基于小波熵癫痫脑电信号研究

基于小波熵的癫痫脑电信号研究摘 要小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析与处理中得到了很好的应用。而癫痫病的发作原理是大脑神经元突发性异常放电，导致短暂的大脑功能障碍。目前广泛应用的癫痫诊断方法就是对患者的脑电信号进行研究。基于脑电信号和小波变换的基本理论，从基本概念过渡到到小波分析等一系列相关内容，最终引出小波分析中非常重要的 MATLAB 程序。通过对正常人和癫痫病症患者在相同环境下的脑电信号的提取，利用小波熵理论的MATLAB 程序计算出两组脑电信号的小波熵，并进行对比和统计分析。实验分析结果表明癫痫患者和正常人自发脑电信号的小波熵有着显著的差异：在相同状态下，癫痫患者各导联脑电的小波熵大于正常人对应导联的脑电小波熵。相同情况下癫痫患者的脑电信号复杂程度要明显高于健康受测者。这样得出的癫痫患者和正常人的脑电信号的差异，为癫痫病症的诊断与治疗提供有力的依据。关键词：癫痫；小波熵；脑电信号；MATLABABSTRACTWavelet analysis theory , as a new time-frequency analysis tool , has been well applied in the area of signal analysis and processing . And principle of epileptic attack is a sudden abnormal discharge of brain neurons , leading to transient brain dysfunction . At present , the diagnosis method of eeg signals studied is widely applied in patients with epilepsy.Based on the basic theory of eeg signals and wavelet transform , transition from basic concept to the wavelet analysis and a series of related content , then led to very important matlab wavelet analysis . Through to the patients with normal and epilepsy disease of brain electrical signal extraction in the same environment , wavelet entropy theory of matlab to calculate the wavelet entropy of the eeg signals in both groups , and comparison and statistical analysis . Analysis of experimental results show that the epileptic patients and normal person of spontaneous eeg signals wavelet entropy has obvious differences : under the same condition , people with epilepsy wavelet entropy of each lead eeg of corresponding lead is greater than the normal wavelet entropy of eeg ; Epilepsy in patients with brain electric signal complexity is significantly higher than the healthy subjects in the same case. Such of epilepsy patients and normal differences in eeg signals , disease diagnosis and treatment for epilepsy provide powerful basis.Key words: Epilepsy ; The wavelet entropy ; Brain electrical signal ; MATLAB目 录第一章 绪 论 .11.1 研究意义 .11.2 研究思路 .11.3 内容安排 .2第二章 脑电信号及小波分析基本理论 .32.1 脑电信号及其研究方法 .32.1.1 时域分析方法 .42.1.2 频域分析方法 .42.1.3 时频分析方法 .42.1.4 非线性动力学 .52.1.5 同步性分析 .62.1.6 人工神经网络 .72.2 小波分析与小波变换 .72.2.1 小波分析 .72.2.2 小波变换 .82.2.3 多分辨率小波变换 .92.3 小波熵与小波包熵 .102.3.1 小波熵 .102.3.2 小波包熵 .122.3.3 小波包分解层数选择 .132.4 MATLAB 小波工具箱 .142.4.1 MATLAB 小波工具箱的小波分析函数 .142.4.2 MATLAB 提供的各种小波函数 .14第三章 小波熵特征提取与结果分析 .173.1 实验数据的小波包分解 .173.2 基于小波变换的脑电信号多分辨率 分析 .183.3 小波包去噪 .203.4 癫痫患者脑电复杂度的小波熵分析 .203.5 脑电信号采样点小波熵在平均值周围的分布情况 .243.6 脑电信号的方差分析 .27第四章 结 论 .324.1 实验总结 .324.2 工作展望 .32参考文献 .33附录一：英文文献 .34附录二：文献翻译 .41谢 辞 .47第一章 绪 论1.1 研究意义癫痫（epilepsy ）即俗称的 “羊角风”或“羊癫风” ，是大脑神经元突发性异常放电，导致短暂的大脑功能障碍的一种慢性疾病。在临床上表现为突然、短暂的运动、感觉、意识、行为、自主神经或精神状况异常。发作时患者会出现全身强直和抽搐，全身或者双侧肌肉的强烈持续的收缩，肌肉僵直，使肢体和躯体固定在一定的紧张姿势，如轴性的躯体伸展背屈或者前屈等一系列症状。癫痫病做为一种慢性疾病，虽然短期内对患者没有多大的影响，但是长期频繁的发作可导致患者的身心、智力产生严重影响。1、生命的危害：癫痫患者经常会在任何时间、地点、环境下且不能自我控制地突然发作，容易出现摔伤、烫伤、溺水、交通事故等。2、精神上的危害，癫痫患者经常被社会所歧视，在就业、婚姻、家庭生活等方面均遇到困难，患者精神压抑，身心健康受到很大影响。3、认知障碍，主要表现为患者记忆障碍、智力下降、性格改变等，最后逐渐丧失工作能力甚至生活能力。所以癫痫病及早的诊断与治疗对患者的康复及正常的日常生活具有很大的现实意义。1.2 研究思路在目前的科学水平下，脑电信号图检查是诊断癫痫发作和癫痫的最重要的手段，并且有助于预测癫痫的发作和判断癫痫的类型。脑电信号（EEG）是通过大脑表皮记录到的大量神经元细胞的电活动总和，大脑皮层神经元持续的、节律性的电位变化称为自发脑电信号。不同的生理状态及各种病因均会使自发脑电信号表现出不同的模式，如何有效提取脑电信息以反映大脑的各种状态，是人们一直希望解决的课题。传统的对癫痫症脑电的研究多侧重于分析脑电信号的幅值、频率和能量等，而对脑电活动随时间变化的非线性特性分析不多。近年来，人们应用各种信号处理技术分析脑电信号，在脑电的定量分析与辅助诊断方面已经取得了一些进展。非线性动力学方法将人脑看成是一个复杂的非线性系统，脑电是一个复杂的时间序列。小波熵由 Shannon 熵概念的谱熵基础上演变而来，它用小波变换代替傅里叶变换，然后再求其谱熵。小波熵反应了信号的复杂程度。基于小波熵的特点，本文将小波熵理论引入到癫痫患者的脑电复杂性研究中，通过分析癫痫患者和正常人自发脑电信号在相同的环境下的小波熵的变化，并结合脑电复杂度理论来分析它们之间的差异。试图为癫痫症的病理诊断、疗效评估提供一定的参考依据。1.3 内容安排本文的主要研究内容是脑电信号的小波熵分析，具体内容安排如下：第二章简单介绍本次研究所需要涉及到的理论基础知识，阐述了脑电信号的一般分析方法及小波理论的基本概念。第三章运用 MATLAB 仿真对脑电信号进行提取及小波熵特征分析，将癫痫患者与健康受测者的脑电信号分析结果进行分析对比，并对实验结果进行研究。第四章总结本次实验的结论，为癫痫症的病理诊断、疗效评估提供一定的参考依据。第二章 脑电信号及小波分析基本理论2.1 脑电信号及其研究方法大脑是一个复杂的系统，脑科学的研究是目前世界上研究的重点与难点之一。目前有效可行的方法是利用脑电信号对大脑进行相关研究。脑电是脑神经细胞的电生理活动在大脑皮层和头皮表面表现出的电位变化。其通过头皮或皮层用双极或者单击电极记录，反应了大脑神经元的电活动。EEG 脑电信号包含了大量的生理与病理信息，经常用于脑部疾病、精神疾病、睡眠分析等脑科学相关研究。EEG 脑电信号是一种复杂的非平稳随机信号，具有信号微弱，个体差异大等特点，所以如何有效地提取其中的有用信息是脑科学研究的棘手问题。大脑在不同的生理、病理状态下，大脑皮层的 EEG 是不一样的。1929 年，Berger首次记录到了人的 EEG 脑电信号，经过多年的研究，EEG 信号分析取得了巨大的进展。1932 年 Dietch 首先运用傅里叶变换对 EEG 信号进行了相应分析，之后相继有了时域分析、频域分析等方法。今年来随着计算机技术、信号处理技术的快速发展时频分析、非线性分析，人工神经网络等现代方法也陆续运用在 EEG 脑电信号分析上面 1。通过上述方法提取 EEG 信号的特征，可为某些大脑疾病提供临床上的诊断依据并进一步给予有效地治疗，具有重要的临床应用价值。脑电信号分析方法时 域 分 析频 域 分 析时 频 分 析非线性动力学熵周期幅度分析F u j i m o r i 法自回归 A R 模型法平均周期图法W e l c h 方法傅里叶变换小波变换关联维数L y a p u n o v 指数递归图量化分析香农熵 、 谱熵 、相干熵 、 能量熵、 排序熵 、 小波熵图 2-1 常用脑电信号的分析方法2.1.1 时域分析方法时域分析方法是 EEG 脑电信号研究最早发展起来的分析方法，最早 EEG的分析就是直接从时域提取波形特征, 时域分析方法的主要优势在于时域波形含有 EEG 的全部信息，不但可以描述单个脑电波的周期与幅度，同时还不需要假定 EEG 是平稳的，因此具有较强的直观性、明确的物理意义。在 EEG 信号定量化分析中占有重要位置。时域分析方法主要是指直接提取 EEG 信号的波形特征参数，如幅度峰值检测、过零节点分析、方差分析、直方图分析、相关分析等。大脑的一些重要信息可以在时域上得到体现，如癫痫 EEG 信号的棘慢波、尖慢波，睡眠 EEG 信号的梭行波等 6。2.1.2 频域分析方法频域分析方法主要是从频域提取 EEG 脑电信号的信息，对信号进行相关特征提取。主要是对 EEG 进行功率谱估计，也就是把 EEG 的幅度随着时间变化转换成 EEG 功率随着频率变化的谱图，这样可以直接从中观测到 EEG 的各个节律波的分布及变化的状况，主要分为非参数谱估计及参数谱估计。功率谱估计是非参数谱估计的一种重要手段。其主要思想是：把 EEG 信号在时域范围内的幅度变化转变为频域范围内的频域变化，从而可以直接观察到 EEG 信号变化的节律与分布。经典的谱估计方法之一是通过直接定义有效长的数据，计算其相关函数，之后通过傅里叶变换得到功率谱估计（维纳辛钦定理） 。但是其存在的问题是估计的方差特性不理想，并且随着脑电数据的增长，效果越不理想。为了克服这个问题，学者们提出了一系列改进的方法，如平均周期图法、Welch 方法、加窗周期图法等。参数谱估计是假定所分析信号是通过某种函数形式已知的模型（常用的模型有滑动平均模型、自回归模型和谐波信号模型）产生的，再估计模型中的参数，进而得到谱特性，其显著优点是在高信噪比的条件下频率分辨率高，且模型阶数越高分辨率越好，特别适用于对短数据进行处理的场合 6。EEG 脑电信号是非平稳、时变随机信号。在不同时间包含了不同频率成分，所以单纯从时域或频域不能准确地分析 EEG 脑电信号。需要把时域与频域结合起来对 EEG 信号进行分析。2.1.3 时频分析方法短时傅里叶变换是最简单的时频分析方法，但是其最主要的缺点在于需要在时间分辨率和频率分辨率之间进行权衡，这对处理 EEG 信号带来了极大的不便。小波变换分析方法（将在下一章详细介绍）弥补了这一缺点，能够在时域与频域同时进行相应的分析，具有多分辨率分析的优点，是目前应用比较广泛的时频分析方法，有“数学显微镜之美称” 6。2.1.4 非线性动力学混沌理论是一门研究非线性系统的新兴学科。混沌是非线性动力学的一种内在属性，是自然界的一种客观存在。其发现是 20 世纪物理学继相对论与量子力学之后的第三次重大发现。对非线性系统进行数据分析时，使用以前的方差、均值、自相关函数和相关系数等统计学工具已无法准确解释观察到的现象，自从 19 世纪法国 Henri Poincare 猜测非线性动力学系统中可能存在混沌现象以后，非线性动力学（也叫混沌理论）的各种方法得到飞速发展，逐步被应用到生物学、医学、生理心理学、天体物理学、气象学及流体力学等很多学科领域中，这种从非线性动力学中衍生出来用于研究 EEG 的时间序列分析技术也许是对不可预测的 EEG 震荡最有力的解释。很多研究表明：大脑是一个复杂的非线性动力学系统，其具有内在确定性混沌的本质。EEG 脑电信号具有非线性的混沌特性，因此很多学者将非线性分析方法用于 EEG 信号分析。例如：通过分析 EEG 信号的非线性动力学特征指数、相关维数、最大李雅普诺夫指数、复杂度、近似熵等，提取EEG 脑电信号的相应特征。实验证明：当 大脑功能受损时，非线性动力学的特征指数发生变化。这说明了利用非线性动力学混沌算子分析 EEG 信号是可行的。EEG 非线性动力学的应用，不但给正常和紊乱的脑功能的研究开辟了一系列新的前景，同时正朝着一个新的非线性脑动力学的交叉学科领域发展。1985 年脑电领域的两位先驱者发表了他们的第一个成果，这也标志着非线性脑电分析的开始，Rapp 等人用在猴子运动皮层产生自发神经活动的混沌分析来描述他们得到的结果，Babloyantz 和他的同事们首次报道了他们对人类睡眠EEG 的关联维数的观察资料。在早期时候，即使是最基本类型的非线性脑电分析也要依赖于超级计算机，然而，Rapp 和 Babloyantz 开创性的工作不仅要依赖于超级计算机的可用性，而且还依赖于在非线性动力系统中物理和数学方面的进展。虽然我们不能把非线性动力学方法看做是灵丹妙药，对于其在许多情况下的实用性依然存在着很大争议，但是至少它为时间序列分析提供了一组有用的工具，而且提供了一种全新的思路。常见的刻画非线性动力学特性的参数有关联维数、Lyapunov 指数、熵和复杂度等，其中最为常用的量化指标就是 Grassberger 和 Procaccia 提出的关联维数，关联维数不仅是可计算的维数类型，它还是比信息维数等更简单易算的方法，通过它可以用低维混沌理论及算法去分析研究 EEG 信号 6。确定性混沌主要的特征是其未来状态对初始条件的敏感依赖性，只要初始状态有任何微小不确定性其将按指数速度扩大，Lyapunov 指数就是描述这一增长率的一个重要参数，它是量化了无穷小初始误差的平均指数增长率，当它为正时，吸引子附近的轨迹呈发散状态；当它为负时，吸引子附近的轨迹呈收敛状态。熵的概念与Lyapunov 指数是密切相关的，被定义为信息随着时间推移的损失率，等于一切正 Lyapunov 指数的总和，正熵表示混沌动力学，Grassberger 和 Procaccia 表明熵可以从关联积分中确定，其他计算熵的算法如基于非线性预测的熵、近似熵、最大概率熵、粗粒熵和多分辨率熵等。复杂度也是一种非线性测度，其中受到广泛关注的复杂度算法是由 Lempel 和 Ziv 两个人提出来的，后被称为 LZ 复杂度，表征了一个数据序列里出现新模式的速率，其值越高，说明出现新模式的概率越大，同时也说明动力学行为越复杂。2.1.5 同步性分析EEG 的同步是大脑不同区域间进行信息传送和处理的一个典型特征，因此学者们使用很多同步方法探索大脑不同功能区域间是如何相互作用的以及在不同类型的病理中这种相互作用是如何改变的等等，EEG 的同步性分析大体上可分为两种即线性与非线性分析。上个世纪五六十年代，学者们利用互相关方法来估计两个同时测得的 EEG 间的相关性，随着人们深入了解 EEG 的节律和生理意义，基于快速傅立叶变换的相干法被引入 EEG 分析中，此法是在频域里计算出两个 EEG 之间的线性相关性，适合分析某些频段信号的同步现象。随后，Rosenblum 等人证明出耦合混沌振荡器即使其幅度不相关也可以显示出相位同步，使用希尔伯特变换或小波变换计算出的相同步法是由两个时间序列之间相位差的非均匀分布刻画的，与互相关和相干法不同的是它不依赖于信号的幅度，并可能更适合跟踪非平稳及非线性动态，但其仅在振荡或周期系统中有意义。Pereda 等人引入非线性相互依赖性的概念，定义了两个时间序列间的非线性依赖程度，且它不再假设系统是相互作用，不过，作者自己也指出非线性相互依赖性不适合于耦合系统，而且会受到相互作用系统的自由度和复杂性的影响。基于信息理论的互信息除了可以直接应用于 EEG 动态特性分析中，还可以用在EEG 同步性分析中，互信息显示出某一随机变量含有另一随机变量的信息，常用来度量一个信号中两个线性或非线性时间序列的互相依赖程度，因此，可利用互信息来衡量不同导 EEG 间的相关程度及分析大脑不同区域间 EEG 活动的相互作用。Alanso 等人观察药物对大脑互联性的影响，通过互信息方法分析后发现服用阿普唑仑和安慰剂的实验者不同导 EEG 间的互联性有显著差别；Jeong 等人证明精神病人的大脑两半球之间的互信息高于正常人，同样的结果也出现在老年痴呆症患者前颞叶和额叶之间 6。随着各种各样的 EEG 分析技术的不断涌现，研究者对这些方法孰优孰劣的看法不一致，没有哪一种方法能够全面地刻画 EEG 特性，因此需要采用各种方法全面描述 EEG 各个方面的特征。2.1.6 人工神经网络人工神经网络是一种新兴的研究方法，是对人脑或自然神经网络若干基本特性的抽象与模拟，反映了人脑的基本特性。人工神经网络以对大脑的生理研究成果为基础，其模拟大脑的工作机制，实现某个方面的功能。神经网络广泛应用于模式识别，特征提取等领域。在区分正常 EEG 信号与非正常 EEG 信号上，神经网络更加接近于人的分析。2.2 小波分析与小波变换2.2.1 小波分析小波分析是近 15 年来发展起来的一种新的时频分析方法。顾名思义， “小波”就是小的波形。所谓“ 小”是指它具有衰减性；而称之为“波” 则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。它区别于传统的应用与频域分析的傅里叶分析。在传统的傅里叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时域信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率信息对其是非常重要的。但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅里叶分析进行推广，提出了很对能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅里叶变换、Gabor变换、时频分析、Randon-Wigner 变换、小波变换等 2。其中短时傅里叶变换是在傅里叶分析基础上引入时域信息的最初尝试其基本假定在于一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信号，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。换言之，短时傅里叶变换只能在一个分辨率上进行。所以对很多应用来说还不够精确，存在很大的缺陷。而小波分析则克服了短时傅里叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率；在高频情况下（频率变换不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。因为这些特点，小波分析可以探测正常信号中的瞬态成分，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近 10 年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 Fourier 变换相比， 小波变换是空间 (时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间尺度分析 和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果 3。事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少 B 超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等 4。 (1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 2.2.2 小波变换小波变换的概念最早是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet 在 1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式 5。如果小波需要形成一个正确的正交基，那么它就具有将任意函数唯一分解并且能够还原回去也即重构的优点，小波是一个平滑的且能快速消灭震荡的函数，无论是在频域还是时域都有很好的定位，小波族 是由一个唯一的基小波)(,tba扩大和平移后得到的一个基函数：)(t（2-1 ）)()(2/1, attba其中，a,bR , a0 分别是尺度和平移参数，t 是时间，尺度参数 a 的基本作用是将基小波做伸缩，对于一个持续时间有限的小波来说，在不同尺度的分析时段下，当 a 增大时，小波将变得很窄。对于每一个 a 和 b，信号 S (t )L 2 ( R)的连续小波变换定义为函数 S(t)和 的相关性，即：ba,（2-2） badttSbaSW,*2/1)(),( 对于一个特定的基小波函数 和参数 a 和 b 的离散集 , , t jj2Kjkj,kZ,则, j,kZ （2-3）)2()(/, kttjjkj 组成了 Hilbert 空间 L2( R )的标准正交基，则相应的离散小波变换便可定义为：（2-4） kjjjj SdttSSW,*2/ )()1,( 它提够了一个信号不多余的表现方法并且它的值组成了小波序列中的系数，这些小波系数不但提够了完整的信息而且对不同尺度上的局部能量也有直接的估计,此外，这些信息能够在不同的尺度下重构。给定一个采样序列 S=S0(n),n=1,2M，统一的采样时间为 ts 为了简单取采样时间若在所有层 上都能够分解，则小波展开级数为：)(log2MN（2-5）11, )()()jkNjjkjj trtCtS其中，小波系数 被定义为连续信号估计值在尺度 j 和 j+1 之间的局部残留(kCj误差， 是在尺度 j 上的残留信号，相当于包含着在频率)(trj上sjsj 221的信息。)(tS2.2.3 多分辨率小波变换小波变换是一种把时间、频率（或尺度）两域结合起来的分析方法，在频域和时域都能获得较满意的分辨率。设时间函数 为一基小波或母小波，将)(t其伸缩和平移成为一个小波序列：a,R;a0 （2-6）)(1,ata其中,a 是尺度因子 , 为位移因子 ,信号 f(t)的连续小波变换为：（2-7）dtatfWf)()1),(*其重构公式（逆变换）为： （2-8）dataWCtff )(,1)(2当小波变换公式中的尺度因子 a 和平移因子 连续取值时，称为连续小波变换；当两因子离散化取值时，称为离散小波变换。常用的二进离散化公式为 ，ja2(j=0,1k 为正整数 )，此时得到的小波序列为：kjkj2,（2-9）)2(/, kttjjkj 2.3 小波熵与小波包熵2.3.1 小波熵熵（entropy）指的是体系的混乱的程度，用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大。一个体系的能量完全均匀分布时，这个系统的熵就达到最大值。小波熵是信号能量在子空间分布无序程度的一种度量。事实上，一个非常有序的信号是窄带信号（如单一频率的周期信号），相对小波能量为 1，而其他频带的相对小波能量为 0，因此这个有序信号的小波熵为 0 或非常接近 0；一个能量分布非常均匀的信号， 所有频带的相对小波能量近似相等，因此小波熵将是一个比较大的值。关于熵的概念，有很多种定义方法，可以根据使用场合不同选择不同的熵，其中使用最多的就是 Shannon 熵。Shannon 熵理论指出:对于一个不确定性系统,若用一个取有限个值的随机变量 X 表示其状态特征, 取值为 的概率为iX， i=l,2,n, 且 ,则 X 的信息熵定义为:iixXPpnip1（2-10）niipH1)/l()(1) 信息熵可用来定量估计随机信号的复杂性.基于 Shannon 熵概念的谱熵是一种信息熵,可用于分析信号的复杂度。信号功率谱中存在的谱峰越狭窄,谱熵越小,表示信号中存在明显的振荡节律,复杂度小;反之,功率谱越平坦,谱熵越大。但是基于傅立叶变换的功率谱估计仅适用于平稳信号,并且谱估计的频率分辨率与所采用的信号长度成正比,短时间窗会引起较严重的旁瓣泄漏效应,使功率谱失真。小波变换可以在时域和频域同时定位分析非平稳时变信号。用小波变换取代傅立叶变换,求得的谱熵称为小波熵,将更适合于分析脑电信号 7。将信号进行二进离散小波变换,可分解成不同尺度下的各个分量,得到小波系数 。利用这些小波系数就能够直接估计出不同尺度下的能量。二进离)(kCj散小波变换的实现过程相当于重复使用一组高通和低通滤波器,对时间序列信号进行逐步分解,每次分解后,将信号的采样频率降低 1 倍,再对低频分量重复以上的分解过程,从而得到下一层次的 2 个分解分量。设信号经上述变换后,在第 j分解尺度下 k 时刻的高频分量系数为 ,低频分量系数为 ,进行单支重构kjcDkjcA后,得到信号分量 和 。jDjA不同分辨率 j 的细节信号能量为 。其中小波系数2|)(|CEjkj而信号总能量即为： )(,)(txkCkjj（2-11）jjkjto Etx22|)(|)(2) 因此，归一化后的相对小波熵 。显然 。类似于tojjPjP1Shannon 熵,小波熵定义为：（2-12）)ln(jWEj因此，小波熵 WEE 可以反映出多频率成分信号的混乱程度并提供信号的动力学特征。将其作为脑电信号复杂性的指标。基于小波熵的特点，本文将小波熵理论引入到癫痫患者的脑电复杂性研究中，通过比较癫痫患者和正常人在相同的环境下脑电信号的小波熵，并结合脑电复杂度理论来分析它们之间的差异。试图为癫痫的病理诊断、疗效评估提供一定的参考依据。小波熵值除了由信号本身特性决定之外，还取决于小波包的分解层数和 Pn两个因素的影响。 一般而言，分解层数越多， 小波熵值增大； Pn 为第 n 个子空间信号能量与信号总能量之比，当信号特性不变时，总能量是 Pn 值的主要影响因素，从而导致小波熵值发生变化。2.3.2 小波包熵在小波分解中，随着分解层数的增加小波逐渐聚焦低频方向，而小波包分解是对小波变换的一种改进，在对低频信号分解的同时也能够分解高频段信号，即在所有的频率范围内聚焦，从而得到比小波变换更精细的信号分解，它相当于用一对带宽相等的高通滤波器和低通滤波器对原始信号进行滤波 8。我们把信号通过第一层高通和低通滤波器后得到一个逼近系数向量 与细节系数向量1A,下一步是用相同的方法将逼近系数向量 分裂成两部分既 和 ,将细12A1A21A节系数向量 分裂成两部分既 和 ，以此类推。分解到第 j 分辨层后便得12234到 个等带宽的子信号，系数分别为 ， i=1,2 , 可通过以上系数重构。j ji j2与小波分析的结果相比,小波包分析能获得更丰富的时频局域信息,更适合非平稳随机信号的分析与检测。小波包分解原理如下图所示：图 2-2 小波包分解原理示意图在脑电信号节律特性分析中，常见的是将节律波的能量作为对脑电信号进行识别与分类的特征量，因此信号的能量可作为对信号进行特性提取的一个显著特征量,熵是用来表征复杂度的一个典型的物理量，本节主要应用小波包变换的频率划分特性提取脑电信号的不同节律，在此基础上利用小波包熵分析不同大脑功能状态下的脑电信号复杂程度。基于傅里叶变换和信息论推导而来的传统谱熵能够刻画出信号功率谱的分散或集中程度，但本章开头曾介绍过傅里叶变换自身存在着缺点，故传统谱熵在时间窗的选取也上存在问题，过短的时间窗会造成频率分辨率过低，过长的时间窗会造成时间分辨率过低，而将具有多分辨率特性的小波包变换与熵相结合才能更好地处理非线性的脑电信号。小波包熵是从小波包分解后的信号序列中计算出的一种熵值，每一个子信号 i 的能量 Ei 就是细节信号和逼近信号的能量之和：(k=1,2M) （2-13）ijikAE2)(其中，M 是采样点的数量，则该信号的总能量 E 即为每个子信号的能量值和： （2-14）jiE2在此基础上定义相对小波包能量 ，每个子信号的相对小波包能量描Pii/述了信号在这个子空间的能量分布的概率，那么相对小波包能量集 ，覆盖信号的整个频率带，很明显：321,p（2-15）1ip香农熵为分析和比较概率分布提供了一个有用的标准，由此，我们定义每一频率带 i 的小波包能量熵及整个信号小波包能量熵：（2-16）iiLnpWPE（2-17）iI小波包能量熵是信号有序和无序程度的一种测量，因此，它能提供和信号有关的潜在动力学过程的有用信息，对于一个非常有序的信号如单一频率的周期信号，其只在唯一的小波包分解层，信号在该分解层内相对小波包能量为1，在其他分解层内则为 0，此时信号的小波包熵为 0；而对于完全随机过程产生的一个信号即无序信号，其将贡献于所有的小波包分解层，若假定其是一个能量分布很均匀的信号，那么在所有频率范围内相对小波包能量将几乎近似相等，此时信号的小波包熵为一个很大的值。2.3.3 小波包分解层数选择由小波熵计算公式知，小波包的分解层数决定了子空间数，即 中 n 的数P目，从而决定小波熵值。分解层数不合理，导致小波熵缺乏可比性，甚至错误，因此明确小波包分解层数的选择原则对于脑电信号小波熵计算结果的准确性、结果之间比较的可信性尤为重要。分解层数的选择一般遵循如下原则：（1）如果是单频带信号（或者窄带信号），为了小波熵结果的准确性，分解层数应为 1，实际上对于单频带信号没有计算小波熵的必要。（2）如果是宽频信号，首先应确定信号分析所需最小频带（根据实际分析的需要确定） ，根据小波包分解特性， ；L 为需要的分解nedf )/(1nedfBxbL层数，当 L 为小数时，向上取整， 为信号带宽。如果信号带宽 =100Hz, BxBx=5Hz,则 / =20；L 向上取整为 510。nedfBxnedf2.4 MATLAB 小波工具箱2.4.1 MATLAB 小波工具箱的小波分析函数MATLAB 小波工具箱中提供了大量的小波分析函数，用户可以利用这些函数完成需要的功能。按照函数的用途可以对它们进行分类，主要包括小波工具箱图形用户接口函数、通用小波变换函数、小波函数、一维连续小波变换函数、一维离散小波变换函数、二维离散小波变换函数、小波包变换函数、离散平稳小波变换函数、提升小波变换函数、Laurent 多项式函数、Laurent 矩阵函数、信号/ 图像的压缩和去噪函数、其他小波应用函数、树管理函数以及其他函数。小波工具箱提供了两种进行信号分析的方法，一种是使用命令行方式，另外一种就是使用小波工具箱图形用户接口方式。在图形用户接口方式下，用户无需编写任何程序，只要通过菜单操作和各种参数的选择就可对信号进行小波分析。在命令窗口中输入 wavemenu，即可进入小波工具箱图形用户接口界面 15。2.4.2 MATLAB 提供的各种小波函数MATLAB 小波工具箱提供的通用小波变换函数如表 2-1 所示。用户可以利用这些函数实现计算与小波相关的滤波器组、进行信号的插值和采样、计算小波函数和尺度函数以及小波管理等功能。表 2-1 通用小波变换函数函数名 说 明 函数名 说 明biorfilt 双正交小波滤波器组scal2frq 尺度对应频率centfrq 计算小波中心频率 wavefun 尺度函数dyaddown 二元采样 wavefun2 二维尺度管理dyadup 二元插值 wavemngr 小波管理intwave 积分小波函数 wfilters 小波滤波器组orthfilt 正交小波滤波器组 wmaxlev 最大小波分解尺度qmf 镜像二次滤波器MATLAB 小波工具箱提供的小波变换函数如表 2-2 所示，它们主要用于产生一些基本的小波函数及其相应的滤波器。表 2-2 小波变换函数函数名 说 明 函数名 说 明biorwavf 双正交样条小波滤波器 mexihat 墨西哥帽小波cgauwavf 复 Gaussian 小波 meyer Meyer 小波cmorwavf 复 Morlet 小波 meyeraux Meyer 小波辅助方程coifwavf Coiflet 小波滤波器 morlet Morlet 小波dbaux Daubechies 小波滤波器计算rbiowavf 反向双正交样条小波滤波器dbwavf Daubechies 小波滤波器 shanwavf 复 Shannon 小波fbspwavf 复频域 B-样条小波 symaux Symlet 小波滤波器计算guaswavf Gaussian 小波 symwavf Symlet 小波滤波器MATLAB 中的一维连续小波变换函数如表 2-3 所示。用户可以利用它们由某一模式构造用于连续小波变换的小波函数，还可以进行一维连续实小波或复小波变换。表 2-3 一维连续小波变换函数函数名 说 明Cwt 一维连续实小波或复小波变换Pat2cwav 由某一模式构造小波Wscalogram计算连续小波变换系数的能力百分比MATLAB 小波工具箱提供的小波包变换函数如表 2-4 所示。用户可以利用这些函数实现一维小波包分解、二维小波包分解、提取小波包分解结点系数、小波包重构、小波包树结构结点的组合和分割等功能。表 2-4 小波包变换函数函数名 说 明 函数名 说 明bestlevt 计算最佳小波包树 wpdec2 二维小波包分解besttree 计算最佳树 wpfun 小波包函数entrupd 小波包熵更新 wpjoin 小波包重组wnerngy 小波或小波包分解的能量wprcoef 小波包系数的重构wp2wtree从小波包树种提取小波树wprec 一维小波包重构wpcoef 提取小波包系数 wprec2 二维小波包重构wpcutree 剪切小波包树 wpsplt 分解小波包wpdec 一维小波包分解 wentropy计算小波包的熵小波工具箱包含大量的小波函数，但是对于一些特殊的应用要求，可能需要添加新的小波函数。这时就可以通过新建 MAT 文件来定义新的小波函数，本实验中的小波熵的计算并没有引用小波工具箱中的现有的小波熵计算公式，而是通过自定义得到的。第三章 小波熵特征提取与结果分析本文引用的两组 EEG 数据是分别从 100 位癫痫患者与正常人的大脑中提取出来的脑电信号，这些脑电信号的采样频率范围为 0173Hz，提取其中 060Hz 频段的频率。根据小波包分解层数的选择原理，对 EE