（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题 73 相似三角形的判定及有关性质 理（含解析）新人教A版

第十三章第十三章 选修系列选修系列 4 4 7373 几何证明选讲几何证明选讲 一一 相似三角形的判定及有关性质相似三角形的判定及有关性质 导学目标 1 了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理 2 掌握相似三角 形的判定定理及性质定理 3 理解直角三角形射影定理 自主梳理 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交的 直线上截得的线段也相等 2 平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段 推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边 或 所得的对应线 段 推论 2 平行于三角形的一边 并且和其他两边 的直线所截得的三角形的三 边与原三角形的三边对应 推论 3 三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比 例 3 相似三角形的判定 判定定理 1 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 那么这两个三角形相似 简述为 两角对应 的两个三角形相似 判定定理 2 对于任意两个三角形 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对 应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 简述为 两边对应成比例且 相等的两个三角形相似 判定定理 3 对于任意两个三角形 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例 那么这两个三角形相似 简述为 三边对应成比例的两个三角形相似 4 相似三角形的性质 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 5 直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在 与斜边的 斜边上 的高的 等于两条直角边在斜边上的射影的乘积 自我检测 1 如果梯形的中位线的长为 6 cm 上底长为 4 cm 那么下底长为 cm 2 如图 在 ABC 中 ED BC EF BD 则下列四个结论正确的是 填序号 AF FD ED BC AF FD CD AD AF FD AD DC AF FD AB AE 3 如图 在Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D CD 2 BD 3 则 AC 4 如图所示 在 ABC 中 AD 是 BAC 的平分线 AB 5 cm AC 4 cm BC 7 cm 则 BD cm 第 4 题图 第 5 题图 5 2011 陕西 如图 B D AE BC ACD 90 且 AB 6 AC 4 AD 12 则 BE 探究点一 确定线段的 n 等分点 例 1 已知线段 PQ 在线段 PQ 上求作一点 D 使 PD DQ 2 1 变式迁移 1 已知 ABC D 在 AC 上 AD DC 2 1 能否在 AB 上找到一点 E 使得 线段 EC 的中点在 BD 上 探究点二 平行线分线段成比例定理的应用 例 2 在 ABC 的边 AB AC 上分别取 D E 两点 使 BD CE DE 的延长线交 BC 的延长 线于点 F 求证 DF EF AC AB 变式迁移 2 如图 已知 AB CD EF AB a CD b 0 a b AE EC m n 0 m0 舍去负根 所以斜边的长为 5 故斜边上的中线的长为 66 5 6 2 5 15 解析 AD BC OB OD BC AD 20 12 5 3 OB BD 5 8 OE AD OE AD OB BD 5 8 OE AD 12 5 8 5 8 15 2 同理可求得 OF BC 20 3 8 3 8 15 2 EF OE OF 15 6 2 解析 连接 DE 因为 AD BC 所以 ADB 是直角三角形 则 DE AB BE DC 又因为 1 2 DG CE 于 G 所以 DG 平分 CE 故 EG 2 7 6 解析 设 DE x DE AC 解得 BE BE 15 x x 4 15x x 4 BD DC BE EA BE 15 BE x 4 又 AD 平分 BAC BD DC BA AC 15 x 4 x 4 解得 x 6 8 1 4 解析 连接 DE 延长 QP 交 AB 于 N 则Error 得 PQ BC 1 4 9 证明 由三角形的内角平分线定理得 在 ABD 中 DF AF BD AB 在 ABC 中 3 分 AE EC AB BC 在Rt ABC 中 由射影定理知 AB2 BD BC 即 6 分 BD AB AB BC 由 得 9 分 DF AF AB BC 由 得 11 分 DF AF AE EC 10 证明 延长 AD 至 G 使 DG MD 连接 BG CG BD DC MD DG 四边形 BGCM 为平行四边形 4 分 EC BG FB CG AE AB AM AG AF AC AM AG 8 分 AE AB AF AC EF BC 12 分 11 证明 BO PM 2 分 PM BO PA OA DO PS 4 分 PS DO PA OA PM BO PS DO 即 由 BO PR