高中数学 练习题 新人教版必修4

1 高中数学练习题高中数学练习题 第一部份 三角函数 练习题2 第二部份 三角函数 高考真题19 第三部份 平面向量 练习题26 第四部份 平面向量 高考真题43 第五部份 三角恒等转换 练习题47 第六部份 三角恒等转换 高考真题63 三角函数 练习题 在 0 360 范围内 找出与 12950 角终边相同的角 并判断它属于哪一象限 写出终边在 Y 轴上的角的集合 写出终边在直线 xy 上的角的集合 S 并把 S 中适合不等式 720360 的元素 写出来 直角不属于任何一个象限 不属于任何一个象限的角不一定是直角 钝角是第二象限 第二象限角不一 定是钝角 下列说法正确的是 FG A 终边相同的角一定相等 B 第一象限的角都是锐角 C 小于 90 度的角 都是锐角 D 第一象限角一定不是负角 E 少于 90 度的角一定是在第一象限 F 钝角一定是第二象限 角 G 是锐角 900 如图 弓形的弦 AB cm3 它所对应的圆周角为3 求该弓形的面积 解 设 C 是弧 AB 上的任意一点 连接 OBOA CACB 作 OH AB 于 H 因为弦 AB 所对应的圆周角为3 即 3 ACB 则 3 2 AOB 扇形 ACB 对应的圆心角为 3 4 3 2 2 AH HB cm 2 3 求得 cmOHcmOA 2 3 3 则 2 4 33 2 1 cmOHABS AOB 2 2 1 22 cmOAS ACB 扇形 则 2 4 33 2 cmSSS AOBACB 三角形扇形弓形 C B H O A 第 2 页 设集合 A Zkk 90180 Zkk 180 B Zkk 90 则 D A A B B A B C BA D A B 已知 5 3 sin 求 tan cos 的值 解 25 16 5 3 1sin1cos 2 22 因为 5 3 sin 0 所以角 属于第三象限或第四象限 当 属于第三象时 0cos 则 5 4 25 16 cos 4 3 cos sin tan 当 属于第四象时 0cos 则 5 4 cos 4 3 cos sin tan 求证 x x x x cos sin1 sin1 cos 证明 由题知 0cos x 知 1sin x 所以 0sin1 x 于是 左边 x x x xx x xx xx xx cos sin1 cos sin1cos sin1 sin1cos sin1sin1 sin1cos 22 右边 所以原式成立 计算 180cos12270sin80sin390sin6 解 原式 180cos1290180sin80390sin6 11290sin816 1012186 计算 2 3 sin 6 cos 6 sin 6 tan 4 3 4 tan 2 cos2 2 解 原式 2 3 1 2 3 2 1 3 3 4 3 102 22 3 计算 3 tan 2 3 cos 3 sin 242 解 原式 4 9 30 2 3 2 4 2 化简 180tan90cos0sinbba 解 原式 0000 bba 根据下列条件 求函数 4 3 cos32cos4 4 sin2 4 sin xxxxxf 值 1 4 x 2 4 3 x 提示 1 2 2 2 已知 是第四象限角 且 12 5 tan 求 sin 的值 已知 是第二象限角 且 12 1 tan 求 cos 的值 提示 上述二题均利用关系式 1cossin 22 已知 3tan 2 3 求 sincos 的值 解 因为 3tan cos sin 所以 cos3sin 则 1coscos3 2 2 得 4 1 cos2 因为 2 3 所以 2 1 cos 则 sincos 2 13 cos3cos 求证 x x xx xx tan1 tan1 sincos cossin21 22 第 4 页 证明 左边 xx xx xxxx xx sincos sincos sincossincos sincos 2 tan1 tan1 cos 1 sincos cos 1 sincos x x xx x xx 右边 所以原式成立 xxxx 2222 sintansintan 证明 左边 xx x x x x x x x xx x x 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 tansin cos sin sin cos cos1 sin1 cos 1 sinsin cos sin 右边 所以原式成立 xxxx 2244 cossin21cossin 证明 左边 xxxxxxxxxxxx 2222 2 22222244 cossin21cossin2cossincossin2cossin2cossin 右边 所以原式成立 化简 sin1 sin1 sin1 sin1 其中 为第二象限角 解 原 cos sin1 cos sin1 cos sin1 cos sin1 sin1 sin1 sin1 sin1 2 2 2 2 2 2 2 2 因为 为第二象限角 所以 0cos 则原式 tan2 cos sin1 cos sin1 求下列函数的最大值 最小值 并且求使函数取得最大值 最小值的x的集合 1 Rx x y sin 2 2 Rxxy cos23 解 1 最大值为 1 2 此时x的集合为 Zkkxx 2 2 最小值为 1 2 此时x的 集合为 Zkkxx 2 2 2 最大值为 5 此时x的集合为 Zkkxx 2 最小值为 1 此时x的集合为 Zkkxx 2 5 已知 x0 求适合下列条件的角x的集合 1 xysin 和 xycos 都是增函数 2 xysin 和 xycos 都是减函数 3 xysin 是增函数 xycos 是减函数 4 xysin 是 减函数 xycos 是增函数 解 数形结合 得 1 角x的集合 2 2 3 xx 2 角x的集合 xx 2 3 角 x的集合 2 0 xx 4 角x的集合 2 3 xx 求证 1coscossinsinsinsin 222222 证明 原式左边 22222 coscossin sin1 sin 222222222 sincossincoscoscossincossin 1 右边 所以原式成立 求证 tan 2 3 cos 2 3 sin 6cos 2 3 cos2tan 证明 右边 sincos cossintan 2 cos 2 sin cos 2 costan tan 右边 所以原式成立 化简 250sin790cos 430cos290sin21 解 原式 70180sin70720cos 70360cos70360sin21 70sin70cos 70cos70sin21 1 70sin70cos 70cos70sin 70sin70cos 70sin70cos 已知 1sin 求证 0tan2tan 第 6 页 证明 因为 1sin 所以 Zkk 2 2 所以 2 2k 则 tan 2 22tantan2tan k 0tantantantantan24tan k 所以原式成立 已知 m 6 cos 1 m 求 6 5 cos 3 2 sin 解 6 5 cos m 6 cos 6 cos 3 2 sin m 6 cos 62 sin 化简 kk kk cossin 1cos1sin 其中 Zk 提示 分k是奇数或偶数讨论 即 nk2 或 12 nk 答案 原式 1 已知 0cos3sin 求 cos sin 的值 解 由已知条件得 cos3sin 又 1cossin 22 所以 1coscos3 2 2 10 1 cos2 10 10 cos 由 cos3sin 知 sin 与 cos 异号 则角 属于第二或第四象限 当 属于第二象限时 10 10 cos 10 103 sin 当 属于第四象限时 10 10 cos 10 103 sin 已知 3tan 求 1 sin3cos5 cos2sin4 2 cossin 3 2 cossin 7 提示 1 原式 tan35 2tan4 cos 1 sin3cos5 cos 1 cos2sin4 2 原式 1tan tan cos 1 cossin cos 1 cossin cossin cossin 2 2 22 2 22 3 原式 1 2 cossin 已知 3tan 求 22 cos 2 1 sin 4 3 的值 解 22 cos 2 1 sin 4 3 40 29 13 2 1 3 4 3 1tan 2 1 tan 4 3 cossin cos 2 1 sin 4 3 2 2 2 2 22 22 已知 2tan 求 22 cos2cossinsin 的值 提示 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 已知 3 1 sin k k 3 1 cos k k 3 k 求 1tan 1tan 的值 解 因为 1cossin 22 则 1 3 1 3 1 22 k k k k 则 076 2 kk 得 7 k 或 1 k 当 1 k 时 0cos tan 不存在 所以 7 k 则 3 1 sin k k 5 3 5 4 3 1 cos k k 4 3 tan 1tan 1tan 7 1 已知 cos sin 是关于x的方程 0 13 2 mxx 的根 求m的值 解 根据题意 m cossin 13cossin 则有 2 2 13cossin 得 324cossin21 解得 3 2 3 m 又 0413 2 m 所以 2 3 1 m 所以 3 2 3 m 第 8 页 已知在 ABC 中 5 1 cossin AA 1 求 AA cossin 的值 2 判断三角形是锐角三角形还是钝 角三角形 3 求 Atan 的值 解 1 5 1 cossin AA 二边同时平方 得 25 1 cossin21 AA 则 25 12 cossin AA 2 因为 25 12 cossin AA 0 A0 所以 0sin A 0cos A 所以 A 为钝角 即该三角 形为钝角三角形 3 因为 25 49 cossin21cossin 2 AAAA 且 0cossin AA 所以 5 7 cossin AA 组成联立方程 5 7 cossin 5 1 cossin AA AA 解得 5 3 cos 5 4 sin AA 3 4 cos sin tan A A A 求函数 xy 4 sin2 的单调递增区间 解 因为 xy 4 sin2 4 sin2 x 所以函数 xy 4 sin2 的单调递增区间 就是函数 4 sin2 xy 的单调递减区间 将 4 x 视民一个整体 X 根据函数 Xsin 的单调区间求解 则有 Zkkxk 2 3 2 42 2 解得 Zkkxk 4 7 2 4 3 2 所以 函数 xy 4 sin2 的单调递增区间为 Zkkk 4 7 2 4 3 2 求函数 xysinlog 2 1 的单调递增区间 解 由 0sin x 得 22Zkkxk 9 因为 1 2 1 0 所以 xysinlog 2 1 的单调递增区间 就是 xusin 的单调递减区间 因为 xusin 的单调递减区间为 2 3 2 2 2Zkkxk 且 22Zkkxk 所以 xysinlog 2 1 的单调递增区间为 2 2 2Zkkk 五点法 作图 作出函数 012sin xxy 的图像 解 五点列表 将 x2 作为一个整体取五点 x 0 4 2 4 3 x2 0 2 2 3 2 x2sin 010 10 y 12101 五点法 作图 作出函数 22 sin2 x y 的图像 解 将 22 x 作为一个整体取五点 列表 x 3 3 2 3 5 3 8 3 11 22 x 0 2 2 3 2 y 020 20 此五点为函数在区间 3 11 3 上的图像 将该图像向左向右展开 得原函数图像 不通过画图 写出下列函数的振幅 周期 初相 并说明如何由正弦曲线得出它们的图像 1 Rxxy 6 5sin 2 Rxxy 6 1 sin2 解 1 振幅是 1 周期是 5 2 初相6 把正弦曲线向左平移6 个长度单位 得到 4 3 2 4 O 1 2 Y X 12sin xy 3 8 3 11 3 2 3 O 3 5 2 2 Y X 22 sin2 x y 第 10 页 Rxxy 6 sin 图像 再将得到的图像的所有横坐标缩短到原来的5 1 倍 纵坐标不变 就可得 到 Rxxy 6 5sin 的图像 2 振幅是 2 周期是 12 初相 0 把正弦曲线上所有的横坐标伸长到原来的 6 倍 纵坐标不变 得到 Rxxy 6 1 sin 图像 再将得到的图像的所有纵坐标伸长到原来的 2 倍 横坐标不变 就可得 到 Rxxy 6 1 sin2 的图像 数型结合 写出使 Rxx 2 1 sin 的x的集合 解 右图是 xsin 在一个周期 2 0 间的曲线图 直线 2 1 y 与曲线相交点的横坐标为 6 5 6 则满足题意的x的集合为 Zkkxkx 6 5 2 6 2 已知函数 xfy 的定义域为 4 1 0 求函数 2 1 sin2xf 的定义域 解 依题意 4 1 2 1 sin0 2 x 解得 2 2 sin 2 3 x 或 2 3 sin 2 2 x 根据数形结合 可得函数的定义域为 Zkkkkk 4 3 3 2 3 4 求函数 2sin2cos2 xxy 的值域 解 函数 2sin2cos2 xxy 2 2 1sin1sin2sin xxx 因为 1sin1 x 所以原函数的值域为 0 4 求函数 xy2sin23 的值域 6 5 6 Y X O xysin 2 1 y 11 解 因为 12sin1 x 22sin22 x 52sin231 x 所以原函数的值域为 5 1 求函数 1cos 2cos x x y 的值域 解 1 1cos 2cos x x y xcos1 1 1 当 1cos x 时 y 最小值为2 3 函数值域为 2 3 解 2 函数式转换得 1 2 cos y y x 则有 1 1 2 1 y y 解得 2 3 y 求函数 6 6 3 2sin2 xxy 的值域 解 66 x 3 2 3 x 3 2 3 20 x 1 3 2sin0 x 2 3 2sin20 x 函数值域为 2 0 判断函数 2 5 2sin2 xxf 的奇偶性 解 先看定义域 再看 xf 与 xf 函数定义域为 R 2 5 2sin2 xxf 2 2sin2 x x2cos2 xxxf2cos22cos2 所以为偶函数 判断函数 1sin2 xxf 的奇偶性 解 先看定义域 再看 xf 与 xf 01sin2 x 即 2 1 sin x 函数的定义域为 6 5 2 6 2 kk 此区间不关于原点对称 也不关于 Y 轴对称 则为非奇非偶函数 判断函数 xxxf 2 sin1sinlg 的奇偶性 第 12 页 解 xxxxxf 22 sin1sinlgsin1sinlg xxxx xxxx 22 22 sin1sin 1 lg sin1sin sin1sinsin1sin lg xx 2 sin1sinlg xf 所以函数为奇函数 求函数 7 62 1 cos 32 1 sin2 xxy 的最小正周期 初相 解 原式 7 62 1 cos 62 1 cos27 62 1 cos 62 1 2 sin2 xxxx 7 62 1 cos x 则最小正周期 4 2 1 2 T 初相为 6 求函数 3 2tan xy 的定义域 周期和单调区间 解 因为 xytan 的周期是 所以该函数的周期为2 又函数自变量应满足 Zkkx 23 2 解得 Zk k x 12 5 2 则定义域为 Zk k xx 12 5 2 又因为 xytan 在区间 Zkkk 2 2 上是增函数 所以 kxk 23 2 2 解得 212 5 212 k x k 所以函数的单调递增区间为 212 5 212 kk 求函数 4 3 2tan xy 的单调区间 提示 该函数有单调递减区间 数型结合 写出使下列不等式成立的x的集合 1 0tan1 x 2 03tan x 13 提示 正切函数 xtan 的周期为 设函数 32 tan x xf 求该函数的定义域 周期 单调区间 求不等式 31 xf 的解集 作出该函数在一个周期内的简图 解 1 将 32 x 作为一个整体 由 Zkk x 232 解得 Zkkx 2 3 5 所以函数的定义域为 Zkkxx 2 3 5 周期为 2 2 1 又由 Zkk x k 2322 解得 Zkkxk 2 3 5 2 3 所以函数的单调递增区间是 Zkkk 2 3 5 2 3 2 由 3 32 tan1 x 得 Zkk x k 3324 解得 Zkkxk 2 3 4 2 6 所以不等式 31 xf 的解集是 Zkkxkx 2 3 4 2 6 3 三点二线作图 三点为 4 4 0 x 列表 x 3 2 6 7 6 32 x 0 4 4 xfy 01 1 二线为 令 232 x 232 x 分别得出 3 5 x 3 x 即是该函数图像在左右两侧的 二条渐近线方程 从而得到函数在区间 3 5 3 的简图 略 第 14 页 P58B 组 1 2 3 已知 cos sin 是关于x的方程 01268 2 kkxx 的二个根 求实数k的值 解 由题 0123236 8 12 cossin 4 3 cossin 2 kk k k 联立 1cossin 22 解得 9 10 k 已知 cos sin 是关于x的方程 0 2 aaxx 的二个根 Ra 1 求 33 cossin 的值 2 求 tan 1 tan 的值 解 由题 04 cossin cossin 2 aa a a 联立 1cossin 22 解得 21 a21 a 舍去 则 22coscossin2sincossincossin 2233 12 cossin 1 sin cos cos sin tan 1 tan 设函数 3 sin kxaxf 6 2cos kxbxg 其中 Zkkba 0 0 0 二个函数最小 正周期之和为 2 3 且 22 gf 1 4 3 4 gf 求这二个函数的解析式 求函数 xg 在区间 4 12 上的最值 求函数 xfy 2 的单调递增区间 解 1 依题意 2 3 2 22 kk 得 2 k 又 22 gf 即 3 sin a 6 2cos b 即 ba 又 1 4 3 4 gf 即 15 32 sin a1 6 cos3 b 即 1 2 3 2 1 ba 解得 1 ba 则函数解析式为 3 2sin xxf 6 4cos xxg 因为 4 12 x 则 6 5 26 4 x 又 6 4cos xxg 在 0 2 上单调递增 在 6 5 0 上单调递减 所以 当 0 6 4 x 即 24 x 时 取得最大值 1 又当 26 4 x 即 12 x 时 0 xg 又当 6 5 6 4 x 即 4 x 时 2 3 xg 所以最小值为 2 3 函数 3 2 2sin 32 2sin 2 xxxfy 所以该函数的单调递增区间 就是函数 3 2 2sin xy 的单调递减区间 则 kxk2 2 3 3 2 22 2 即 kxk 2 13 12 7 则 xfy 2 单调递增区间 Zkkk 2 13 12 7 解不等式 03 3 2tan3 x 解 不等式化简为 3 3 2tan x 数型结合 得 kxk 23 2 3 即 212 5 2 k x k 则不等式的解集为 Zk k x k x 212 5 2 求函数 3 2tan3 xy 的图像的对称中心 解 xytan 对称中心为 0 2 k 则有 Zk k x 23 2 得 64 k x 则函数对称中心坐标为 Zk k 0 64 3 3 O Y y tanx X 2 2 第 16 页 采用二种方法 将函数 xysin 的图像变换成函数 2 4 3sin2 xy 的图像 解 方法 1 1 将函数 xysin 的图像向左平移4 个长度单位 得到函数 4 sin xy 的图像 2 将得到的图像上所有点的横坐标缩短到原来的3 1 倍 得到函数 4 3sin xy 的图像 3 再 将得到图像的所有点的纵坐标伸长至原来的 2 倍 得到 4 3sin2 xy 的图像 4 再将得到的图 像向下平移 2 个长度单位 得到 2 4 3sin2 xy 的图像 方法 2 1 将函数 xysin 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的3 1 倍 得到函数 xy3sin 的图 像 2 将得到的图像向左平移12 个长度单位 得到函数 4 3sin 12 3sin xxy 的图像 3 再将得到图像的所有点的纵坐标伸长至原来的 2 倍 得到 4 3sin2 xy 的图像 4 再将 得到的图像向下平移 2 个长度单位 得到 2 4 3sin2 xy 的图像 设函数 02sin xxf 图像的一条对称轴方程为 8 x 1 求 2 求该函数的 单调递增区间 解 1 函数 xysin 的对称轴方程为 2 kx 则令 x2 2 k 得函数的对称轴方程为 2 2 k x 依题意 有 82 2 k 因为 0 取k值测试 得 4 3 2 函数解析式为 4 3 2sin xxf 由题意得 kxk2 24 3 22 2 即 kxk 8 5 8 即函数单调递增区间为 Zkkk 8 5 8 17 如图是函数 2 sin2 xy 的部份图像 试确定该函数的一个解析式 解 根据图像确定函数解析式 可以待定系数法 观察法等 本图像通过观察 不能确定周期等 用待定系数法 即 用图像中的特殊点代入函数 求出函数中的参数 本图像有二个特殊点 0 12 11 1 0 则有 0 12 11 sin2 1sin2 因为 2 则得 6 k2 612 11 令 1 k 得 2 则该函数的一个解析式为 6 2sin2 xy 已知函数 xxycos 2 1 cos 2 1 1 做出函数简图 2 这上函数是周期函数吗 如果是 求出最 小正周期 3 指出这个函数的单调递增区间 解 1 函数 xxycos 2 1 cos 2 1 Zkkkxx Zkkkx 2 2 3 2 2 cos 2 2 2 2 0 分段函数 2 是周期函数 最小正周期为 2 3 单调递增区间为 Zkkk 2 2 2 已知函数 2 02sin3 xxf 其图像向左平移6 个单位长度后 关于 Y 轴对称 1 求 函数 xf 的解析式 2 如果该函数是一个简诣振动的表达式 那么指出其振幅 周期 频率及初相 并说明其图像是由 xysin 的图像经过怎样的变动得到的 解 1 图像向左平移6 个单位长度后 图像的函数解析式为 6 2sin3xxf 2 5 2 3 2 5 2 3 2 2 O Y X X 12 11 Y 1 2 2 O 第 18 页 3 2sin3x 因为其图像关于 Y 轴对称 所以有 23 02 k 因为 2 0 取k值测试 得 6 所以 6 2sin3 xxf 2 振幅 A 3 周期 2 2 T 频率 11 T f 初相 6 3 函数 xysin 的图像向左平移6 个单位长度 得到 6 sin xy 将得到图像上所有点的横坐 标缩短到原来的2 1 纵坐标不变 得到 6 2sin xy 图像 再将得到图像上所有点的纵坐标伸长 到原来的 3 倍 横坐标不变 得到 6 2sin3 xxf 图像 对称关系说明 1 若 xfy 的图象关于直线 ax 对称时 则有 xafxf 2 若 xfy 的图象与 xg 的 图像关于直线 ax 对称时 则有 xagxf 2 2 对于三角函数 也符合上述原则 且更特殊 即正弦 余弦函数的对称轴 是在函数取得最大值 1 或最小值 1 时的 X 值 即正弦函数的对称轴为 2 kx 余弦函数的对称轴 kx 3 关于 Y 轴对称 实际上就是关于直线 0 x 对称 已知 1 6 2sin2 axxf 其中a为常数 1 求 xf 的递增区间 2 当 2 0 x 时 xf 的最大值为 4 求a值 3 求出使 xf 有最大值的x的集合 解 1 依题意 kxk2 26 22 2 得 kxk 63 即 xf 的递增区间 为 kk 6 3 Zk 2 2 0 x 时 由 1 知 当 6 x 时 函数有最大值 3 a 则有 3 a 4 得a 1 19 3 依题意 当 xf 有最大值时 1 6 2sin x 则有 2 2 6 2 kx 解得 6 kx 即 x的集合为 Zkkxx 6 已知角 的终边经过点 P cos4 cos3 其中 12 2 2 kk Zk 求角 的三个 三角函数值 解 因为 12 2 2 kk 即是第二 第三象限角 所以 0cos 则点 P 属于第四象限 角 是第四象限角 所以 3 4 cos3 cos4 tan 即有 1cossin 3 4 cos sin 22 求得 5 3 cos 5 4 sin 三角函数 高考真题 已知扇形 AOB 圆心角为 120 半径长 6 求 1 弧AB长度 2 求弓形 ACB 面积 解 1 3 2 180 120 120 AOB 则 46 3 2 l 即弧AB的长度为 4 2 作 ABOD 交 AB 于 D 则 60BODAOD 330sin rOD 39330cos62 2 1 2 1 ODABS AOB 又 1264 2 1 2 1 rlS AOB扇形 则 3912 AOBAOBACB SSS 扇形弓形 若 2 0 x 则下列命题正确的是 D A xx 3 sin B xx 3 sin 120 30 A D C B O 第 20 页 C 2 22 44 sinxx D 2 sinxx 解 利用特殊值求解 令 6 x 进行比较 已知 2tan 则 22 cos2cossinsin 等于 5 4 解 原式分子除以 22 cossin 已知 5 5 sin 则 44 cossin 的值为 5 3 解 22 sin1cos 5 4 则 222244 cossincossincossin 已知 是第四象限角 12 5 tan 则 sin 的值为 13 5 解 利用 1cossin 22 及 12 5 cos sin 求解 是第四象限角判别正负符号 已知 k 80cos 则用k表示 100tan 的式子是 k k 2 1 解 k 80cos80cos 2 180sink 80tan80180tan100tan 已知 4 3 tan 则 sin 的值为 5 3 解 此题简单 可利用勾三股四弦五 也可利用 1cossin 22 下列式中 正确是 C A 168sin10cos11sin B 168cos11sin168sin C 10cos168sin11sin D 11sin10cos168sin 解 可利用数型结合 也可将函数转为同一函数的某一单调区间进行比较 12sin 12180sin 168sin 80sin8090cos10cos 21 下列函数中 最小正周期为 且在区间 2 4 上为减函数的是 A A 2 2sin xy B 2 2cos xy C 2 sin xy D 2 cos xy 解 此题简单 函数 3 2sin xxf 的图像的对称轴方程可以为 D A 12 5 B 3 C 6 D 12 解 令 23 2 kx 用k值进行测试 已知 0 x 若关于x的方程 ax 3 sin2 有二个不同的实数解 则a的取值范围为 A 2 3 B 2 3 C 2 3 D 2 3 解 画出函数 3 sin2 xy 的图像 数型结合 答案 D 已知函数 sin xy 2 0 的部分图像如图 则 D A 6 1 B 6 1 C 6 2 D 6 2 解 数型结合知 2 312 7 4 T 所以 2 又 1 3 2sin y 得 23 2 k 又 2 用k值测试 得 6 已知函数 0 6 sin3 xxf 和 12cos2 xxg 的图像的对称轴方程完全相同 若 2 0 x 则 xf 的取值范围是 3 2 3 3 O 6 3 2 2 Y X 1 3 12 7 Y X O 第 22 页 解 函数对称轴相同 则周期相同 所以 2 又 2 0 x 则 6 5 66 2 x 由正弦函数 的图像及性质知 xf 的最小值为 2 3 6 sin3 最大值为 3 2 sin3 若将函数 02 3 sin xy 的图像向右平移 3 4 个单位长度后 得到的图像同原来图像重合 求 的最小值 解 图像向右平移 3 4 个单位长度后 得到的函数为 2 33 4 sin xy 依题意 有 2 33 4 sin x2 3 sin x 则有 33 4 x kx2 3 Zk 得 2 3k 因为 0 求得其最小值为2 3 注 对于三角函数图像的变换 遵循 左加右减 上加下减 的原则 左加右减 是指自变量x的变 动 即左移时 自变量在原来基础上加上移动的长度单位 右移时则减去移动的长度单位 上加下减 是指函数值 y 的变动 即上移时 函数值在原来基础上加上移动的长度单位 下移时则减去移动的长度 单位 如果函数 xy2cos3 的图像关于点 0 3 4 中心对称 求 的最小值 解 余弦函数图像的对称中心坐标为 0 2 k 依题意 则有 3 4 2 2 k 得 Zkk 6 13 将k取值测试 得 的最小值为6 如图是函数 xysin 在区间 6 5 6 上的图像 为了得到这个图像 应将函数 xysin 的图 像做怎样的移动 解 由图像知 函数周期为 振幅为 1 则函数解析式 为 xy2sin 因为图像过点 0 6 则有 k2 6 2 令 0 k 得到一个 3 1 1 X Y 6 3 6 5 O 23 则与函数图像对应的一个表达式为 3 2sin xy 所以该函数图像可以通过将 xysin 的图像做以下移动而得到 横坐标向左平移3 个单位长度 再将 横坐标缩短到原来的2 1 倍 纵坐标不变 若将函数 0 4 tan xy 的图像向右平移6 个单位长度后 得到的图像同函数 6 tan xy 的图像重合 求 的最小值 解 图像向右平移6 个单位长度后 得到的函数为 46 tan xy 依题意 有 46 tan x 6 tan x 则有 46 x kx 6 Zk 因为 0 求得其最小值为2 1 为了得到函数 3 2sin xy 的图像 怎样移动函数 6 2sin xy 的图像 解 移动后的函数 值未变 改变了 所以应左右移动 设应将函数 6 2sin xy 的图像左右平 移 个单位长度 则有 6 2sin x 3 2sin x 则 6 2 x 3 2 x 求得 4 即应向右移动4 个单位长度 已知函数 0 6 sin2 xxf 最小正周期为 4 求该函数的对称中心坐标和对称轴方程 解 依题意 4 2 即 2 1 则函数解析式为 62 1 sin2 xxf 第 24 页 1 因为正弦函数 xysin 的对称中心为 0 k 则有 kx 62 1 得 3 2 kx 则该函数对称中心坐标为 0 3 2 k 2 因为正弦函数 xysin 的对称轴方程为 2 kx 则有 62 1 x 2 k 得 3 2 2 kx 则该函数的对称轴方程为 3 2 2 kx 将函数 3 sin xy 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再将所得图像上的 所有点向左平移3 个长度单位 求得到图像的解析式 解 将函数 3 sin xy 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 得到的图像解析式为 32 1 sin xy 再向左平移3 个长度单位后 得到的图像解析式为 62 1 sin 332 1 sin xxy 已知函数 0 03sinAxAxf 在 12 x 时取得最大值 4 1 求函数的最小正周期 2 求函数的解析式 3 若 5 12 123 2 f 求 2tan 解 1 依题意 最小正周期 3 2 T 2 依题意 4 12 3sin Axf 即 A 4 1 4 sin 因为 0 则 4 5 44 所以 24 得 4 解析式为 4 3sin4 xxf 25 3 依题意 5 12 4123 2 3sin4 123 2 f 整理得 5 3 2 2sin 即 5 3 2cos 则 5 4 2sin 3 4 2tan 弹簧上挂的小球做上下振动时 小球离开平衡位置的位移 S 随时间t s 的变化曲线是一个三 角函数的图像 如图 1 经过多长时间 小球振动一次 2 求这条曲线的函数解析式 3 小 球在开始振动时 离开平衡位置的位移是多少 解 1 小球从最高点到最低点的时间为 21212 7 即半个周期 则最小正周期为 即小球经过 秒 振动一次 2 经观察曲线 振幅为 4 2 2 则 设函数解析式为 tS2sin4 将点 4 12 代入函数式 得 12 2sin44 即 1 6 sin 所以 3 函数解析式为 3 2sin4 tS 3 当 0 t 时 32 3 sin4cmS 即小球开始振动时 离开平衡位置位移是 cm32 求函数 3 2sin xy 的对称轴方程 对称中心坐标 解 由正弦函数的周期性知 过正弦函数图像的最高点或最低点且与 X 轴垂直的直线均是对称轴 图像 与 X 轴的交点均为对称中心 若 1 3 2 x 必有 23 2 kx 所以对称轴方程为 Zk k x 122 令 3 2sin xy 0 则 kx 3 2 得对称中心坐标为 Zk k 0 62 注 余弦 正切函数的对称轴 正切无 对称中心均可类似推出 可不用记忆前表公式 求函数 4 sin2log1 xy 的单调递增区间 st 12 4 12 7 S 4 O 2 O xysin 第 26 页 解 因为 1 0 1 则该函数的单调递增区间 就是函数 4 sin2 xu 的单调递减区间 且 0 u 数形结合 则有 kxk2 42 2 得 4 3 2 4 2 kxk 即函数的单调递减区间为 4 3 2 4 2 kk 求函数 6 4cos 3 4sin xxy 的最小正周期 单调区间 最值 解 因为 26 4 3 4 xx 则 23 4cos 6 4cos xx 3 4sin 3 4 2 cos xx 所以 3 4sin2 xy 所以 正小正周期为 T 24 2 当 kxk2 23 42 2 时 函数单调递增 即单调递增 区间为 Zk kk 224 224 5 当 kxk2 2 3 3 42 2 时 函数单调递减 即单调 递减区间为 Zk kk 224 7 224 当 Zk k x 224 时 函数最大值为 2 当 Zk k x 224 7 时 函数最小值为 2 平面向量 练习题 关于向量说法的判断 方向相同或相反的向量是平行向量 错 应是 方向相同或相反的非零向量是平行向量 因为零向量 平行于任一向量 零向量的长度是 0 正确 长度相等的向量是相等向量 错 应是 长度相等且方向相同的向量是相等向量 共线向量是在一条直线上的向量 错 共线向量也叫平行向量 它们不一定在一条直线上 也可能在 平行直线上 CDAB 就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 错 CDAB 包括AB所在的直线平行于 27 CD所在的直线 也包括AB所在的直线重叠于CD所在的直线 设o是正六边形ABCDEF的中心 且 aOA 问 1 该正六边形的线段共可组成多少个向量 E D 2 与a的模相等的向量有多少个 3 与a的模相等但方向相反的向量有哪些 F O C 4 与a共线的向量有哪些 5 列出与a相等的所有向量 A B 解 1 30 个 2 23 个 3 BCAOODFE 4 CBBCAODAADDOODEFFE 5 CBDOEF 如右图 平行四边形ABCD的二条对角线相交于点 M 且 bADaAB 试用 ba 表示向量 MDMCMBMA D C 解 baADABAC A M B baADABDB 所以 ACMA 2 1 ba 2 1 ba 2 1 2 1 DBMB 2 1 ba 2 1 2 1 ACMC 2 1 ba 2 1 2 1 DBMD 2 1 ba 2 1 2 1 已知 ACADAB 且 bBDaAC 试用向量 ba 表示 ADAB 解 bADAB aADAB 解得 baADbaAB 2 1 2 1 如右图 平行四边形ABCD的二条对角线相交于点 M 且 bADaAB DP 3 1 DM MQ 3 1 MC 试用 ba 表示向量 PQAQAP D P C 解 DBDMDP 6 1 3 1 ADAB 6 1 ba 6 1 M Q 第 28 页 所以 DPADAP bab 6 1 ba 6 5 6 1 A B 又 ACMCMQ 6 1 3 1 所以 bababaMQAMAQ 3 2 6 1 2 1 bababaAPAQPQ 6 1 2 1 6 5 6 1 3 2 一条船从长江南岸 A 点出发 以 5Km h 的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时江水的流速为向东 25Km h 1 用向量表示船速 江水流速及船实际航行的速度 2 求船实际航行的速度的大小与方向 精确到度 D C 解 1 如右图示 向量AD表示船速 AB表示江水流速 AC表示船实际航行的速度 A B 在直角三角形 ABC 中 2 AB 5 BC 则 22 BCABAC 5 4 又因为 2 5 tan CAB 由计算器得 68CAB 答 下列各组向量中 可以作为基底的是哪些 1 2 12 0 01 ee 2 7 52 2 11 ee 3 10 62 5 31 ee 4 4 3 2 1 2 3 21ee 解 提示 两个不共线的非零向量可以构成一组基底 第 2 组可以 已知 4 3 1 2 ba 求 bababa43 的坐标 解 5 14 31 2 ba ba 3 54 31 2 ba ba43 19 616 123 64 341 23 已知平行四边形三个顶点 CBA 的坐标分别为 4 3 3 1 1 2 求顶点 D 的坐标 解 画图 设顶点 D 的坐标为 yx 因为 2 11 23 1 AB yxyxDC 4 3 4 3 由 DCAB 得 yx 4 32 1 29 所以 24 13 y x 解得 2 2 yx 即顶点 D 的坐标为 2 2 已知 yba 6 2 4 且 ba 求 y 解 因为 ba 则有 0 1221 yxyx 即 0624 y 解得 3 y 已知二个非零向量 21 e e 不共线 设 21 32eeAB 21 236eeBC 21 84eeCD 求证 DBA 三点共线 提示 如果 ba 共线 必有 ba 如果 ba 则必有 ba 共线 b为非零向量 a可以是零向量 证明 CDBCABAD 212121 8423632eeeeee 21 326ee AB6 所以AD与AB共线 又因为AD与AB有公共点 A 所以 DBA 三点共线 已知二个非零向量 21 e e 不共线 设 21 eeAB 21 82eeBC 21 33eeCD 1 求证 DBA 三点共线 2 若使 21 eek 与 21 eke 共线 试确定实数k的值 1 证明 CDBCBD ABeeeeee553382 212121 所以 BD与AB共线 又因为BD与AB有公共点 B 所以 DBA 三点共线 2 解 若使 21 eek 与 21 eke 共线 则必存在一个实数 使得 21 eek 21 eke 整理得 01 21 ekek 因为非零向量 21 e e 不共线 所以只能有 01 0 k k 解得 1 k 已知 5 2 3 1 1 1CBA 证明 CBA 三点共线 证明 4 21 13 1 AB 6 31 15 2 AC 因为 03462 所以向量 ACAB 共线 又因为 ACAB 有公共点 A 所以 CBA 三点共线 第 30 页 已知 P 是线段 21p p 上的一点 21 p p 的坐标分别为 2211 yxyx 1 当 P 是线段 21p p 的中点时 求点 P 的坐标 2 当 P 是线段 21p p 的三等分点时 求点 P 的坐标 解 如图 1 2 22 1 2121 21 yyxx opopop P 的坐标为 2 2 2121 yyxx 2 当 P 是线段 21p p 的三等分点时 分二种情况 第一种 21 2 1 pppp 第二种 21 2pppp 当第一种 21 2 1 pppp 时 3 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 2121 2112121111 yyxx opopopopopppopppopop 即 P 的坐标为 3 2 3 2 2121 yyxx 同理 求出第二种情况 P 的坐标为 3 2 3 2 2121 yyxx 注 定比分点公式 1 1 21 21 yy y xx x yxP 111 yxP 222 yxP 是直线l上的点 2 1 PP PP 已知 5 4 2 1 0 0BAo ABtOAOP 当 2 2 2 1 1 t 时 分别求点P坐标 解 2 1 OA 3 3 AB 当 1 t 时 5 43 32 1 ABOAOP 点P坐标为 5 4 当 2 1 t 时 2 7 2 5 3 3 2 1 2 1 2 1 ABOAOP 点P坐标为 2 7 2 5 当 2 t 时 4 53 322 12 ABOAOP 点P坐标为 4 5 当 2 t 时 8 73 322 12 ABOAOP 点P坐标为 8 7 已知点 5 1 1 1 BA 及 ABAC 2 1 ABAD2 ABAE 2 1 求点 EDC 的坐标 P2 P1 P O Y X 31 解 1 1 OA 5 1 OB 则 4 2 AB 所以 2 1 2 1 ABAC 8 42 ABAD 2 1 2 1 ABAE 又 3 02 11 1 ACOAOC 所以c点坐标为 3 0 9 38 41 1 ADOAOD 所以c点坐标为 9 3 1 22 11 1 AEOAOE 所以c点坐标为 1 2 另解 2 1 2 1 ABAC 设 yxC 则有 2 11 1 yx 3 0 yx 判断下列各点的位置关系 并给出证明 1 5 3 2 4 3 2 1CBA 2 6 5 0 5 0 2 1 CBA 3 5 0 8 3 1 1 9CBA 解 1 6 4 AB 5 1 1 AC 因为 ACAB4 或者因为 0165 14 所以 ACAB 共线 又因为向量 ACAB 有公共点 A 所以 CBA 三点共线 2 2 5 1 AB 8 6 AC 因为 ACAB 4 1 或者因为 06285 1 所以 ACAB 共线 又因为向量 ACAB 有公共点 A 所以 CBA 三点共线 3 同理可求出 设 21 e e 是平面内向量的一组基底 证明 当 0 2211 ee 时 恒有 0 21 证明 反证法 因为 21 e e 是平面内向量的一组基底 所以 21 e e 不共线 假设 0 1 则由 0 2211 ee 得 2 1 2 11 ee 若 0 2 则 21 e e 共线 与题意矛盾 所以 0 2 同理 得 0 1 所以 0 21 已知 4 3 ba 且a与b的夹角 150 求 bababa 2 解 36 2 3 43150cos baba 312252 22 2 bbaaba 31225 ba