导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第步 由不等式恒成立来求参数 2 的取值范围问题 分析难度大 但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果 洛必达法则简介 法则 1 若函数 f x 和 g x 满足下列条件 1 及 lim0 xa f x lim0 xa g x 2 在点 a 的去心邻域内 f x 与 g x 可导且 g x 0 3 lim xa fx l gx 那么 lim xa f x g x lim xa fx l gx 法则 2 若函数 f x 和 g x 满足下列条件 1 及 lim0 x f x lim0 x g x 2 f x 和 g x 在与上可导 且 g x 0 0A A A 3 lim x fx l gx 那么 lim x f x g x lim x fx l gx 法则 3 若函数 f x 和 g x 满足下列条件 1 及 lim xa f x lim xa g x 2 在点 a 的去心邻域内 f x 与 g x 可导且 g x 0 3 lim xa fx l gx 那么 lim xa f x g x lim xa fx l gx 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一 在解题中应注意 将上面公式中的 x a x 换成 x x 洛必达法则也成立 1 x a x a 洛必达法则可处理 型 2 0 0 0 1 0 0 0 在着手求极限以前 首先要检查是否满足 型定式 3 0 0 0 1 0 0 0 否则滥用洛必达法则会出错 当不满足三个前提条件时 就不能用洛必达法则 这时称洛必达 法则不适用 应从另外途径求极限 若条件符合 洛必达法则可连续多次使用 直到求出极限为止 4 二 高考题处理 1 2010 年全国新课标理 设函数 2 1 x f xexax 1 若 求的单调区间 0a f x 2 若当时 求的取值范围0 x 0f x a 原解 原解 1 时 0a 1 x f xex 1 x fxe 当时 当时 故在单调减少 0 x 0fx 0 x 0fx f x 0 在单调增加 0 II 1 2 x fxeax 由 I 知 当且仅当时等号成立 故1 x ex 0 x 2 1 2 fxxaxa x 从而当 即时 而 1 20a 1 2 a 0 0 fxx 0 0f 于是当时 0 x 0f x 由可得 从而当时 1 0 x ex x 1 0 x ex x 1 2 a 12 1 1 2 xxxxx fxea eeeea 故当时 而 于是当时 0 ln2 xa 0fx 0 0f 0 ln2 xa 0f x 综合得的取值范围为a 1 2 原解在处理第 原解在处理第 II 时较难想到 现利用洛必达法则处理如下 时较难想到 现利用洛必达法则处理如下 另解另解 II 当时 对任意实数 a 均在 0 x 0f x 0f x 当时 等价于0 x 0f x 2 1 x x a e x 令 x 0 则 令 2 1 x x g x e x 3 22 xx xx g x ee x 220 xx h xxxx ee 则 1 xx hxxe e 0 x hxxe 知在上为增函数 知在上为增函数 hx 0 00hxh h x 0 g x 在上为增函数 00h xh 0gx 0 由洛必达法则知 2 000 1 1 222 limlimlim xxx xxx x x eee x 故 1 2 a 综上 知 a 的取值范围为 1 2 2 2011 年全国新课标理 已知函数 曲线在点处的切线方程为 yf x 1 1 f230 xy 求 的值 ab 如果当 且时 求的取值范围 0 x 1x ln 1 xk f x xx k 原解 原解 22 1 ln 1 x x b x fx xx 由于直线的斜率为 且过点 故即230 xy 1 2 1 1 1 1 1 1 2 f f 解得 1 1 22 b a b 1a 1b 由 知 所以 ln1 f 1 x x xx 2 2 ln1 1 1 2ln 11 xkkx f xx xxxx 考虑函数 则 2lnh xx 2 1 1 kx x 0 x 2 2 1 1 2 kxx h x x i 设 由知 当时 h x 递减 而0k 22 2 1 1 k xx h x x 1x 0h x 故当时 可得 1 0h 0 1 x 0h x 2 1 0 1 h x x 当 x 1 时 h x 0 2 1 1 x 从而当 x 0 且 x1 时 f x 0 即 f x 1 ln x x x k 1 ln x x x k ii 设 0 k0 故 2 44 1 0k 1 1 1k k 1 1 h x 0 而 h 1 0 故当 x 1 时 h x 0 可得 k 1 1 h x 0 而 h 1 0 故当 x 2 12xx 2 1 1 20kxx h 1 时 h x 0 可得 h x 0 与题设矛盾 2 1 1 x 综合得 k 的取值范围为 0 原解在处理第 原解在处理第 II 时非常难想到 现利用洛必达法则处理如下 时非常难想到 现利用洛必达法则处理如下 另解 另解 II 由题设可得 当时 k 0 hx 0 1 1 hx 1 h 在上为增函数 h x 0 0 1h 当时 当 x 1 时 0 1 x 0h x 0h x 当时 当 x 1 时 0 1 x 0gx 0gx 在上为减函数 在上为增函数 g x 0 1 1 由洛必达法则知 2 111 ln1ln1 2121210 221 limlimlim xxx xxx g x xx 即k 的取值范围为 0 0k 规律总结 规律总结 对恒成立问题中的求参数取值范围 参数与变量分离较易理解 但有些题中的求 分离出来的函数式的最值有点麻烦 利用洛必达法则可以较好的处理它的最值 是一种值得借鉴 的方法 自编 若不等式 3 sin xxax 对于 0 2 x 恒成立 求a的取值范围 解解 应应用用洛洛必必达达法法则则和和导导数数 当 0 2 x 时 原不等式等价于 3 sinxx a x 记 3 sin xx f x x 则 4 3sincos2 xxxx fx x 记 3sincos2g xxxxx 则 2cossin2g xxxx 因为 cossincos tan gxxxxx xx sin0gxxx 所以 gx在 0 2 上单调递减 且 0gx 所以 g x在 0 2 上单调递减 且 0g x 因此 g x在 0 2 上单调递减 且 0g x 故 4 0 g x fx x 因此 3 sin xx f x x 在 0 2 上单调递减 由洛必达法则有 32 00000 sin1 cossincos1 lim limlimlimlim 3666 xxxxx x