四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三数学上学期期末考试试题 理

1 四川省宜宾市叙州区第一中学校四川省宜宾市叙州区第一中学校 20202020 届高三数学上学期期末考试试届高三数学上学期期末考试试 题题 理理 第第 i i 卷卷 选择题选择题 共共 6060 分 分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每个小题所给出的四个选项中 在每个小题所给出的四个选项中 只只 有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置有一项是符合题目要求的 把正确选项的代号填在答题卡的指定位置 1 已知复数是纯虚数 i 是虚数单位 则实数 a 等于 2 ai i a 2b 2c d 1 1 2 2 设全集是实数集 则 ur 2 log1 13mxxnxx nm a b c d 23xx 3x x 12xx 2x x 3 设等差数列前项和为 若 则 n a nn s 45 2as 7 14s 10 a a 18b 16c 14d 12 4 函数的部分图象大致是 3cos1 x f x x a b c d 5 是 直线与圆相切 的 0k 1ykx 22 1xy a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件 c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 6 一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去部分后 余下部分的三视图如图所示 则截去部 分与剩余部分体积的比为 2 a 1 3b 1 4 c 1 5d 1 6 7 设平面向量 若与的夹 2 1a r 2b a b 角为锐角 则的取值范围是 a b 1 22 2 44 1 c d 1 1 8 已知是两条不同直线 是两个不同平面 下列命题中的假命题是 mn a 若则b 若则 mm mnm a n c 若则d 若在内 则 mn a m na m m 9 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度 再把图象上各点的 sin 12 yx 4 横坐标缩短到原来的 纵坐标不变 则所得图象的的一条对称轴方程为 1 2 a b c d 5 24 x 5 12 x 6 x 3 x 10 已知 且 则向量在方向上的投影为 1 2ab aab a b a b c 1d 1 22 2 2 11 如图 在 中 点是线段上两个动点 且 abc d e bcadae 则的最小值为 xabyac 14 xy a b c d 3 22 5 2 9 2 12 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行 并 2 4yx f 2 2 1 0 y xm m 3 交抛物线于两点 若且 则的值为 a b afbf 3af m a 8b c d 4 2 22 第第 卷 非选择题共卷 非选择题共 9090 分 分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 分 13 已知向量 若 则 1 2a 2 2b 1 c 2cab 14 当时 函数有最小值 则的值为 0 xx cos22sin 2 f xxx 0 sin x 15 已知三棱锥中 dabc 1abbc 2 5 2 adbdacbcad 则三棱锥的外接球的表面积为 dabc 16 已知函数 则关于不等式 2 2019 20192019log 1 2 xx f xxx x 的解集为 23 4f xfx 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答题为选考题 考生根据要求作答 17 12 分 的内角 a b c 的对边分别为 已知 abc cba 0coscos 2 abbca i 求 b ii 若的周长为 求的面积 abcb 3323 abc 18 12 分 某高校共有 15000 人 其中男生 10500 人 女生 4500 人 为调查该校学生 每周平均体育运动时间的情况 采用分层抽样的方法 收集 300 位学生每周平均体育运动 时间的样本数据 单位 小时 1 应收集多少位女生样本数据 2 根据这 300 个样本数据 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 如图所 示 其中样本数据分组区间为 4 估计该校学生每周平均体育运动 时间超过 4 个小时的概率 3 在样本数据中 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时 请完成每周平均 体育运动时间与性别的列联表 并判断是否有的把握认为 该校学生的每周平均体育 95 运动时间与性别有关 附 2 2 n adbc k ab cd ac bd 2 0 p kk 0 100 050 0100 005 0 k 2 7063 8416 6357 879 19 12 分 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd 且 90bapcdp 1 证明 平面pab 平面pad 2 若pa pd ab dc 求二面角a pb c的余弦值 90apd 5 20 12 分 已知是椭圆与抛物线 2 2 6 33 p 22 1 22 1 0 xy cab ab 的一个公共点 且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点 2 2 0 e ypx p f 1 求椭圆及抛物线的方程 1 c e 2 设过且互相垂直的两动直线 与椭圆交于两点 与抛物线交于 f 12 l l 1 l 1 c a b 2 l e 两点 求四边形面积的最小值 c d acbd 21 12 分 已知函数 是自然对数的底数 2 1 1 e2 2 x f xxaxax e 讨论极值点的个数 f x 若是的一个极值点 且 证明 00 2xx f x 2 2ef 0 1fx 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请考生在第分 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第如果多做 则按所做的第 一题计分一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在平面直角坐标系中 已知曲线 为参数 以原点为极点 轴正半 3cos 2sin x c y x 轴为极轴建立极坐标系 直线 2cossin 6l 1 写出直线 的直角坐标方程和曲线的普通方程 lc 2 在曲线上取一点 使点到直线 的距离最大 求最大距离及此时点的坐标 c pplp 6 23 设 3 4 f xxx 1 解不等式 2f x 2 已知x y实数满足 且的最大值为 1 求a的值 22 23 0 xya a xy 7 2019 20202019 2020 学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 1 c2 a3 c4 b5 c6 a7 b8 c9 b10 a 11 d12 a 13 14 15 16 2 5 3 2 6 1 17 2coscos0acbba sin2sincossin cos0acbba sin cossin cos2sin cos0abbacb sin2cos sin0abbc sinsinabc 1 cos 2 b 2 0 3 bb 由余弦定理得 22 1 92 2 acac 2 22 9 9acacacac 32 3 3 2 3abcbac 3ac 1133 3 sin3 2224 abc sacb a 18 1 由分层抽样性质 得到 2 由频率分布直方图得 4500 30090 15000 3 利用2 2列联表求 1 2 0 1 0 0250 75 2 k 试题解析 8 1 由 所以应收集 90 位女生的样本数据 4500 30090 15000 2 由频率发布直方图得 该校学生每周平均体育运动时间超 1 2 0 1 0 0250 75 过 4 小时的概率为 0 75 3 由 2 知 300 位学生中有 300 0 75 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时 75 人平均体育运动时间不超过 4 小时 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的 90 份是 关于女生的 所以平均体育运动时间与性别列联表如下 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生女生总计 每周平均体育运动时间不超过 4 小时 453075 每周平均体育运动时间超过 4 小时 16560225 总计 21090300 结合列联表可算得 2 2 30045 6030 165 4 7623 841 75 225 210 90 k 有 95 的把握认为 该校学生的平均体育运动时间与性别有关 19 1 由已知 得ab ap cd pd 90bapcdp 由于ab cd 故ab pd 从而ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 2 在平面内作 垂足为 padpfad f 由 1 可知 平面 故 可得平面 ab padabpf pf abcd 以为坐标原点 的方向为轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间直角坐 ffa x ab 标系 fxyz 9 由 1 及已知可得 2 0 0 2 a 2 0 0 2 p 2 1 0 2 b 2 1 0 2 c 所以 22 1 22 pc 2 0 0cb 22 0 22 pa 0 1 0ab 设是平面的法向量 则 nx y z r pcb 即可取 0 0 n pc n cb 22 0 22 20 xyz x 0 1 2n 设是平面的法向量 则 mx y z pab 即可取 0 0 m pa m ab 22 0 22 0 xz y 1 0 1m 则 3 cos 3 n m n m n m 所以二面角的余弦值为 apbc 3 3 20 抛物线 一点 2 2 6 33 p e 2 20ypx p 即抛物线的方程为 2p e 2 4yx 1 0f 22 1ab 10 又在椭圆 上 2 2 6 33 p c 22 22 1 xy ab 结合知 负舍 22 48 1 93ab 22 1ab 2 3b 2 4a 椭圆的方程为 抛物线的方程为 c 22 1 43 xy e 2 4yx 由题可知直线斜率存在 设直线的方程 1 l 1 l 1yk x 11223344 a x yb xyc xyd xy 当时 直线的方程 故 0k 4ab 2 l 1x 4cd 1 8 2 acbd sab cd 当时 直线的方程为 由得 0k 2 l 1 1yx k 22 1 1 43 yk x xy 2222 3484120kxk xk 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk 由弦长公式知 2 22 121212 114abkxxkxxx x 2 2 121 43 k k 同理可得 2 41cdk 2 22 2 22 121241 11 41 224343 acbd kk sab cdk kk 11 令 则 当时 2 1 1 tkt 2 2 2 242424 41 41 1 24 acbd t s t tt t 1 t 2 11 0 1 243 tt 24 8 3 acbd s 综上所述 四边形面积的最小值为 8 acbd 21 的定义域为 f x r 2e x fxxa 若 则 0a e0 x a 所以当时 当时 2x 0fx 2 x 0fx 所以在上递减 在递增 f x 2 2 所以为唯一的极小值点 无极大值 2x f x 故此时有一个极值点 f x 若 令 0a 2e0 x fxxa 则 1 2x 2 lnxa 当时 2 ea 2lna 则当时 当时 2x 0fx 2 lnxa 0fx 当时 ln xa 0fx 所以 2 分别为的极大值点和极小值点 lna f x 故此时有 2 个极值点 f x 当时 2 ea 2lna 且不恒为 0 2 e0 x fxxa 此时在上单调递增 无极值点 f x r 当时 2 e0a 2lna 则当时 当时 lnxa 0fx ln 2xa 12 当时 0fx 2 x 0fx 所以 2 分别为的极大值点和极小值点 lna f x 故此时有 2 个极值点 f x 综上 当时 无极值点 2 ea f x 当时 有 1 个极值点 0a f x 当或时 有 2 个极值点 2 ea 2 e0a f x 证明 若是的一个极值点 00 2xx f x 由 可知 22 ee 0a 又 所以 22 2e2efa 2 ea 且 则 0 2x 0 lnxa 所以 2 0 1 lnln2ln2 2 f xfaaaa 令 则 ln2 ta t ae 所以 2 1 lne22 2 t g tfatt 故 1 4 e 2 t g tt t 又因为 所以 令 得 2 t 40t 0g t 0t 当时 单调递增 2 0t 0g t g t 当时 单调递减 0 t 0g t g t 所以是唯一的极大值点 也是最大值点 0t g t 即 01g tg 故 即 ln1 fa 0 1fx 22 解 1 的直角坐标方程为 l 260 xy 13 曲线的