《概率论与数理统计》实验指导书

概率论与数理统计概率论与数理统计 实验指导书实验指导书 课程性质 目标和要求 课程性质 概率论与数理统计实验是与 概率论与数理统计 课程相配套 的 数学实验 它是为了理解和巩固这门课而设计的 教学目标 通过本实验的教学 使学生掌握处理随机数据的基本方法 以 及获得建立某些实际问题的模拟能力 并深刻理解概率与数理的思想方法 教学要求 本实验是数学与应用数学专业教学计划中 概率论与数理统计 相配套的数学实验 所以 实验与课程紧密结合 服务这门课 在该课程的理 论指导下开展数学实验 在实验供应结合生产科研的实际问题 进行解决实际 问题能力的实践性环节的培养 概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学 通过 本实验 我们以 excel 为平台 教师也可选其它数学软件 Excel 电子表格软件 是微软办公软件组的核心应用程序之一 它功能强大 操作简单 适用范围广 普遍应用于报表处理 数学运算 工程计算 财务处理 统计分析 图表制作 等各个方面 其数据分析模块简单直观 操作方便 是进行概率与统计学教学 的首选软件 我们可以了解随机现象及其发生的概率 模拟系统的变化规律 鉴于该课程的特点 为更好地实现教学目标 我们开发以下 16 个实验 教师可 以根据教学情况选其中 6 个试验进行教学 教学时间安排 序号序号实验名称实验名称实验类型实验类型课时课时备注备注 1Excel 的基本使用方法和技巧演示性实验2 2 随机事件的模拟 模拟掷均匀 硬币的随机试验 设计性实验 2 3 随机模拟计算的值 蒲丰 投针问题 设计性实验 2 4敏感性问题调查综合性实验2 5正态分布综合实验综合性实验2 6产生服从任意分布的随机数设计性实验2 7产生服从二维正态分布的随机数设计性实验2 8随机变量综合试验综合性实验2 9定积分的近似计算设计性实验2 10参数的点估计设计性实验2 11区间估计演示性实验2 12非参数假设检验设计性实验2 13方差分析演示性实验2 14一元回归分析设计性实验2 15多元回归分析综合性实验2 16零件参数的设定综合性实验2 合 计 实验一实验一 ExcelExcel 的基本使用方法和技巧的基本使用方法和技巧 1 问题的背景问题的背景 概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学科学 如何对实践中的随 机现象进行模拟和处理数据 成为概率论与数理统计实验课程的重要内容 鉴于 Excel 的 通俗易懂和应用的普适性 我们采用 Excel 来实现概率论与数理统计课程实验 因此 对 Excel 的基本应用成为本门课程的基础 2 实验目的要求实验目的要求 1 学习和掌握 Excel 的调用程序 2 学习和掌握 Excel 的基本命令 3 学习和掌握 Excel 的有关技巧 4 掌握基本统计命令的使用方法 3 3 实验主要内容 实验主要内容 在各种电子表格处理软件中 Excel 以其功能强大 操作方便著称 赢得了广大用户 的青睐 本实验学习一些经常使用的技巧 掌握这些技巧将大大提高学生未来实验的效 率 一 基本命令 一 基本命令 1 快速定义工作簿格式 2 快速复制公式 3 快速显示单元格中的公式 4 快速删除空行 5 自动切换输入法 6 自动调整小数点 7 用 记忆式输入 8 用 自动更正 方式实现快速输入 9 用下拉列表快速输入数据 二 基本统计函数 二 基本统计函数 1 描述性统计 2 直方图 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验二实验二 随机事件的模拟随机事件的模拟 模拟掷均匀硬币的随机试验模拟掷均匀硬币的随机试验 1 问题的背景 问题的背景 抛硬币实是一个古老而现实的问题 我们可以从中得出许多结论 但要做这个简单而 重复的试验 很多人没有多余的时间或耐心来完成它 现在有了计算机的帮助 人人都可 很短的时间内完成它 2 实验目的要求 实验目的要求 1 学习和掌握 Excel 的有关命令 2 了解均匀分布随机数的产生 3 掌握随机模拟的方法 4 体会频率的稳定性 3 3 实验主要内容实验主要内容 抛硬币试验抛硬币试验 抛掷次数为 对于20 50 100 1000 10000 各作 5 次试n n 验 观察有没有什么规律 有的话 是什么规律 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验三实验三 随机模拟计算随机模拟计算的值的值 蒲丰投针问题蒲丰投针问题 1 问题的背景问题的背景 在历史上人们对 的计算非常感兴趣性 发明了许多求 的近似值的方法 其中用蒲 丰投针问题来解决求 的近似值的思想方法在科学占有重要的位置 人们用这一思想发现 了随机模拟的方法 2 2 实验目的要求 实验目的要求 本实验旨在使学生掌握蒲丰投针问题 并由此发展起来的随机模拟法 从中体学会到 新思想产生的过程 1 学习和掌握 Excel 的有关命令 2 掌握蒲丰投针问题 3 理解随机模拟法 4 理解概率的统计定义 3 3 实验主要内容 实验主要内容 蒲丰投针问题 下面上画有间隔为 0 d d 的等距平行线 向平面任意投一枚长为 l ld 的针 求针与任一平行线相交的概率 进而求 的近似值 对于n 50 100 1000 10000 50000 各作 5 次试验 分别求出 的近似值 写出书面 报告 总结出随机模拟的思路 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验四实验四 综合实验综合实验 敏感性问题调查敏感性问题调查 1 1 问题的背景 问题的背景 在问卷调查中 被调查者由于种种原因不愿意回答问题 这类问题就是敏感性问题 对敏感性问题的调查方案 关键要使被调查者原意作出真实回答问题又能保守秘密 进而 能根据调查问题的特点 科学设计调查表 合理制定调查程序 分析调查结果是一个有趣 的问题 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 学习和掌握利用概率统计解决实际问题的技能 2 学习和掌握对敏感性问题调查的基本方法和措施 3 学习和掌握敏感性问题调查的有关技巧 3 3 实验主要内容 实验主要内容 确定敏感性问题 如某学校学生阅读黄色书刊和观看黄色影像的比率 或某社区居 民参加赌博的比率 或某社区居民吸毒的比率 或某城市经营者偷税漏税户的比率 或 某学校学生考试作弊的比率 调查方案的设计及操作程序 调查问题的设计 调查操作程序 调查样本容量的确定 调查结果分析 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验五实验五 正态分布综合实验正态分布综合实验 1 1 问题的背景问题的背景 正态分布是实际生活中最常用的概率分布 在概率论与数理统计的理论研究和实际应 用中都具有重要的价值 应熟练掌握和运用 2 2 实验目的要求实验目的要求 学会产生服从正态分布的随机数并作密度函数和分布函数的图形 学会 NORMDIST 命令 和 Excel 绘图工具的使用 3 3 实验主要内容实验主要内容 1 利用随机数发生器分别产生 n 100 1000 10000 个服从正态分布 N 6 1 的随机数 每种情形下各取组距为 2 1 0 5 作直方图及累积百分比曲线图 2 固定数学期望 0 05 分别取标准差为 0 01 0 02 0 03 绘制密度函 数和分布函数的图形 3 固定标准差为 0 02 分别取数学期望为 0 03 0 05 0 07 绘制 密度函数和分布函数的图形 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验六实验六 产生服从任意分布的随机数产生服从任意分布的随机数 1 1 问题的背景问题的背景 实际中经常需要用到服从指定分布 F x 的随机数据 学会产生服从任意分布的随机数 对今后的学习和实际应用而言 是非常有帮助的 2 2 实验目的要求实验目的要求 学会产生分布函数为预先指定的分布函数 F x 的随机数 利用所产生的随机数据作直 方图 密度函数图和分布函数图 3 3 实验主要内容实验主要内容 1 分别产生 1000 10000 个 0 1 U 分布随机数 通过变换分别把它们转换为服从指数 分布 Exp 3 和 Gamma 2 2 的随机数 然后对所得到的 Exp 3 随机数作组距为 0 1 的直 方图 对 Gamma 2 2 随机数作组距为 1 的直方图 观察它们轮廓线的形状 2 用命令 EXPONDISTEXPONDIST 计算 Exp 3 在 x 0 0 1 0 2 3 处的值 用 GAMMADISTGAMMADIST 命令计算 Gamma 2 2 在 x 0 1 2 15 处的值 并画出指数分布 Exp 3 和 Gamma 2 2 的密度函数的图形 与 1 中的直方图的轮廓线进行比较 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验七实验七 产生服从二维正态分布的随机数产生服从二维正态分布的随机数 1 1 问题的背景问题的背景 二维正态分布是最常用的多维连续型分布 设二维随机向量 X X Y Y 服从二维正态分 布 22 1122 N 由二维正态分布的性质知 相关系数 0 或 0 对应于X X 与Y Y独立或相关两种情形 2 2 实验目的要求实验目的要求 1 学会用计算机产生分量相互独立的二维正态分布随机数 2 学会用计算机产生分量不独立的二维正态分布随机数 3 3 实验主要内容实验主要内容 1 若随机变量X X与Y Y相互独立且 2 11 XN 2 22 YN 则 22 1122 0 X YN 据此结论产生服从二维正态分布 7 1 6 1 0 N 的随机向 量 X X Y Y 2 设 n 维随机向量 1 nn XXXN 其中 1 n 是X X的 均值向量 ijn n 是X X的协方差阵 ijiijj EXX 由于 为正定 阵 故存在下三角阵C C 使得 CC 若设 1 n UUU U的各个分量相互独立 均服从 0 1 N 分布 那么可以证明X CU 服从以 1 n 为均值向量 以 CC 为协方差阵的 n 维正态分布 由上述结论 产生服从二维正态分布 7 1 6 1 0 6 N 的随机向量 X X Y Y 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验八实验八 随机变量综合试验随机变量综合试验 1 1 问题的背景问题的背景 正态分布 卡方分布 t 分布和 F 分布常被称为数理统计四大分布 它们在假设检验 方差分析和回归分析中有着广泛的应用 2 2 实验目的要求实验目的要求 1 学会用 Excel 产生服从上述四大统计分布的随机数并能画出对应随机数的直方图 2 会用 Excel 计算上述四大统计分布的分布函数值和分位点 3 3 实验主要内容实验主要内容 实验原理 若独立同分布随机变量 1 0 1 iid n XXN 则 222 1 n i i Xn 又若 22 Xm Yn 且X与Y相互独立 则 X m FF m n Y n 再者 若 0 1 XN 2 Yn 且X与Y相互独立 则 X tt n Y n 参见教材 p270 p272 定义 据上述原理 1 产生 2 6 2 10 F 6 10 和 t 6 四种随机数 并画出相应随机数的频 数直方图 2 在同一张图中画出了 N 0 1 和 t 6 随机数频数直方图 比较它们的异同 3 写出计算上述四种分布的分布函数值和相应上侧分位点命令 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验九实验九 定积分的近似计算定积分的近似计算 1 1 问题的背景 问题的背景 不少统计问题 如计算概率 各阶矩等 最后都归结为定积分的近似计算问题 特 别是高维积分 这一方法是求解数学物理 工程技术及经济管理近似的数值常用方法 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 掌握 Excel 的有关命令 2 进一歩理解大数定律 3 掌握随机模拟的方法 3 3 实验主要内容 实验主要内容 1 用随机投点法和平均值法计算定积分 11 12 01 1 1 x x e JdxJe dx e 2 比较两种方法的精度 n 100 1000 10000 对每一个 n 重复做 5 次 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十实验十 参数的点估计参数的点估计 一 背景知识 一 背景知识 一 参数点估计的计算方法 一 参数点估计的计算方法 1 参数估计问题 一种是总体分布类型已知 但含有未知参数 对总体的未知参数进行估 计后可以近似确定总体分布 另一种是总体分布类型未知 通过参数估计来了解总体的主 要数字特征如总体均值 总体方差等 2 点估计 设来自总体的样本为 12 n XXX 通过某种参数估计方法 构造统计量 12 n XXX 用 来作为总体未知参数 的估计 这个随机量 就是 的点估 计量 3 矩估计法的应用 分两种情况讨论 并只讨论到 1 阶到 2 阶矩 1 总体的未知参数为总体的矩时 总体均值近似于样本 1 阶原点矩即样本均值 1 1 n i i XX n 总体方差 2 的矩估计就是样本 2 阶中心矩即样本方差 A222 1 1 n ni i SXX n 2 总体分布类型已知 有 1 个或 2 个未知参数 我们主要考虑这两种 可以用样本的 1 阶 2 阶原点矩列出方程 组 求解未知参数 当只有一个未知参数 1 时 可列出一个方程 111 解得 111 当有二个未知参数是时 可根据样本一阶和二阶原点矩列出一个二元方程组 3 极大似然估计法 似然函数等于样本分布列 离散总体 或样本概率密度 连续总体 的连积 1 1 n i i n i i Lp x Lf x 极大似然估计法就是求 的极大似然估计 所要求的要概率 要求出 就是要求 似然函数 LL 或l n 的最大值点 要求极大似然估计 通常用三步 1 根据已知的样本分布 列出似然函数 L 2 将函数两边取自然对数 3 由函数对 求导 令其等于 0 算出 的极大似然估计 二 关于无偏性 有效性和相合性 二 关于无偏性 有效性和相合性 1 设 12 n XXX 是未知参数 的估计量 若满足 E 则称 12 n XXX 是 的无偏估计量 也就是估计量 这个随机变量的取值集中位置 是 样本的均值X 样本方差 2 n S 分别是总体均值 总体方 2 的无偏估计 2 有效性 在几个 的无偏估计量中 其方差越小的 说明此估计量越有效 可以理解 方差越小则表明 越集中在 附近 对 的估计效果越好 3 相合性 设 12 n XXX 是未知参数 的估计 当n 时 估计量 n 与 的绝对误差小于任意给定正数 的概率趋近于 1 就称12 n XXX 为 的相 合估计 三 关于方程和方程组求解的数值方法 三 关于方程和方程组求解的数值方法 见数值计算方法教材或实验指导书 二 实验目的要求 二 实验目的要求 实验目的 实验目的 通过本实验 使学生以 Matlab 为工具掌握参数点估计的计算方法的计算机实现 对常见分布 掌握生成点估计量值的模拟方法 通过观察不同样本量下估计量的值在真实 参数周围的分布情况 获得估计量的值在真实参数周围分布情况及其随样本量增加所发生 变化的数值经验 实验要求 实验要求 1 学生在实验前应该掌握参数估计的相关理论 阅读实验本次实验的指导 了解 Matlab 中的相关计算工具 2 独立准备好一个点估计问题和相关样本数据 独立完成从设计到求出结果的全部实验过 程 3 独立撰写实验报告 实验报告要附上相关 Matlab 程序 三 实验内容 三 实验内容 1 选择一个分布 建议选择正态分布或 Weibull 分布等 2 编制求参数点估计的矩法和最大似然法的 Matlab 程序 3 用随机数生成方法在不同样本量下产生多个样本 4 用所生成的样本计算参数的估计量的值 5 观察参数估计量的值在真值周围的分布情况 总结出相关数值经验 6 观察参数估计量的值在真值周围的分布情况如何随样本量不同而变化 总结出相关数值 经验 四 实验设备 四 实验设备 电子计算机 Matlab 软件 实验十实验十一 区间估计区间估计 1 1 问题的背景 问题的背景 对于一个总体 可以用一些参数进行表征 如平均值 方差等 如果某个参数未知 统 计学提供了一些方法 它们可以用来估计未知参数介于那个区间内 估计是数理统计中重 要的内容 也是计算量很大的问题 以前在这方面的教学中都是使用计算器和查表 非常 麻烦 下面我们用 Excle 来解决这个问题 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 掌握 Excel 的有关命令 2 掌握总体数学期望和方差的区间估计 3 理解大数定律的思想 4 掌握随机模拟的方法 3 3 实验主要内容 实验主要内容 1 单个正态总体数学期望和方差的区间估计 从一大批袋装糖果中随机地取出内 16 袋 称得重量 g 如下 508507 68 498 5 502 503 511 498 511 513 506 492 497 506 5 501 510 498 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布 试求总体均值和方差的区间估计 置信度分别为 0 95 与 0 9 2 两个正态总体数学期望的差和方差的商的区间估计 随机地从A A批导线中抽取 4 根导线 又从B B批导线中抽取 5 根导线 测得电阻 为 A 批导线 0 142 0 140 0 144 0 136 B 批导线 0 138 0 140 0 134 0 138 0 142 设测得的导线电阻值服从正态分布 且两个样本相互独立 试求总体数学期望的差和总体 方差的商的置信区间 置信度分别为 0 95 与 0 9 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十二实验十二 非参数假设检验非参数假设检验 2 检验检验 1 1 问题的背景 问题的背景 假设检验在数理统计中占有重要地位 它的推理方法与数学中通常使用的方法在表 面上类似 但实际上大不一样 通常的数学推理都是演绎推理 即根据给定的条件 进 行逻辑推理 而统计方法则是归纳 从样本中的表现去推断总体的性质 在解决实际问题中 我们往往假定总体的分布形式是已知的 但许多 时候我们对总体总是了解不多 总体分布是什么 不太清楚 这时我们只根据样本推断 总体 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 掌握 Excel 的有关命令 2 掌握非参数假设检验 2 检验 3 3 实验主要内容 实验主要内容 一道工序用自动化车床连续加工某种零件 由于刀具损坏等会出现故障 故障是完全 随机的 并假定生产任一零件时出现故障机会均相同 工作人员是通过检查零件来确定工 序是否出现故障的 现积累有 100 次故障纪录 故障出现时该刀具完成的零件数如下 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851 试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布 显著水平分别为 0 1 和 0 05 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十三实验十三 方差分析方差分析 1 1 问题的背景 问题的背景 方差分析是采用数理统计方法分析各种因素对研究对象某些特征值的影响 进而鉴 别各种因素对研究对象的某些特征值影响大小的一种有效方法 简单一点说 方差分析 可以用来判断取自总体的两个或者多个样本的均值是否相等 2 2 实验目的 实验目的 1 理解单因素方差分析的基本思想 2 掌握用计算机分析单因素方差分析问题 3 掌握检验的步骤 3 3 实验主要内容 实验主要内容 为了研究咖啡因对人体功能的影响 特选 30 名体质大致相同的健康的男大学生进行 手指叩击训练 此外咖啡因选三个水平 123 0 100 200 AmgAmgAmg 每个水平下冲泡 10 杯水 外观无差别 并加以编号 然后让 30 位大学生每人从中任选一 杯服下 2 h 后 请每人做手指叩击 统计员记录其每分钟叩击次数 试验结果如下表 咖啡因剂量叩击次数 1 0 Amg 2 100 Amg 3 200 Amg 242245 244 248 247 248 242 244 246 242 248246 245 247 248 250 247 246 243 244 246 248 250 252 248 250 246 248 245 250 请对上述数据进行方差分析 从中可得到什么结论 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十四实验十四 一元回归分析一元回归分析 1 1 问题的背景 问题的背景 回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用的统计分析方法 其主要任 务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间的数学关系式 检验影响变量的显著程度和比较它们的作用大小 进而用一组变量的变化解释和预测另 一个变量的变化 本实验介绍一元线性回归 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 1 理解一元回归分析的基本思想 掌握一元线性回归模型及回归方程 2 2 理解最小二乘法的原理 掌握最小二乘法 3 3 掌握用计算机求回归方程并进行检验和预测的方法 3 3 实验主要内容 实验主要内容 考虑家庭月收入x 元 及支出y 元 的关系 我们抽取 10 个家庭 由户主本人提供能 反映他在一个时期内月收入及支出的平均状况资料如下 收入x 元 200 150 200 250 150 200 250 300 150 120 支出y 元 180 160 220 250 140 230 210 250 230 140 试对建立月收入和月支出的关系 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十五实验十五 多元回归分析多元回归分析 1 1 问题的背景 问题的背景 回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的最常用的统计分析方法 其主要任 务是根据变量观测数据定量地建立所关注的变量和影响它变化的变量之间的数学关系式 检验影响变量的显著程度和比较它们的作用大小 进而用一组变量的变化解释和预测另 一个变量的变化 本实验介绍多元回归 2 2 实验目的要求 实验目的要求 1 理解多元回归分析的基本思想 掌握多元线性回归模型及回归方程 2 掌握用计算机求回归方程并进行检验和预测的方法 3 3 实验主要内容 实验主要内容 某工厂每年所获利润主要取决于 A B 两种产品的销售量 根据调查获得该企业 1994 年 2005 年 A B 两种产品的销售量及每年所获利润统计资料如下表 年份利润 i Y 百 万元 A 产品销售量 i X1 万吨 B 产品销售量 i X2 万吨 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 29 24 27 25 26 28 30 28 28 27 45 42 44 45 43 46 44 45 44 43 16 14 15 13 13 14 16 16 15 15 2004294615 2005314717 要求 1 利用调查所得资料求利润Y与两种产品 A B 的销售量21 XX 的回归方 程 并说明参数估计量的经济含义 2 据预测 2006 年 A 产品的销售量为 50 万吨 B 产品的销售量为 18 万吨 请预测 2006 年该工厂可获得利润多少百万元 4 4 实验仪器设备 实验仪器设备 计算机和数学软件 实验十六实验十六 零件参数的设定零件参数的设定 1 1 问题的背景 问题的背景 在现实生活中 有大量问题由于模型中随机因素很多 很难用解析式模型来进行描述 求解 这时就需要借助模拟的方法 如零件参数的设定 零件的参数设计零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成 标志产品性能的某个参数取决于这些零件 的参数 零件参数包括标定值和容差两部分 进行成批生产时 标定值表示一批零件该参 数的平均值 容差则给出了参数偏离标定值的容许范围 若将零件参数视为随机变量 则 标定值代表期望值 在生产部门无特殊要求时 容差通常规定为均方差的 3 倍 进行零件参数设计 就是要确定其标定值和容差 这时要考虑两个方面因素 1 当各零件组装成产品时 如果产品参数偏离预先设定的目标值 就会造成质量 损失