等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt

2 5等比数列前n项和公式 细节决定成败态度决定一切 引入 印度国际象棋发明者的故事 西萨 引入新课 它是以 为首项公比是 的等比数列 分析 由于每格的麦粒数都是前一格的 倍 共有64格每格所放的麦粒数依次为 麦粒的总数为 请同学们考虑如何求出这个和 这种求和的方法 就是错位相减法 18446744073709551615 如果1000粒麦粒重为40克 那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨 根据统计资料显示 全世界小麦的年产量约为6亿吨 就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦 国王无论如何是不能实现发明者的要求的 如何求等比数列的Sn 得 错位相减法 1 使用公式求和时 需注意对和的情况加以讨论 2 推导公式的方法 错位相减法 注意 显然 当q 1时 等比数列的前n项和表述为 Sn a1 a2 a3 an 1 an a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1 q a1 a1q a1qn 3 a1qn 2 a1 qSn 1 a1 q Sn an 证法二 借助Sn an Sn 1 一 用等比定理推导 当q 1时Sn na1 因为 所以 用等比定理 证法三 已知a1 n q时 已知a1 an q时 等比数列的前n项和公式 知三求二 1 等比数列前n项和公式 等比数列前n项和公式你了解多少 2 等比数列前n项和公式的应用 1 在使用公式时 注意q的取值是利用公式的前提 在使用公式时 要根据题意 适当选择公式 利用 错位相减法 推导 3 两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二 例1 求下列等比数列前8项的和 说明 例3 某商场今年销售计算机5000台 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10 那么从今起 大约几年可使总销售量达到30000台 结果保留到个位 分析 第1年产量为5000台 第2年产量为 5000 1 10 5000 1 1台 第3年产量为 5000 1 10 1 10 第n年产量为 则n年内的总产量为 1 数列 2n 1 的前99项和为 A 2100 1B 1 2100C 299 1D 1 299 答案 C 2 在等比数列 an 中 已知a1 3 an 96 Sn 189 则n的值为 A 4B 5C 6D 7 答案 C 3 已知等比数列 an 中 an 0 n 1 2 3 a2 2 a4 8 则前5项和S5的值为 答案 31 4 在等比数列 an 中 已知a1 a2 an 2n 1 则a12 a22 an2等于 5 设数列 an 是等比数列 其前n项和为Sn 且S3 3a3 求公比q的值 点评 在求含有参数的等比数列的前n项和时 容易忽略对a 1和q 1的讨论 从而丢掉一种情况 题后感悟 错位相减法一般来说 如果数列 an 是等差数列 公差为d 数列 bn 是等比数列 公比为q 则求数列 anbn 的前n项和就可以运用错位相减法 在运用错位相减法求数列的和时 要注意以下四个问题 1 注意对q的讨论 在前面的讨论中 我们已知q是等比数列 bn 的公比 所以q 0 但求和Sn 1 2x 3x2 nxn 1时 就应分x 0 x 1和x 0且x 1三种情况讨论 2 注意相消的规律 3 注意相消后式子 1 q Sn的构成 以及其中成等比数列的一部分的和的项数 4 应用等比数列求和公式必须注意公比q 1这一前提条件 如果不能确定公比q是否为1 应分两种情况讨论 这在以前高考中经常考查 3求和 1 已知数列前n项和sn 2n 1 则此数列的奇数项的前n项的和是 2 设 an 为等差数列 bn 为等比数列 a1 b1 1 a2 a4 b3 b2b4 a3分别求出 an 及 bn 的前10项的和S10及T10