初三数学解直角三角形专题复习

1 第五讲第五讲 解直角三角形解直角三角形 一 一 知识梳理知识梳理 知识点知识点 1 解直角三角形定义 解直角三角形定义 由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫解直角三角形 知识点知识点 2 解直角三角形的工具 解直角三角形的工具 1 直角三角形边 角之间的关系 直角三角形边 角之间的关系 sinA cosB sinB cosA tanA cotB cotA tanB c a c b b a a b 2 直角三角形三边之间的关系 直角三角形三边之间的关系 勾股定理 222 cba 3 直角三角形锐角之间的关系 直角三角形锐角之间的关系 两锐角互为余角 90BA 知识点知识点 3 解直角三角形的类型 解直角三角形的类型 可以归纳为以下 2 种 1 已知一边和一锐角解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形 2 已知两边解直角三角形 已知两边解直角三角形 知识点知识点 4 解直角三角形应用题的几个名词和素语 解直角三角形应用题的几个名词和素语 1 方位角 方位角 在航海的某些问题中 描述船的航向 或目标对观测点的位置 常用方位角 画方位角时 常以铅直的直 线向上的方向指北 而以水平直线向右的方向为东 而以交点为观测点 2 仰角和俯角 仰角和俯角 在利用测角仪观察目标时 视线在水平线上方和水平线的夹角称为仰角 视线在水平线下 方和水平线的夹角称为俯角 如图 在测量距离 高度时 仰角和俯角常是不可缺少的数 据 3 坡度和坡角 坡度和坡角 在筑坝 修路时 常把坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫作坡度 或坡比 用字母 i 表示 如图 1 则有坡面和水平面的夹角叫作坡角 显然有 l h i tan l h i 这说明坡度是坡角的正切值 坡角越大 坡度也越大 二 二 典型题例典型题例 考点考点 1 解直角三角形 解直角三角形 例例 1 1 在中 为直角 所对的边分别为 ABC C A B C cba 1 已知 求和 2 已知 求 3 b 30 Aac20 a20 bA 2 如图 已知 ABC 中 B 45 C 30 BC 10 AD 是 BC 边上的高 求 AD 的长 3 已知 如图 ABC 中 A 30 AB 6 CD AB 交 AB 延长线于 D CBD 60 求 CD 的长 考点考点 2 解直角三角形的应用 解直角三角形的应用 例例 2 2012 深圳 深圳 小明想测量一棵树的高度 他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上 如图 此时测得地 面上的影长为 8 米 坡面上的影长为 4 米 已知斜坡的坡角为 300 同一时 刻 一根长为 1 米 垂直于地面 放置的标杆在地面上的影长为 2 米 求树的高度 A BC D C AD B 2 例例 3 如图 在 ABC 中 ACB 90 CAB 30 ABD 是等边三角形 将四边形 ACBD 沿直线 EF 折叠 使 D 与 C 重合 CE 与 CF 分别交 AB 于点 G H 1 求证 AEG CHG 2 AEG 与 BHF 是否相似 并说明理由 3 若 BC 1 求 cos CHG 的值 例例 4 4 如图 有一段防洪大堤 其横断面为梯形 ABCD AB DC 斜坡 AD 的坡度 1 1 2 斜坡 BC 的坡度 1 i 1 0 8 大堤顶宽 DC 为 6 米 为了增强抗洪能力 现将大堤加高 加高部分的横断面为梯形 2 i DCFE EF DC 点 E F 分别在 AD BC 的延长线上 当新大堤顶宽 EF 为 3 8 米时 大堤加高了几米 例例 5 08 荆州 载着 点燃激情 传递梦想 的使用 6 月 2 日奥运圣火在古城荆州传递 途经 A B C D 四地 如图 其中 A B C 三地在同一直线上 D 地在 A 地北偏东 45 方向 在 B 地正北方向 在 C 地北偏西 60 方向 C 地在 A 地北偏东 75 方向 B D 两地相距 2km 问 奥运圣火从 A 地传到 D 地的路程大约是多少 最后结果保留整数 参考数据 21 4 31 7 例例 2 如图 ABCD 为正方形 E 为 BC 上一点 将正方形折叠 使 A 点与 E 点重合 折痕为 MN 若 1 求 ANE 的面积 10 3 1 tan CEDCAEN 2 求 sin ENB 的值 三 三 巩固与提高巩固与提高 一 一 填空题 填空题 1 小明是一位善于思考的学生 在一次数学活动课上 他将一副直角三角板如图位置摆放 A B C 在同一 直线上 EF AD A EDF 90 C 45 E 60 量得 DE 8 则 BD 的长是 2 如图 某公园入口处原有三级台阶 每级台阶高为 18cm 深为 30cm 为方便残疾人士 拟将台阶改为斜 坡 设台阶的起点为 A 斜坡的起始点为 C 现设计斜坡 BC 的坡度 则 AC 的长度是 1 5i cm 3 如图 已知 ABC AB AC 1 A 36 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D 则 AD 的长是 cosA 的值是 结果保留根号 A B C D F E H G A B C 北 北 6 0 45 D C A G B D E M N AB 3 C B A 4 如图 在边长相同的小正方形组成的网格中 点 A B C D 都在这些小正方形的顶点 上 AB CD 相交于点 P 则 tan APD 的值是 二 二 解答题 解答题 5 为了解某广告牌的高度 已知 CD 2m 经测量 得到其它数据如图所示 其中 CAH 30 DBH 60 AB 10m 请你根据以上数据计算 GH 的长 1 73 3 要求结果精确到 0 lm 6 施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行 现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离 AB 4 米 斜面距离 BC 4 25 米 斜坡总长 DE 85 米 1 求坡角 D 的度数 结果精确到 1 2 若这段斜坡用厚度为 17 厘米的长方体台阶来铺 需要铺几级台阶 参考数据 cos20 0 94 sin20 0 34 sin18 0 31 cos18 0 95 7 如图 某水库大坝的横断面是等腰梯形 坝顶宽 6 米 坝高 10 米 斜坡 AB 的坡度为 1 2 现要加高 2 米 在坝顶宽度和斜坡坡度均不变的情况下 加固一条长 50 米的大坝 需要多少土方 8 如图 已知某小区的两幢 10 层住宅楼间的距离为 AC 30 m 由地面向上依次为第 1 层 第 2 层 第 10 层 每层高度为 3 m 假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长 EC h 太阳光线与水平线的夹角为 1 用含 的式子表示 h 不必指出 的取值范围 2 当 30 时 甲楼楼顶 B 点的影子落在乙楼的第几层 若 每小时增加 15 从此时起几小时后甲楼 的影子刚好不影响乙楼采光 作业 作业 1 在 Rt ABC 中 C 900 则下列等式中不正确的是 A a csinA B a bcotB C b csinB D B b c cos 2 为测楼房 BC 的高 在距楼房 30 米的 A 处 测得楼顶 B 的仰角为 则楼房 BC 的高为 17cm 第 6 题图 A B C D E F 4 M E N C A A 米 B 米 C 米 D 米30tan 30 tan 30sin 30 sin 3 某人沿倾斜角为 的斜坡走了 100 米 则他上升的高度是 米 4 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD CD AB 7 tanA 2 B D 90 求 BC 的长 5 如图 为了测量某山 AB 的高度 小明先在山脚下 C 点测得山顶 A 的仰角为 45 然后沿坡角为 30 的斜坡 走 100 米到达 D 点 在 D 点测得山顶 A 的仰角为 30 求山 AB 的高度 参考数据 1 73 3 6 如图 某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米 高 10 米 背水坡的坡角为 45 的防洪大堤 横断面为梯形 ABCD 急需加固 经调查论证 防洪指挥部专家组制定的加固方案是 沿背水坡面用土石进行加固 并使上底 加宽 3 米 加固后背水坡 EF 的坡比 i 1 1 求加固后坝底增加的宽度 AF 3 2 求完成这项工程需要土石多少立方米 结果保留根号 7 我国为了维护队钓鱼岛 P 的主权 决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航 在一次巡航中 轮船和飞机的航 向相同 AP BD 当轮船航行到距钓鱼岛 20km 的 A 处时 飞机在 B 处测得轮船的俯角是 45 当轮船航行到 C 处时 飞机在轮船正上方的 E 处 此时 EC 5km 轮船到达钓鱼岛 P 时 测得 D 处的飞机的仰角为 30 试 求飞机的飞行距离 BD 结果保留根号 8 如图 某公路 路基横断面为等腰梯形 按工程设计要求路面宽度为 10 米 坡角为 路基高度为 5 8 米 求路基下底宽 精确 到 0 1 米 9 为申办 2010 年冬奥会 须改变哈尔滨市的交通状况 在大直街拓宽工程中 要伐掉一棵树 AB 在地面上 事先划定以 B 为圆心 半径与 AB 等长的圆形危险区 60 30 BD C A DC BA 55 5 8m 10m A B C D 55 5 现在某工人站在离 B 点 3 米远的 D 处 从 C 点测得树的顶端 A 点的仰角为 60 树的底部 B 点的俯角为 30 问 距离 B 点 8 米远的保护物是否在危险区内 10 如图 某一 水库大坝的横断面是梯形 ABCD 坝顶宽 CD 5 米 斜坡 AD 16 米 坝高 6 米 斜坡 BC 的坡度 求斜坡 AD 的坡角 A 精确到 1 分 和坝底宽 AB 精确到 0 1 米 11 在一次实践活动中 某课题学习小组用测倾器 皮尺测量旗杆的高度 他们设计了如下的方案 如图 1 所 示 1 在测点 A 处安置测倾器 测得旗杆顶部 M 的仰角 MCE 2 量出测点 A 到旗杆底部 N 的水平距离 AN m 3 量出测倾器的高度 AC h 根据上述测量数据 即可求出旗杆的高度 MN 如果测量工具不变 请参照上述过程 重新设计一个方案测量某小山高度 如图 2 1 在图 2 中 画出你测量小山高度 MN 的示意图 2 写出你的设计方案 12 如图 在 ABC 中 C 90 AC 5cm BAC 的平分线交 BC 于 D AD cm 求 B AB BC 10 3 3 13 如图 小方在五月一日假期中到郊外放风筝 风筝飞到 C 处时的线长为 20 米 此时小方正好站在 A 处 并测得 CBD 60 牵引底端 B 离地面 1 5 米 求此时风筝离地面的高度 结果精确到个位 14 如图 广安市防洪指挥部发现渠江边一处长 400 米 高 8 米 背水坡的坡角为 45 的防洪大堤 横截面为 梯形 ABCD 急需加固 经调查论证 防洪指挥部专家组制定的加固方案是 背水坡面用土石进行加固 并使 上底加宽 2 米 加固后 背水坡 EF 的坡比 i 1 2 1 求加固后坝底增加的宽度 AF 的长 2 求完成这项工程需要土石多少立方米 15 某船向正东航行 在 A 处望见灯塔 C 在东北方向 前进到 B 处望见灯塔 C 在北偏西 30o 又航行了半小时 3 1 i 6 到 D 处 望灯塔 C 恰在西北方向 若船速为每小时 20 海里 求 A D 两点 间的距离 结果不取近似值 16 北方向 10 海里处的 A 点有一涉嫌走私