2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（广东卷解析版）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 广东卷 解析版 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 已知全集 集合和的关系的UR 212 Mxx 21 1 2 Nx xkk 韦恩 Venn 图如图 1 所示 则阴影部分所示的集合的元素共有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 无穷多个 解析 由得 则 有 2 个 选 B 212 Mxx 31 x 3 1 NM 2 设是复数 表示满足的最小正整数 则对虚数单位 z a z1 n z ni a i A 8 B 6 C 4 D 2 解析 则最小正整数为 4 选 C a i 1 n in 3 若函数是函数的反函数 其图像经过点 则 yf x 0 1 x yaaa 且 a a f x A B C D 2 log x 1 2 log x 1 2x 2 x 解析 代入 解得 所以 选 B xxf a log a a 2 1 a f x 1 2 log x 4 已知等比数列满足 且 则当时 n a0 1 2 n an 2 525 2 3 n n aan 1n 2123221 logloglog n aaa A B C D 21 nn 2 1 n 2 n 2 1 n 解析 由得 则 2 525 2 3 n n aan n n a 22 2 0 n a n n a2 选 C 3212 loglogaa 2 122 12 31lognna n 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 2 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 解析 选 D 6 一质点受到平面上的三个力 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 123 F F F 1 F 成角 且 的大小分别为 2 和 4 则的大小为 2 F 0 60 1 F 2 F 3 F A 6 B 2 C D 2 52 7 解析 所以 选 D 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF72 3 F 7 2010 年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其 余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 A 36 种 B 12 种 C 18 种 D 48 种 解析 分两类 若小张或小赵入选 则有选法 若小张 小赵都入选 则有24 3 3 1 2 1 2 ACC 选法 共有选法 36 种 选 A 12 2 3 2 2 AA 8 已知甲 乙两车由同一起点同时出发 并沿同一路线 假定为直线 行驶 甲车 乙车的 速度曲线分别为 如图 2 所示 那么对于图中给定的 下列判断中一定正确vv乙 甲和01 tt和 的是 A 在时刻 甲车在乙车前面 1 t B 时刻后 甲车在乙车后面 1 t C 在时刻 两车的位置相同 0 t D 时刻后 乙车在甲车前面 0 t 解析 由图像可知 曲线比在 0 0 与轴所围成图形面积大 则在 甲 v 乙 v 0 t 1 tx 0 t 3 时刻 甲车均在乙车前面 选 A 1 t 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 一 必做题 一 必做题 9 9 1212 题 题 9 随机抽取某产品件 测得其长度分别为 则图 3 所示n 12 n a aa 的程序框图输出的 表示的样本的数字特征是 s s 注 框图中的赋值符号 也可以写成 解析 平均数s n aaa n 21 10 若平面向量 满足 平行于轴 ab1 baba x 则 1 2 b a 解析 或 则或 0 1 ba 0 1 1 1 1 2 0 1 a 1 3 1 2 0 1 a 11 巳知椭圆的中心在坐标原点 长轴在轴上 离心率为 且上一点到的两Gx 3 2 GG 个焦点的距离之和为 12 则椭圆的方程为 G 解析 则所求椭圆方程为 2 3 e122 a6 a3 b1 936 22 yx 12 已知离散型随机变量的分布列如右表 若 则 X0EX 1DX a b 解析 由题知 12 11 cba0 6 1 ca 解得 1 12 1 211 222 ca 12 5 a 4 1 b 二 选做题 二 选做题 1313 1515 题 考生只能从中选做两题 题 考生只能从中选做两题 13 坐标系与参数方程选做题 若直线 为参数 与直线 2 21 1 kty tx lt 为参数 垂直 则 2 1 2 xs l ys sk 4 解析 得 1 2 2 k 1 k 14 不等式选讲选做题 不等式的实数解为 1 1 2 x x 解析 且 1 1 2 x x 2 3 02 2 1 02 21 22 x x xx x xx 2 x 15 几何证明选讲选做题 如图 4 点是圆上的点 且 A B CO 0 4 45ABACB 则圆的面积等于 O 解析 解法一 连结 则 OAOB 0 90 AOB4 ABOBOA 则 解法二 22 OA 8 22 2 圆 S 则 2224 45sin 4 2 0 RR 8 22 2 圆 S 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分1212分 已知向量与互相垂直 其中 2 sin a cos 1 b 0 2 1 求和的值 sin cos 2 若 求的值 10 sin 0 102 cos 解 1 与互相垂直 则 即 代入ab0cos2sin ba cos2sin 得 又 1cossin 22 5 5 cos 5 52 sin 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 则 2 0 2 0 22 10 103 sin1 cos 2 cos 2 2 sin sin cos cos cos 17 本小题满分12分 5 根据空气质量指数 API 为整数 的不同 可将空气质量分级如下表 对某城市一年 365 天 的空气质量进行监测 获得的 API 数据按照区间 50 0 进行分组 得到频率分布直方 100 50 150 100 200 150 250 200 300 250 图如图 5 1 求直方图中的值 x 2 计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数 3 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率 结果用分数表示 已知 7812557 12827 365 2 1825 3 1825 7 9125 123 9125 8 1825 3 573365 解 1 由图可知 150 x 365 2 1825 3 1825 7 50 9125 123 150 9125 8 1825 3 解得 18250 119 x 2 219 50 365 2 50 18250 119 365 3 该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 5 3 365 219 50 365 2 50 18250 119 5 2 5 3 1 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 78125 76653 5 3 5 2 5 3 5 2 1 166 7 077 7 CC 18 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体的棱长为 2 点是正方 1111 ABCDABC D E 形的中心 点 分别是棱的中点 设点 11 BCC BFG 111 C D AA 分别是点 在平面内的正投影 11 E GEG 11 DCC D 1 求以为顶点 以四边形在平面内的正投EFGAE 11 DCC D z y x E1G1 6 影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线平面 1 FG 1 FEE 3 求异面直线所成角的正弦值 11 E GEA与 解 1 依题作点 在平面内的正投影 则 分别为 EG 11 DCC D 1 E 1 G 1 E 1 G 1 CC 的中点 连结 则所求为四棱锥的体积 其底 1 DD 1 EE 1 EGED 1 DE 11FG DEE 面面积为 11FG DE 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS 221 2 1 22 2 1 又面 1 EE 11FG DE1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE 2 以为坐标原点 所在直线分别作轴 轴 轴 得 DDADC 1 DDxyz 1 2 0 1 E 又 则 1 0 0 1 G 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 即 01 1 0 1 FEFG01 1 0 11 FEFGFEFG 1 11 FEFG 又 平面 FFEFE 1 1 FG 1 FEE 3 则 设异面 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 直线所成角为 则 11 E GEA与 3 3 3 2 1sin 19 本小题满分 14 分 已知曲线与直线交于两点和 2 C yx 20l xy AA A xy BB B xy 且 记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域 含边界 AB xx CABLAB 为 设点是上的任一点 且点与点和点均不重合 D P s tLPAB 1 若点是线段的中点 试求线段的中点的轨迹方程 QABPQM 7 2 若曲线与有公共点 试求的最小值 222 51 240 25 G xaxyya Da 解 1 联立与得 则中点 设线段的 2 xy 2 xy2 1 BA xxAB 2 5 2 1 QPQ 中点坐标为 则 即 又点在曲线M yx 2 2 5 2 2 1 t y s x 2 5 2 2 1 2 ytxsP 上 C 化简可得 又点是上的任一点 且不与点和点 2 2 1 2 2 5 2 xy 8 11 2 xxyPLA 重合 则 即 中点的轨迹方程为 B2 2 1 21 x 4 5 4 1 xM 8 11 2 xxy 4 5 4 1 x 2 曲线 222 51 240 25 G xaxyya 即圆 其圆心坐标为 半径E 25 49 2 22 yax 2 aE 5 7 r 由图可知 当时 曲线20 a 与点有公共点 222 51 240 25 G xaxyya D 当时 要使曲线与点有0 a 222 51 240 25 G xaxyya D 公共点 只需圆心到直线的距离 得E 20l xy 5 7 2 2 22 aa d 则的最小值为 0 5 27 aa 5 27 20 本小题满分 14 分 已知二次函数的导函数的图像与直线平行 且在处取 yg x 2yx yg x 1x 得极小值 设 1 0 mm g x f x x 1 若曲线上的点到点的距离的最小值为 求的值 yf x P 0 2 Q2m 2 如何取值时 函数存在零点 并求出零点 k kR yf xkx 解 1 依题可设 则 1 1 2 mxaxg0 aaaxxaxg22 1 2 又的图像与直线平行 gx 2yx 22a 1a x y o xA xB D 8 mxxmxxg 21 1 22 2 g xm f xx xx 设 则 oo P x y 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 x m xxyxPQ mmmmm x m x2 2222222 2 2 0 2 2 0 当且仅当时 取得最小值 即取得最小值 2 0 2 2 0 2 x m x 2 PQ PQ2 当时 解得 0 m2 222 m12 m 当时 解得0 m2 222 m12 m 2 由 得 120 m yf xkxk x x 0 x 2 120k xxm 当时 方程有一解 函数有一零点 1k 2 m x yf xkx 2 m x 当时 方程有二解 1k 4410mk 若 0m 1 1k m 函数有两个零点 即 yf xkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 若 0m 1 1k m 函数有两个零点 即 yf xkx 1 2 1 442 k km x 1 1 11 k km x 当时 方程有一解 1k 4410mk 1 1k m 函数有一零点 yf xkx m k x 1 1 综上 当时 函数有一零点 1k yf xkx 2 m x 9 当 或 时 1 1k m 0m 1 1k m 0m 函数有两个零点 yf xkx 1 1 11 k km x 当时 函数有一零点 1 1k m yf xkx m k x 1 1 21 本小题满分 14 分 已知