1-21届希望杯初二试题

1、 第一届希望杯初二第 1试试题 .（ 2） 2、第一届希望杯初二第 2试试题 .（ 5） 3、第二届希望杯初二第 1试试题 .（ 10） 4、第二届希望杯初二第 2试试题 .（ 16） 5、第三届希望杯初二第 1试试题 .（ 23） 6、第三届希望杯初二第 2试试题 .（ 27） 7、第四届希望杯初二第 1试试题 .（ 37） 8、第四届希望杯初二第 2试试题 .（ 44） 9、第五 届希望杯初二第 1试试题 .（ 52） 10、第五届希望杯初二第 2试试题 .（ 64） 11、第六届希望杯初二第 1试试题 .（ 72） 12、第六届希望杯初二第 2试试题 .（ 78） 希望杯第一届（ 1990 年）初中二年级第一试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 10分） 1一个角等于它的余角的 5倍，那么这个角是 ( ) A 45 . B 75 55 . D 65 2 2的平方的平方根是 ( ) A 2. B 2. D 4 3当 x=1时， ) A 0 B C . ,+ 2 ,7 ,则下列式子成立的是 ( ) A A C B;B C B A;C B A C;D C A B 5平面上有 4条直线，它们的交点最多有 ( ) A 4个 B 5个 . C 6个 . D 7 6 725 的立方根是 （ A） 12 . （ B） 21 .（ C） )12( . （ D） 12 . 7把二次根式化为最简二次根式是 (A) a . (B) a . (C) a . (D) a 8如图 1在 C= E= D， E， B， ， N， P，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形 ( ) A 2组 B 3组 4组 D 5组。 1112 11 122 2222 yx 则这个值是 ( ) A 0. B 1. C 2. D 4. 把 于 ( ) A1 二、填空题（每题 1分，共 10分） 1. _ _ _ _ _ _661 3 0 22 2. 121 3 3 3. 8 9 8 5 0=_. 4如图 2， A=60， 1= 2，则 _ 5如图 3, 17 , 23 ,则 _度 6 C=90， 点，则 7计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图 4） _ 8方程 x2+px+q=0，当 p 0， q 0时，它的正根的个数是 _个 9 x， y， 8 2 65 3 2113 5 33 4 5 1x y z x z x yx y z x yx y z 则 19895z=_ 10已知 3，则 61_ 答案与提示 一、选择题 提示： 1因为所求角 =5(90 ,解得 =75故选 (B) 2因为 2的平方是 4， 4的平方根有 2个，就是 2故选 (C) 3以 x=1代入，得 故选 (A) 3，根据大边对大角，有 C B A 5如图 5，数一数即得 又因原式中有一个负号所以也不可能是 (D)，只能选 (A) 7 a 0， 故选 (C) 8有 (D) 9题目说是一个固定的值，就是说：不论 x， 式的值不变于是以 x=y=0代入，得： 故选 (B) 故选 (A) 二、填空题 提示： 4 2+ 1+ 80 A=120 所以 20度 5 0度 8 = 9方程组可化简为： 解得： x=1， y=z=0 19895z=1990 10 6132x2+x+1)而 3 希望杯第一届（ 1990）第二试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 5分） 4腰中线将周长分成 5 3的两部 分，那么这个三角形的底边长是 A 12. C 4. D 12或 4 = 2)1 9 8 9(11 9 9 11 9 9 01 9 8 91 9 8 8 ，那么 A 1987 B 1988. C 1989 D 1990 3 a b c， x y z， M=ax+by+N=az+by+P=ay+bz+Q=az+bx+ A M P Q N. B N P Q M C P M N Q. D Q M N P 4凸四边 形 00, 1, 3 ,则 A 30 B 45 . C 60 . D不能确定 5把一个边长为 1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于 1的正三角形，满足上述性质的分割 A是不存在的 . B恰有一种 . C有有限多种，但不只是一种 无穷多种 二、填空题 :（每题 1分， 共 5分） 1 B=90， ， 已知 ，则 _ 2 若 21 ( 2 ) 0a a b ,那么1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 9 9 0 ) ( 1 9 9 0 )a b a b a b _. 3 已知 a， b， a+b+c=0， ，则 _ 4 B=300,5 ,3 ,三个两两互相外切的圆全在 三个圆面积之和的最大值的整数部分是 _ 5 设 a,b,那么 a b c a b a c b c a b ca b c a b a c b c a b c 的值等于_. 三、解答题 :（每题 5分，共 15分） 1从自然数 1， 2， 3， 354中任取 178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177 2平面上有两个边长相等的正方形 B C D，且正方形 A B C D的顶点 A在正方形 正方形 A B C D绕 A转动时，两个正方形的重合 部分的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断 3用 1， 9， 9， 0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数 除余数都不为 1，将所有满足上述条件的自然数 ， 试求： 答案与提示 一、选择题 提示： 1若底边长为 12则其他二边之和也是 12，矛盾故不可能是 (B)或 (D) 又：底为 4时，腰长是 10符合题意故选 (C) =19882+3 1988+1(1988+1)2+1988988 3只需选 a=1， b=0， c=x=1， y=0， z=于这时 M=2， N=P=Q=而选 (A) 4由图 6可知：当 0时， 如图 7按同心圆分成面积相等的四部分在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于 1的正三角形如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形故选 (D) 二、填空题 提示： 1如图 8： B+ 1= + 1= 3 = N C=3 5当 a， b， 为 7 当 a， b， 为 三、解答题 1证法一 把 1到 354的自然数分成 177个组： (1， 178)， (2， 179)， (3， 180)，(177， 354)这样的组中，任一组内的两个数之差为 177从 1354中任取 178个数，即是从这 177个组中取出 178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是 177从而证明了任取的 178个 数中，必有两个数，它们的差是177 证法二 从 1到 354的自然数中，任取 178个数由于任何数被 177除，余数只能是0， 1， 2， 176这 177种之一 因而 178个数中，至少有两个数 a， 即至少有两个数 a， 177 又因 1354中，任两数之差小于 2 177=354所以两个不相等的数 a， 从自然数 1， 2， 3， 354中任取 178个数，其中必有两个数，它们的差是 177 2如图 9，重合部分面积 个定值 证明：连 A B， A C，由 A为正方形 A A 5 又，当 A B与 A 有 A D与 A 知 B= C 在 A A A 两个正方形的重合部分面积必然是一个定值 3可能的四位数有 9种： 1990， 1909， 1099， 9091， 9109， 9910， 9901， 9019， 9190 其中 1990=7 284+2， 1909=7 272+5 1099=7 157,9091=7 1298+5,9109=7 1301+2, 9910=7 1415+5， 9901=7 1414+3， 9019=7 1288+3， 9190=7 1312+6 即它们被 7除的余数分别为 2， 5， 0， 5， 2， 5， 3， 3， 6 即余数只有 0， 2， 3， 5， 6五种 它们加 1， 2， 3都可能有余 1的情形出现如 0+1 1， 6+2 1， 5+3 ( 而加 4之后成为： 4， 6， 7， 9， 10，没有一个被 7除余 1，所以 4是最小的 n 又：加 5， 6有： 5+3 1， 6+2 1 (加 7之后成为 7， 9， 10， 12， 13没有一个被 7除余 1所以 7是次小的 n 即 ， 7=28 第二届（ 1991 年）初中二年级第一试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 15分） 1如图 1，已知 ， ， ，则 A 2; B 3; C 4; D 5 2方程 =0的两个根是 A 1， 6 ; B 2， 3; C 2， 3; D 1， 6 3已知 A C;B C;C B= B=C=22345 ( 1 3 ) 4,113( 5 ) 34 ,则 a,b, ( 1 )a b c B a=b=c C a=c b D a=b c 5.若 a b,则 (等于 A. 33 (); B. 33 () ; C. 33 (); D. 33 () 6已知 x， 么三边是 x， 0的三角形有 A 3个 B 4个 ; C 5个 D无数多个 7两条直线相交所成的各角中， A必有一个钝角 ;B必有一个锐角 ;C必有一个不是钝角 ;D必有两个锐角 8已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 A一个是锐角另一个是钝角 ;B都是钝角 ;C都是直角 ;D必有一个角是直角 9方程 x|+1=0有 个实数根 A 4; B 2; C 1; D 0 10一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的 3倍减去 得原数，这个两位数是 A 26; B 28; C 36; D 38 11若 11个连续奇数的和是 1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是 A 179; B 181; C 183; D 185 3 1,那么 323 ( 2 ) ( 3 ) 等于 A 2x+5 B 2 C 1 D 1 13方程 2x5+x+1=0有一个实数根是 A. 53 ; B. 52 ; C. 32 ; D. 53 14当 a 程 ()x-(a+1)=0的根的情况是 A两负根 ;B一正根 、一负根且负根的绝对值大 C一正根、一负根且负根的绝对值小 ;D没有实数根 15甲乙二人，从 地甲用一半时间以每小时 一半时间以每小时 以每小时 一半路程以每小时 a 到达 A 二人同时 ; B甲先 ; C乙先 ; D若 a 先到达，若 a 先 二、填空题 :（每题 1分，共 15分） 1一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于 _度 5757=_. 0 的解是 x=_. 4分解因式： _ 5若方程 x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则 _ 6如果 2a(+b(那么 _. 7方程 991有 _个整数解 8当 程 (mx+有两个实数根 9如图 2，在直角 A，且 1，则 _度 D A(2) (3) (4) 10如图 3，在圆上有 7个点， A， B， C， D， E， F，和 G，连结每两个点的线段共可作出 _条 11 D， B， E， ，则 _度 12如图 4， C=9， 20， ，则 _ 13在 ， ，则 _ 14等腰三角形的一腰上的高为 10条高与底边的夹角为 45，则这个三角形的面积是 _ 15已知方程 x2+px+q=0有两个不相等的整数根， p， 是质数，这个方程的根是 _ 答案与提示 一、选择题 提示： 1 6-(83选 (B) 2以 2， 3代入方程，适合故选 (B) 3有两条边相等的三角形是等腰三角形选 (D) 4 a=1， b=c=1选 (C) 6 x=y 5的任何正整数，都可以和 10作为三角形的三条边选 (D) 7两直线相交所成角可以是直角，故而 (A)， (D)均不能成立选 (C) 8设两个角为 , + )+( =180 , 即 =90故选 (D) 9不论 x|+1总是大于零的选 (D) 即 7a=2b+2，可见 b+1是 7的倍数故取 (A) 11设这 11个连续奇数为： 2n+1， 2n+3， 2n+5， 2n+21则 (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+ +(2n+21)=1991 即 11(2n+11)=1991 解得 n=85第六个数是 2 85+11=181故选 (B) 选 (A) 13原方程可化为 (2x)+()=0 即 (2x+1)()=0 即 =0故取 (C) 14 a 0， 0， a+1 0而若方程的两根为 有 15设 M， ，甲需时间 需时间 有 甲先 另外：设 a=1， b=2，则甲走 6小时，共走了 9公里，这时乙走的时间为 从这个计算中，可以看到， a， 影响结果故取 (B) 二、填空题 提示： 1设所求角为，则有 (180 -(90 =90 4 x3+(2=(x+y)(2xy(x+y) =(x+y)(x2+xy+5设二根为 -( 即 即 k= 3 又，要有实数根，必须有 0 即 (-4(k+2) 0 显然 k=3不适合上面的不等式， k= 6由 2a(x+1)2+b(由 x=1代入，得 c= a=2，这时再以 x=0代入，得 -1=c即 b=1 7 991， (y+x)=11 181可以是 9 1，故有 1，直角三角形斜边与直角边之比为 2 1，则有 B=30 10从 条，从 条，（因为 B），从 条，从计 1+2+3+4+5+6=21（条） 另法：每个点出发均可连 6条，共有 42条但每条都重复过一次， 11如图 28 F= 1+ A+ 2 又： 1= 3 F= 3+ A+ 2= B+ A=120 12 是分角线，故 0， 0又： 0 又： F= 0 在 F=30 F 而在 ， B=30 13 4 14当 时， D=2， 7当 4时， D=7， 有 2 2 7 14等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是 45，则顶角是 90，高就是腰，其长为 10 15设两根为 x1+p q 由题设及，可知， 而 偶质数只有 2，两个负整数之和为 不相等，这是不可能的 若 能是 2），两个负整数之积为 2，且不相等，只能是 2 方程的根是 2 希望杯第二届（ 1991 年）初中二年级第二试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 10分） 1如图 29，已知 ( ) A 1 ; B 2; C 3; D 4 2两个正数 m， t(t 1)若 m+n=s，则 m， ) 时 , 3等于 ( ) B.x ; D.x . 4 (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则 a， b， ) A a b c. B (+(=0. C c a b. D a=b c 5如图 30， D=C= ( ) A 4倍 . B 3倍 . C 2倍 . D 1倍 6 ) B C 2D 2 191 ( )1 0 1 0 的实根个数为 ( ) A 4 B 3. C 2 D 1 3值为 112 3 的 ) + 3 ， + 3 ; B. + 3 ， - 3 ; C. +4 3 ， ; D. +2 3 ， - 3 . 9在整数 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9中，设质数的个数为 x，偶数的个数为 y，完全平方数的个数为 z，合数的个数为 u则 x+y+z+( ) A 17 B 15. C 13 D 11 10两个质数 a， b，恰好是 t=0的两个根 ,则 于 ( ) 二、填空题（每题 1分，共 10分） 1991199119891988=_ _ 3.(a2+ba+bc+(b2+bc+ca+(c2+ca+ab+的平方根是 _ 4边数为 a， b， 在每个正多边形中取一个内角 ,其和为 1800,那么1 1 1 =_. 1x 有正整数解 ,则正整数 a=_. 3升 ,再加上等量的水 ,液体中还有酒精 _升 ;搅匀后 ,再倒 出 13升混合液 ,并加入等量的水 , 搅匀后 ,再倒出 13升混合液 , 并加入等量的水 ,这时 ,所得混合液中还有 _升酒精 . 7如图 31，在四边形 厘米， 厘米， 4厘米， 6厘米且 0，则四边形 _ 8如图 32， 1+ 2+ 3 4+ 5+ 6=_ 9. 2 2 4 3 的最小值的整数部分是 _. 10已知两数积 1且 2234567890a+3=0,3234567890b+2=0,则 _. 三、解答题 :（每题 5分，共 10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整） 1. 已知两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于 2 2一块四边形的地（如图 33） (有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠 即两边都是直线）但进水口 改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明 答案与提示 一、选择题 提示： 3由 y 0，可知 x 0故选 (C) 4容易看到 a=b=式成为 3(x+a)2，是完全平方式故选 (B) 5 故知 0 ,而 20 ,所以选 (A) 6以等边三角形为例，当 有 2选 (D) 故选 (C) 选 (C) 9 x=4， y=5， z=4， u=4选 (A) 10由 a+b=21， a， a， 与 19两数 二、填空题 提示： 1 1989 1991199119891988=1989 (1991 104+1991)989 104+1988) =1989 19911988=1991 2原式 =a2+b2+ca+c2+(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c) =(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c) =(a+b+c)(a+2b+3c) 3原式 =(a+c)(a+b) (b+a)(b+c) (c+a)(c+b) 平方根为 (a+c) 4正多边形中，最小内角为 60，只有 a， b， 时，所取的内角和才可能为 180 5两式相加有 (1+a)y=6，因为 a， 能值为 5，这时 y=1，这与 矛盾，舍去；可能值还有 a=2， a=1，这时 y=2， y=3与 无矛盾 a=1或 2 7在直角三角形 勾股定理可知 0 边长分别是 10， 24，26，由勾股定理的逆定理可 而有面积为 8 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6，正好是以 2， 3， 5为 3个内角的四边形的 4个内角之和 和为 360 10由已知条件可知 234567890x+3=0的一个根， 234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成： 三、解答题 1设这两个正数为 a， b则原题成为已知 a3+，求证 a+b 2 证明（反证法）： 若 a+b 2由于 a3+，必有一数小于或等于 1，设为 b 1， a ，这个不等式两边均为正数， (2 8 a3+8 6 0 0 ( 0 矛盾 a+b 2即本题的结论是正确的 2本题以图 33为准 由图 34知 长 K，即得所求新渠这时， M（都等于 且 新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了 我们再看另一种方法，如图 35 作法：连结 过 ，过 连结 M，则 又： 从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多 即新渠面积与原渠的面积相等 由图 35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大） 故应选第一种方法。 希望杯第三届（ 1992 年）初中二年级第一试试题 一、选择题 :（每题 1分，共 10分） 1已知 a b 0，则有 A.a+b1; ; . 2已知三角形的三个内角度数之比为 1 2 3,若这个三角形的最短边长为 ,那么它的最长边等于 ; . 1( 5 3 ) , ( 5 3 )22 ,那么 D. 1512 . 4. 3 2 2 的值等于 A. 32 ; B. 31 ; C. 32 ; D. 21 . 5 A= B=， C= + ,0 90若 点，则 A 90 B 105 . C 120 D 150 6一个自然数的算术平方根为 a(a 1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 a+1; B. 1, 1; C. 221 , 1; D. . 992 1993a =0,那么 A 1991. B 1992. C 1993. D 1994. 8正整数 除， 得到余数 4，则 被 7除，得到的余数是 A 0. B 2. C 4. D 6. 9. 6 3 5 6 3 5 的值为 A. 75 ; B. 14 ; C. 1 ( 7 5 )2 ; 10方程 67x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 A. 1664; B. 1667; C. 11992; 二、填空题 :（每题 1分，共 10分） 1 一个角的补角是它的余角的 3倍，则这个角的度数等于 _ 2 二次根式 1为最简根式应是 _. 3 若 (= _ 4 若 a、 b、 则 222( ) ( ) ( )a b c b c a c a b =_. 5如图 39， 0， 0， 在 ，使 B，则 D， _ 6. 2 的小数部分我们记作 m,则 m2+m+ 2 =_. 7若 a b c 0，一元二次方程 (x+(0的两个实根中，较大的一个实根等于 _ 8如图 40， 1+ 2+ 3+ 4+ 5=_ 9一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后 仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”， 则所有“无瑕质数”之和等于 _ 10若 3，则 150_ 答案与提示 一、选择题 提示： 1用特殊值法，不妨设 a=b= a+b=1，可排除 (A)； 1，可排除 (B)； 2根据三角形内角和为 180及三个内角度数之比为 1 2 3，容易得出三个内角为30， 60， 90 30角对边为最短边，由题设知， 5由 A+ B+ C=180，即 ( + +( + )=3 =180， 应选 (C) n+1=，其算术平方根分别为 7由题意知 0，因而 a 1993 于是 |1992 从而 9922，故 993应选 (C) 8设 a=7k+4(，则 =(7k+4)3+5 =(7k)3+3 (7k)2 4+3 (7k) 42+43+5 =7(72 74+3k 42+9)+6 因此， 被 7除余 6，故应选 (D) 67x+1992=0不能有非负根，所以 x=667排除，剩下的 大者为 好满足方程，所以应选 (D) 注：此题也可由方程化为 (x+664)(x+3)=0， 可知方程较大的实根为 二、填空题 提示： 1设所求角为，则有 180 3(90 ，从而解得 =45 3令 x=0，得 (= 1 4由条件可知 a 0， b 0， c 0，且 a b+c， b c+a， c a+b， 0， 0， 0， 5连结 图 41） B， 0 因此，在直角三角形 ，所以 7由观察知， x=1满 足方程，所以，方程 (x+(0有实根 1 又知 0， 0，若 x 1，则有 (x+( (0，所以方程 (x+(0没有大于 1的实根，因此较大的一个实根等于 1 8如图 42， 6= 7+ 4， 7= 2+ 5，但 1+ 3+ 6=180， 1+ 3+ 4+ 7=180，即 1+ 2+ 3+ 4+ 5=180 9根据题意，容易检验，两位“无瑕质数”分别是 11， 13， 17， 31， 37， 71， 73， 79，97，共计 9个，它们的和是 11+13+17+31+37+71+73+79+97=429 10因为 15035x+y+1)+10=10 注：用因式分解的方法，凑出 3 希望杯第三届（ 1992 年）初中二年级第二试题 一、选择题 （ :每题 1分，共 10分） 1 73282 A 47249 B 45829. C 43959 D 44969 2长方形如图 43已知 ， ，则长方形的内 接三角形的面积总比数 ( )小或相等 3当 x=6， y=8时， x6+ A 1200000 B 1020000 1200000 D 1020000等腰三角形的周长为 a(一腰的中线将周长分成 5 3，则三角形的底边长为 C. 65a; 22x x y y+3y+=0的 x、 y、 y zx y zx y z ; 602 3 2x y zx y zx y z ; 6202 3 2x y zx y zx y z ; 2x y zx y zx y z 4,32, A= B= C=300,则 7在式子 |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的 到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 A 1 B 2. C 3 D 4 8一个等腰三角形如图 45顶角为 A,作 分线 1= 2= 3），若 BD=x， DE=y， EC=z，则有 A x y z B x=z y. C x=z y D x=y=z 9已知方程 (a+1)|a+2|-|x+a=5有两个不同的实根，则 A 5 B 9. C 10 D 11 6, 是以 1为半径的圆弧 , 则无阴影的两部分的面积的差是 A. 12; ; C. 13; . 二、填空题（每题 1分，共 10分） 361x x 的所有根的和的值是 _. a+b= 1 9 9 2 1 9 9 1 ,1 9 9 2 1 9 9 1 ,那么 _. 3如图 47，在 0， 5， ， ， ，则 _ x= 121,那么 323 5 54 2 4x x x+1的值是 _ 5如图 48，已知边长为 点， 么 _ 6. 已知 x+y=4,4, 那么 3333=_. 7在正 图 49）， ，若四边形 么 _ 的一个正根为 a,那么11+ 112 + 123 + 11 9 9 9 2 0 0 0 =_. 9某校男生若干名住校，若每间宿舍住 4名，则还剩 20名未住下；若每间宿舍住 8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共