《工程数学(本)》第1章行列式学习辅导

1 第第 1 章章 行列式行列式 学习要点 学习要点 行列式的递归定义 行列式的性质 克莱姆法则 本章重点 本章重点 行列式的计算 复习要求 复习要求 1 理解阶行列式的递归定义 掌握代数余子式的计算 n 阶行列式n nnnn n n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 表示一个由特定的运算关系所得到的数 当时 2 n 21122211 2221 1211 2 aaaa aa aa D 当时 2 n n ij ijijnnn AaAaAaAaD 1112121111 其中数为第 行第列的元素 为的代数余子式 为的余子 ij aij ij ji ij MA 1 ij a ij M ij a 式 它是由划去第 行和第列后余下元素构成的阶行列式 即 n Dij1 n nnnjnjn nijijii nijijii nijij ij aaaa aaaa aaaa aaaa M 111 1111111 1111111 11111 要注意 元素的余子式与代数余子式之间仅仅相差一个代数符号 ij a ij M ij A ji 1 2 掌握利用性质计算行列式的方法 任何一个行列式就是代表一个数值 因此行列式之间的运算就是数之间的运算 计算行列式的方法有 1 按某一行 列 展开 展开时必须要正确掌握代表余子式的概念和计算 2 根据行列式的性质 1 与性质 5 对行列式作简化 以使许多元素成为 0 而且 要尽量使 0 出现在同一行 列 中 3 利用性质 把所计算的行列式化为三角行列式 而三角行列式的值等于主对角线 元素的乘积 4 是范德蒙行列式则可直接套用结果 利用行列式可以表达未知数个数和方程式个数相等的线性方程组的解 在系数行列根 据行列式的性质 1 与性质 5 对行列式作简化 以使许多元素成为 0 而且要尽量使 0 出现在同一行 列 中 3 知道克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式 那么它有解0 D 2 D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 例题讲解 1 阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是 n n D ij a ij A ij M 解 由定义 应填 ij ji ij MA 1 2 设行列式 则中元素的代数余子式 211 201 231 DD ij a 23 A 解 由代数余子式的定义 应填 11 31 11 31 1 32 3 333231 232221 131211 333231 232221 131211 666 333 aaa aaa aaa aaa aaa aaa 解 因为 18 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 所以 应填 18 4 行列式 111 111 111 D 解 4 200 220 111 111 111 111 D 应填 4 5 行列式 0100 0020 0003 1234 D 666 3 666 333 666 333 333231 232221 131211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa 3 应填 6 300 020 001 1 4321 3000 0200 0010 14 D 6 行列式的元素的代数余子式的值为 701 215 683 21 a 21 A A 33 B 33 C 56 D 56 解 因为元素的代数余子式 所以结论 D 正确 21 a56 70 68 1 12 21 A 7 设 则的余子式 3133 2123 3331 2321 333231 232221 131211 aa aa N aa aa M aaa aaa aaa D 12 a A 是 M B 是 N C 是 M 和 N D 56 不是 M 和 N 解 因为的余子式为 所以 A 正确 12 a 3331 232121 1 aa aa 8 下列等式成立的是 其中为常数 dcba A B ac bd dc ba 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba C D dc ba dc ba 2 22 22 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba 解 因为 dc ba dc ba cd ab ab cd ac bd 由行列式性质 5 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba dc ba dc ba dc ba 24 22 22 1 1 1 1 1 1 c b d a cdab dc ba cbda 1 1 1 1 1 1 c b d a dc ba 所以 B 正确 9 行列式 的值等于 0004 0030 0200 1000 A 24 B 120 C 120 D 24 解 因为 4 0004 0030 0200 1000 02 10 3 4 003 020 100 4 1 14 24 2 12 所以 D 正确 10 设 则的根是 112 211 211 2 2 x xxf0 xf A 1 1 2 2 B 1 1 2 2 C 1 1 2 2 D 1 1 2 2 解 因为 1 4 31 40 310 400 211 112 211 211 22 2 2 2 2 2 2 xx x x x x x x 要使 则根为 所以 C 正确 0 xf2 2 1 1 11 已知行列式 写出其代数余子式 并求的值 7295 2164 4173 2152 43 A 43 A 解 分析 余子式是去掉行列式中第四行 第三列的所有元素 将剩下的元素按原来 43 M 的顺序排列成的三阶行列式 的值是计算出的值 43 A 43 A 43 34 1 M 因为 且 43 A 43 34 1 M 264 473 252 43 M 所以 264 473 252 1 34 43 A 264 473 252 1 34 43 A 012 0177 252 54 27 2 12 177 2 12 计算行列式 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 解 分析 可以直接计算其值 但运用性质可能更简便更不易出错 此行列式的特 点是每一行或每一列的元素之和相等 利用这个特点将行列式的第二 三列都加到第一列 相应的元素上 提取公因式 在降阶求值 5 解 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 11 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 12 2 1 4 1 2 2 1 00 0 2 1 0 2 1 11 2 2 1 2 1 0 0 2 1 0 2 1 11 2 13 计算行列式 2 9 1 2 1 2 3 1001 6131 1 3 1 3 2 3 1 解 分析 先提取公因式 去掉分母 再选择含零较多的行或列展开 2 9 1 2 1 2 3 1001 6131 1 3 1 3 2 3 1 9213 1001 6131 3121 2 1 3 1 1221 513 412 6 1 12213 0001 5131 4121 6 1 9213 1001 6131 3121 6 1 2 5 6 15 205 11 6 1 2005 101 412 6 1 14 计算行列式 aaaa aaa aaa 321 312 321 解 分析 利用性质 将第三行看成 分成两个行列式之和计aaaa 321 00 算 aaaa aaa aaa 321 312 321 aaaa aaa aaa 321 312 321 00 321 312 321 aaa aaa aaa a aaa aa