空间解析几何考题

空空 间间 解解 析析 几几 何何 试卷试卷 A A 班班级级 姓名 姓名 学号 学号 分数 分数 我已我已阅读阅读了有关的考了有关的考试规试规定和定和纪纪律要求 愿意在考律要求 愿意在考试试中遵守中遵守 考考场规则场规则 如有 如有违违反将愿反将愿 接受相接受相应应的的处处理 理 试卷共试卷共 5 页 请先查看试卷有无缺页 然后答题 页 请先查看试卷有无缺页 然后答题 一 选择题 每小题 3 分 共 10 分 1 平面的法式方程是 0 DCzByAx 1 r z q y p x 0 1coscoscos0coscoscos 222 ppzyx 中中 0 1coscoscos0coscoscos 222 ppzyx 中中 2 两向量 互相垂直的充要条件是 21 n n 以上都不对0 21 nn0 21 nn 21 nn 3 平面 与平面 互相垂直 0 11111 DzCyBxA 0 22222 DzCyBxA 的充要条件是 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 0 212121 CCBBAA 以上都不对 0 21212121 DDCCBBAA 4 与是异面直线 则必有 1 1 1 1 1 1 1 n zz m yy l xx l 2 2 2 2 2 2 2 n zz m yy l xx l 0 212121 nnmmll0 212121 nnmmll 0 212121 222 111 zzyyxx nml nml 0 212121 222 111 zzyyxx nml nml 5 若向量线性无关 则在该向量组中必有 每个向量都可以用其它向量表示 有某个向量可以用其它向量表示 题 号一二三四五六七八九十总 分 应得分 152545 得 分 每个向量都不能用其它向量表示 有某个向量不能用其它向量表示 二 判断正误 各 2 分 并用举例 证明 给出正确答案 不必写出推算过程 或表叙 有 关定理等方法 说明你的判断依据 各 3 分 共 25 分 1 若 且 则有caba 0 acb 答 是 否 将不对的划去 下同 理由 2 若 则有 baba ab 答 是 否 理由 3 方程在球坐标系和柱坐标系下表示的是同一个曲面 1 r 答 是 否 理由 4 方程 是一个锥面方程 042 332 yxzyxyxzzyxF 答 是 否 理由 5 存在某个过 x 轴的平面 它与椭球面 交线是一个圆 1 94 2 22 z yx 答 是 否 理由 三 计算 第四题 10 分 其它每题各 7 分 共 45 分 1 设平面在三个坐标轴的截距的比依次为 并且该平面到原点的距离为 3 1 2 2 求此平面的方程 2 求直线 在平面 的投影柱面 02 012 zyx zyx 034 zyx 3 求由两平面 2 x y z 7 x y 2 z 11 所成的两面角的角平分面方程 4 判断直线的相互位置 如果它们相交或平行 求出它们所在的平面 如果是异面直线 求出它们之间的距离和公垂线方程 各 5 分 与 0 1 12 3 zyx 10 2 1 1zyx 与 0623 022 yx zyx 0142 0112 zx zyx 5 设柱面的准线为 母线垂直于准线所在的平面 求这个柱面的方程 zx zyx 2 22 6 求出直线 围绕 z 轴旋转一周所形成的曲面的方程 并用平行截痕法 1 1 11 2 zyx 画 出该曲面的图像 四 证明题 每题 5 分 共 10 分 1 三角形的三条高线相交于一点 2 方程 x y y z x 2 y z 表示一个柱面 并求出柱面母线的方向向量 五 作出曲面 及三坐标平面所围成的立体在第一卦象部分的立体 2 4xz 2 4xy 图形 答案 一 选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 B 2 D 3 B 4 B 5 C 二 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 1 2 3 4 1 5 k2 2 1sinhik 3 2 1 m s m 三 计算 每题 7 分 共 49 分 1 设 为解析函数 试确定 m l 的值 2323 3xylxiyxmyzf 解 2 分 2323 3xylxvyxmyu 由柯西 黎曼方程 得 xyyx vuvu 3 分 2222 333 26ylxxymyxlyx 故当 l 3 m 1 时 函数解析 2 分 2 iLn 1 解 分 其中实部 虚部各分 分 2 4 2 4 2ln 2 1 311ln1 ki iArgiiiLn 3 其中 c 为从 1 i 到 0 的曲线 y x 2 c z zdzecosRe 解 分 分 分 分 11cosh1sin1cos1cosRe 21sinh1cos1sin1cosh1sin1cos1 21sin12sincos 10 1 ezdze eie iezezdze c z i i z c z 4 1 cos z zd z z 解 1 2 3 cos2 cos 3cos 0 1 分分 分 可得由柯西积分公式 在复平面中解析 所以因为 izizd z z z z z 5 zd zz z z 2 sin1sin 1 解 被积函数的奇点有 和 除是 zz z sin1sin 1 kak 2 1 01 kkbk 1 0 b 可去奇点外 都是一级极点 1 分 因只有 和在曲线内 1 分 0 0 a1 0 b 2 z 故由留数定理 得 分 分 分 1 1sin 2 20 sin1sin 1 lim2 21 sin1sin 1 Re0 sin1sin 1 Re2 sin1sin 1 0 2 i zz z i zz z s zz z sizd zz z z z 6 给定调和函数 求调和函数 v 使得复函数成为一个解析函yxu 3ivuzf 数 且满足 1 if 解 分 故所求调和函数为 分 从而有时得知当 又由 分 为任意实常数 其中 分 分 得 又由 分 1 33 13 0 1 01 13 1 11 233 3 yxv cvyxif ccyxv cxxcxc uv xcydyvuv yx xy 7 将复函数展成 z 1 的幂级数 并写出级数的收敛域 zsin 解 已知 nn nn z n zzz z n zzzz 242 1253 2 1 1 4 1 2 1 1cos 12 1 1 5 1 3 1 sin 分 3 z 所以有 2 1 12 1 11 5 1 1 3 1 11cos 1 2 1 11 4 1 1 2 1 11sin 2 1sin1cos1cos1sin11sinsin 1253 242 分 分 nn nn z n zzz z n zz zzzz 四 积分变换 每题 5 分 共 15 分 1 已知 求 L t ettf 2 tf 解 2 2 1 3 1 2 分分 s etLtfL s tL t 2 已知 求 L 1 4 1 2 s s sF sF 解 2 2sin 2 1 2cos 3 4 2 2 1 4 2 1 2 11 分 分 tt s L s s LsFL 3 用拉普拉斯变换的微分性质证明 1 1 sin 2 s tL 解 1 1 sin 11sinsin 200 11000 sin cossin 2 2 2 s tL tLstL ffstfLstfL ffttfttfttf 从而得到 分得 分 由微分性质分 并且有满足 五 证明题 6 分 设幂级数在 z0 处条件收敛 证明 z0 是该级数收敛域边界上的 0n n nz a 点 证明 首先 因为幂级数在 z0 处收敛 由阿贝尔定理 对一切满足的 z 0n