高中数学选修1-2反证法ppt课件.ppt

1 直接证明与间接证明 反证法 2 直接证明 1 综合法 2 分析法 由因导果 执果索因 3 古时候有个人叫王戎 7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩 看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了 小伙伴们都跑去摘 只有王戎站着没动 他说 李子是苦的 我不吃 小伙伴摘来一尝 李子果然苦得没法吃 路边苦李 小故事 4 小伙伴问王戎 这就怪了 你又没有吃 怎么知道李子是苦的啊 王戎说 如果李子是甜的 树长在路边 李子早就没了 李子现在还那么多 所以啊 肯定李子是苦的 不好吃 5 例 小华睡觉前 地上是干的 早晨起来 看见地上全湿了 小华对婷婷说 昨天晚上下雨了 您能对小华的判断说出理由吗 如果昨天晚上没有下雨 那么地上应是干的 这与早晨地上全湿了相矛盾 所以说昨晚下雨是正确的 6 定义 在证明一个命题时 人们有时先假设命题不成立 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛盾 或者与定义 公理 定理等矛盾 从而得出假设命题不成立是错误的 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 反证法 7 发生在身边的例子 妈妈 小华 听说邻居小芳全家这几天都外出旅游 小华 不可能 我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢 上述对话中 小华要告诉妈妈的命题是什么 他是如何推断该命题的正确性的 小芳全家没外出旅游 小芳全家没外出旅游 假设小芳全家外出旅游 那么今天不可能碰到小芳 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾 所以假设不成立 所以小芳全家没外出旅游 8 证明 在一个三角形中至少有一个角不小于60 引例 已知 A B C是 ABC的内角 求证 A B C中至少有一个不小于60 9 已知 A B C是 ABC的内角 求证 A B C中至少有一个不小于60 证明 假设的三个内角A B C都小于60 A B C 180 10 反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 从这个假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 11 归缪矛盾 1 与已知条件矛盾 2 与已有公理 定理 定义矛盾 3 自相矛盾 12 适宜使用反证法的情况 1 结论以否定形式出现 2 结论以 至多 至少 形式出现 3 唯一性 存在性问题 4 结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题 13 常见否定用语 是 不是有 没有等 不等成立 不成立都是 不都是 即至少有一个不是都有 不都有 即至少有一个没有都不是 部分或全部是 即至少有一个是唯一 至少有两个至少有一个有 是 全部没有 不是 至少有一个不 全部都 14 反馈练习 假设互补的两个角都大于90 假设 ABC中 至少有两个钝角 15 2 已知 ABC中 AB AC 求证 B180 这与三角形内角和定理相矛盾 2 所以 B 90 3 假设 B 90 4 那么 由AB AC 得 B C 90 即 B C 180 这四个步骤正确的顺序应是 A 1 2 3 4 B 3 4 2 1 C 3 4 1 2 D 4 3 2 1 反馈练习 C 16 例1 用反证法证明 如果a b 0 那么 17 例2 求证 是无理数 18 总结提炼 1 用反证法证明命题的一般步骤是什么 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾 与假设矛盾 与已知定义 公理 定理矛盾 自相矛盾等 反设 归谬 结论 2 用反证法证题 矛盾的主要类型有哪些 19 推理 合情推理演绎推理 归纳 类比 三段论 证明 直接证明间接证明 分析法 综合法 反证法 数学 公理化思想 20 备选 1 平面内有四个点 没有三点共线 求证 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形 记四个点为A B C D 考虑点D在之内或之外两种情况 1 如果点D在之内 根据假设 都为锐角三角形 所以 这与一个周角为360 矛盾 21 演练反馈 1 平面内有四个点 没有三点共线 证明 以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 1 如果点D在之外 根据假设 都是锐角三角形 即 这与四边形内角和矛盾 所以 综上所述 假设不成立 从而题目结论成立 即这些三角形不可能都为锐角三角形 22 用反证法证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 O中 弦AB CD交于点P 且AB CD不是直径 求证 弦AB CD不被P平分 例1 证明 假设弦AB CD被P平分 连结AD BD BC AC 因为弦AB CD被P点平分 所以四边形ADBC是平行四边形 所以 因为ABCD为圆内接四边形 所以 因此 所以 对角线AB CD均为直径 这与已知条件矛盾 即假设不成立 所以 弦AB CD不被P平分 23 用反证法证明 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 已知 如图 在 O中 弦AB CD交于点P 且AB CD不是直径 求证 弦AB CD不被P平分 例1 由于P点一定不是圆心O 连结OP 根据垂径定理的推论 有 所以 弦AB CD不被P平分 证明 假设弦AB CD被P平分 即过点P有两条直线与OP都垂直 这与垂线性质矛盾 即假设不成立 证法二 OP AB OP CD 24 2 已知a 0 证明x的方程ax b有且只有一个根 备选 25 探究2 已知a 0 关于x的方程ax b有解吗 探究1 将9个球分别染成红色或白色无论怎样染色 至少有5个球一定是同色的 正确吗 反证法 解唯一吗 26 例1 给定实数设函数求证 经过函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴 27 28 方法总结 推出矛盾 可通过特殊值进行说明 29 例4 已知0 a 3 函数f x x3 ax在区间 1 上是增函数 设当x0 1 f x0 1时 f f x0 x0 求证 f x0 x0 分析 要求证明存在某个对象具有某种特殊性质 而我们又无法具体地指出这个对象来 如本例 此时应考虑用反证法来解决 30 证明 假设f x0 x0 则必有f x0 x0或f x0 x0 1 由f x 在 1 上为增函数 则f f x0 f x0 又f f x0 x0 x0 f x0 与假设矛盾 若x0 f x0 1 则f x0 f f x0 又f f x0 x0 f x0 x0也与假设矛盾 综上所述 当x0 1 f x0 1且f f x0 x0时有f x0 x0 31 已知p3 q3 2 求证 p q 2 证明 假设p q 2 那么p 2 q p3 2 q 3 8 12q 6q2 q3 将p3 q3 2代入得 6q2 12q 6 0 即6