a 12 如果两个圆只有一条公切线 那么这两个圆的位置关系 A 外离B 外切C 相交D 内切 13 如果正方形的边长为 2 那么连结各边中点所得的四边形的面积是 A 4B 2C D 12 14 如果 45 90 那么 sin cos A 大于零B 小于零C 等于零D 不能确定 15 不等式组的解集是 230 30 x x A B C D x 3 2 x 3x 3 3 2 3x 16 如果半径为 1 且弧长为 那么这条弧所对的圆心角的度数为 2 A 180 B 135 C 90 D 60 17 正六边形的边心距为 它的外接圆的半径为 3 A B 2C 1D 3 1 2 18 一圆柱的母线长为 10cm 侧面积为 60 cm2 这个圆柱的底面直径是 A 3cmB 6cmC 9cmD 12cm 19 如图函数在同一坐标系中的图象大致为 ykxy k x k 20与 A B C D 20 如果 a b 是方程的两个实根 那么xmx 2 120 的值为 amabmb 22 22 A 6B 2C 4D 0 二 二 本题共 10 分 每小题 5 分 1 计算 m m m m 1 1 4 1 2 2 如图 在 ABC 中 DE BC S ADE S四边形 ECDE 1 2 BC 求 DE 的长 2 6 三 三 本题 10 分 每小题 5 分 1 用换元法解方程 x x x x 9 4 9 4 2 某洗衣机厂接受