第十章 组合变形

1 第十章 组合变形 10 1 组合变形的概念 在工程实际中 受力构件往往同时发生两种或两种 以上的基本变形 若与各种基本变形形式相应的应 力应变是同量级而不能忽略 则构件的变形称为组 合变形 在线弹性 小变形条件下 可利用叠加原 理对组合变形杆件进行强度计算 A 组合变形强度计算的求解思路 B 组合变形强度计算的步骤 1 外力分析 2 内力分析 3 应力分析 4 强度分 析 10 2 斜弯曲 一 受力特点 杆件上的外力不是作用在其纵向对称截面内 二 变形特点 杆变形后杆挠曲线不在纵向对称截面内 三 外力分析 a 外力沿对称轴的分解 b 当 F y 单独作用时 为一 xy 纵向对称平面弯曲 Z 为中性轴 c 当 F z 单独作用时 为一在 xz 纵向对平面弯曲 y 为中性轴 结论 由叠加原理 斜弯曲实质为两个纵向对称平 面弯曲的组合 四 内力分析 现考察距自由端为 x 的横截面上内力 F y 单独作用 弯曲发生在 xy 平面 以 z 轴为中性轴 Fz 单独作用 弯曲发生在 xz 平面 以 y 轴为中性 轴 同理可得 2 作该梁的弯矩图 危险截面在固定端 因剪力引起的剪应力较小 故一般不考虑 五 应力分析 现计算 x 横截面上任意一点 z y 处的正应力 1 M y 引起的弯曲正应力 2 M z 引起的弯曲正应力 3 由叠加原理知 总应力等于上述两者的代数和 下面分析 x 横截面上的危险应力点 六 强度条件 由梁的危险截面在固定端截面 且梁的危险应力点为固定端截面左上角点或右下角 点 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态 故其 强度条件 可求三类问题 a 强度校核 b 设计截面 c 求 许可载荷 若材料许用拉 压应力不等时 应分别建立其抗拉 抗压强度条件 七 中性轴位置与挠度的计算 a 中性轴位置 中性轴特征 0 令 y 0 z 0 代表中性轴上任一点的坐标 斜弯曲中性轴 是一条通过截面形心的斜直线 一 般情况下 中性轴不与外力垂直 b 挠度计算 中性轴的位置 一般中性轴与载荷作用线不相垂直 变形与挠度 挠曲线平面与中性轴仍然互相垂直 3 例 图示矩形截面梁 截面宽度 b 90mm 高度 h 180mm 梁在两个互相垂直的平面内分别受有 水平力 F 1 和铅垂力 F 2 已知 F 1 800N F 2 1650N L 1m 试求梁内的最大弯曲正应力并 指出其作用点的位置 解 a 外力分析 F z F 1 F y F 2 b 内力分析 a F 1 单独作用时 b F 2 单独作用时 由图知梁上固定端截面为危险截面 c 应力分析 最大拉应力点为右上角点 最大压应力为左下角点 由叠加原理有 a F 1 单独作用时 b F 2 单独作用时 例 一般生产车间所用的吊车大梁 两端由钢轨支撑 可 以简化为简支梁 如图示 图中 l 4m 大梁由 32a 热轧普通工字钢制成 许用应力 160MPa 起吊的重物重量 F 80kN 且作用在梁的中点 作 用线与 y 轴之间的夹角 5 试校核吊车大梁 的强度是否安全 解 a 外力分析 b 内力分析 a F y 单独作用时 b F z 单独作用时 c 应力分析 危险截面 C 上最大压应力点在右上角点 最大拉应 力在左下角点 由叠加原理有 查表 d 强度校核 强度不满足要求 e 讨论 0 max 115 6 MPa 72 3 吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊 不允 许在大梁的侧面斜方向起吊 10 3 拉伸 压缩 与弯曲的组合变形 一 受力特点 4 作用在杆件上的外力既有轴向拉 压 力 还有横 向力 F 1 产生平面弯曲变形 F 2 产生轴向拉伸变形 二 变形特点 杆件将发生拉伸 压缩 与弯曲组合变形 三 内力分析 三 内力分析 横截面上内力 1 拉 压 轴力 F N 2 弯曲 弯矩 M Z 剪力 F S 因为引起的剪应力较小 故一般不考虑 作内力图如右 跨中截面是杆的危险截面 四 应力分析 任意横截面上任一点 z y 处的正应力计算公式为 1 拉伸正应力 2 弯曲正应力 3 由叠加原理 则该点处总正应力 4 计算危险点的应力 拉伸正应力 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点处的拉应力最大 上边缘各 点处的压应力最大 五 强度条件 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态 故其 强度条件 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时 应分 别建立杆件的抗拉 抗压强度条件 例 如图示一矩形截面折杆 已知 F 50kN 尺寸 如图所示 30 1 求 B 点横截面上的应力 2 求 B 点 30 截面上的正应力 3 求 B 点的主应力 1 2 3 例 图示简支刚架由两根无缝钢管制成 已知钢管 的外径为 140mm 壁厚 10mm 试求危险截面上 的最大拉应力和最大压应力 5 10 4 偏心拉伸 压缩 一 单向偏心拉伸 压缩 外力特征 与轴线平行且必过一截面对称轴 二 双向偏心拉伸 压缩 外力特征 与轴线平行且不过任一截面对称轴 三 截面核心 当外力作用在截面核心的边界上时 与此相应的中 性轴正好好与截面的周边相切 截面核心的边界就 由此关系确定 截面核心 当外力作用点位于包括截面形心的一个 区域内时 就可保证中性轴不穿过横截面 整个截 面上只有拉应力或压应力 此区域就称为截面核心 圆形截面的截面核心 6 矩形截面的截面核心 例 矩形截面柱如图所示 F 1 的作用线与杆轴线 重合 F 2 作用在 y 轴上 已知 F 1 F 2 80kN b 24cm h 30cm 如要使柱的 m m 截面只出现压应力 求 F 2 的偏心距 e 例 图示矩形截面杆受轴向拉力 F 12 kN 材料的 许用应力 100MPa 求切口的容许深度 x 不计 应力集中的影响 已知 b 5 mm h 40 mm 10 5 弯曲与扭转的组合变形 研究对象 圆截面杆 受力特点 杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点 发生扭转和弯曲两种基本变形 一 外力分析 设一直径为 d 的等直圆杆 AB B 端具有与 AB 成直 角的刚臂 研究 AB 杆的内力 将力 F 向 AB 杆右端截面的 形心 B 简化得 横向力 F 引起平面弯曲 力偶矩 M Fa 引起扭转 AB 杆为弯 扭组合变形 二 内力分析 画内力图确定危险截面 7 三 应力分析 危险截面上的危险点为 C 1 和 C 2 点最大扭转切应 力 t 发生在截面周边上的各点处 危险截面上的 最大弯曲正应力 发生在 C 1 C 2 处 对于许用拉 压应力相等的塑性料制成的杆 这点 的危险程度相同的 可取任意点 C 1 来研究 C 1 点单元体应力状态如图 四 强度分析 说 明 例 传动轴如图所示 在 A 处作用一个外力偶矩 m 1kN m 皮带轮直径 D 300mm 皮带轮紧边拉 力为 F 1 松边拉力为 F 2 且 F 1 2F 2 L 200mm 轴的许用应力 s 160MPa 试用第三强度理论设计轴的直