大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第 1 章 函 数 0 第第 1 1 章章 函函 数数 1 1 1 1 函数的概念与性质函数的概念与性质 1 1 绝对值与不等式绝对值与不等式 0 a0b 1 xxx xyxyxy 2 调和平均值几何平均值算术平均值 2 11 2 ab ab ab 一般地 12 12 12 111 n n n n xxxn x xx n xxx 3 max 22 abab a b min 22 abab a b 2 2 函数概念与性质函数概念与性质 对变量的每一个确定值 变量按某确定规则 都有且只有一确定值与之对Dx yf 应 则称变量是变量的函数 记为 yx yf x Dx 注意 定义域和对应规则是函数相等的两要素 Df 1 无关性 yf xf t Dtx 2 单调性 1212 x xI xx 12 12 f xf xf x f xf xf x 单调递增 单调递减 12 12 f xf xf x f xf xf x 严格单增 严格单减 3 奇偶性 fxf xf xy fxf xf x 为偶函数 对称于轴 为奇函数 对称于原点 注意 函数的奇偶性是相对于对称区间而言 若定义域关于原点不对称 则不是奇 偶函数 4 周期性 若 则称为的周期 f xTf x 0T xf 5 有界性 若 则称在上有界 Dx Mxf 0 M xfD 常用有界函数 sin1x cos1x 第 1 章 函 数 1 arcsin 2 x arccosx 1 1 arctan 2 x arccot x 3 3 复合函数复合函数 设的定义域为 的值域为 且 空集 则 ufy f D xu Z ZDf 称为的复合函数 xfy x 4 4 反函数反函数 设 1 ff ff yf xDZ yfxZD 定义域为值域为 定义域为值域为 注意 正反函数的图形对称于直线 严格单调函数必有反函数 xy 1 ffxx f xf xZ 的 1 ff xx f xf xD 的 5 5 初等函数初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的 并能用一个解析式表示 的函数称为初等函数 基本初等函数 幂函数 为实数 指数函数 对 xy x ay 0 a1 a 数函数 三角函数 xy a log 0 a1 axysin 反三角函数 xcosxtanxcotxsecxcscxyarcsin xarccosxarctan xarccot 分段函数与幂指函数分段函数与幂指函数 分段函数一般不属于初等函数 因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示 幂指函数一般不属于初等函数 因为它无法用初等函数复合而成 但若规定 x yx 则 是初等函数 0 x lnxxx yxe 1 2 1 2 典型例题解析典型例题解析 例例 3 3 已知不等式 用区间表示不等式的解集211xx 分析分析 解此不等式应先去掉绝对值符号 由于 分别为 的 1 2 x 1x 21x 1x 零值点 于是将区间划分为 再考虑各小区间的取值范围 1 2 1 1 2 1 x 及端点 最后综合得出结论 第 1 章 函 数 2 解法解法 1 1 1 211 2 1 211211 1 2 211 1 xx xxxx xx 1 2 2 1 0 1 2 2 1 x x x 2 0 x 解法解法 2 2 22 21 1 xx 2 0 x x 2 0 x 1 1 函数定义域的求法函数定义域的求法 解题思路解题思路 1 分式的分母 对数的真数 偶次方根下的表达式 反正弦 反余弦0 0 0 号内的表达式绝对值 1 2 复合函数的定义域简单函数的定义域所构成的不等式组的解集 例例 4 4 求下列函数的定义域 1 2 1 lg 2 1 arcsin 434 xx y xx 解解 2 1 1 4 1 lg 2 0 20 340 x x x xx 35 12 2 1 4 x x x xx 2 4 4 5 2 已知的定义域是 试求 的定义域 f x 0 1 f xaf xa 0 a 解解 的定义域 f xa 01xa 1axa 的定义域 f xa 01xa 1axa 的定义域 f xaf xa 1 1xaaaa 当 时 定义域为空集 当 时 定义域为 1 aa 1 2 a 1 aa 1 2 a 1aa 故取交集定义域为 1aa 2 2 函数解析式的求法函数解析式的求法 解题思路解题思路 1 将已知变量凑成与内的中间变量一致的形式 利用函数的无关特性求解 f 2 对内作变量代换 再利用无关特性与原方程联立求解 f 第 1 章 函 数 3 3 由的表达式求的一般方法是令 从中解出 fx xf ux 1 xu 将其代入中可得 fx f u 例例 5 5 求下列函数解析式 2 已知 求 x x bfxafsin 1 ab xf 解解 令代入原式得 则 x t 1 11 sin bf taf tt 1 sin 11 sin af xbfx x bf xaf xx 1 sinsin 1 22 x bxa ba xf 3 已知 求 4 11 lnln 1 2 f xxx x xf 解法解法 1 1 2 4 4 22 2 1111111 lnln 1 lnlnln 11 22122 2 x f xxx xx xx xx 令 则 1 xt x 2 11 ln 22 f t t 2 11 ln 22 f x x 解法解法 2 2 将换成 得 和原式相加得x 1 x 4 111 lnln 1 2 f xx xx 4 4 1111 2 ln 1 ln 1 22 f xx xx 222 2 11111 ln ln 2 42 f xxx xxx 令 则 1 xt x 2 11 ln 22 f t t 2 11 ln 22 f x x 例例 6 6 求下列函数解析式 1 已知 的定义域为 且 求 2 2 1 ln 1 x fx x x 0 x x fxe x 解解 令 且 则lnux 22u xe 2 2 1 1 u u e f u e x fxe 2 2 1 1 x x x e e e 2 1 1 x x x e e e 11 ln 21 x x e x e 0 x 2 已知 求 11 ln ln01 xx fx xx xf 第 1 章 函 数 4 解解 令 则lnux u xe 110 010 uu u eeu f u ueu 10 0 x ex f x xx 3 3 利用定义确定函数的有关特性利用定义确定函数的有关特性 解题思路解题思路 1 若 则为奇函数 0f xfx f x 2 若是的周期 则的周期为 若 分别是以 T f x baxf Ta f x g x 1 T 为周期的函数 则的周期为 的最小公倍数 2 T 12 TT f xg x 1 T 2 T 3 将函数取绝对值 由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性 4 若 且 则可确定单增性 12 xx 21 0f xf x 21 1f xf x f x 例例 7 7 设 求 的奇偶 yFxFyxF 1 1 2 1 x a xFy 0 1 aa 性 解解 设 1 2 1 1 1 2 1 x x x a a a xg 11 2 1 2 1 xx xx aa gxg x aa 由于 分别令 得 yFxFyxF 0 yxy 0 0 F 0 0F xFxF xFxF 即为奇函数 故为偶函数 xF 1 1 2 1 x a xFy 例例 8 8 设在上有定义 证明 可表示为一个奇函数与一个 f x a a 0 a f x 偶函数的和 且表示法唯一 分析分析 若 则有 xx xx f xxx 由此引入辅助函数 fxxx 证证 设 1 2 xf xfx 1 2 xf xfx 11 22 xfxf xf xfxx 11 22 xfxf xfxf xx 故为偶函数 为奇函数 且 x x 第 1 章 函 数 5 11 22 xxf xfxf xfxf x 唯一性 设另有偶函数及奇函数使得 则 1 x 1 x 11 f xxx 11 11 xxxx xxxx 11 11 xxxx xxxx 解得 即表示法唯一 1 xx 1 xx 例例 9 9 证明下列函数为周期函数 并求其最小正周期证明下列函数为周期函数 并求其最小正周期 1 sin 23 f xx 解法解法 1 1 由于的周期为 故所求周期为sin x2 2 2 T 解法解法 2 2 sin 23 sin 232 sin 2 3 f xxxxf x T 2 sincosyxx 解解 sin cos cossin 222 f xxxxxf x 2 T 例例 1111 设在上有定义 证明 f x 1 若的图形关于直线对称 则 yf x xa 0 a f xaf ax 2 若的图形关于直线 对称 则是周期的偶函数 yf x 1x 2x f x 分析分析 1 若的图形关于直线对称点为与 则 yf x xa x y x y 2xax yy 2 f xfax 反之 若 则关于直线对称 2 faxf x yf x xa 证证 1 必要性 有 则xR 2 f xfax 2 f xafaxaf ax 充分性 若 有 则xR f xaf ax 2 f xf axaf axafax 2 由题设知 则 1 1 f xfx 2 2 f xfx 第 1 章 函 数 6 1 1 1 1 2 2 f xfxfxfxf x 1 1 1 1 2 fxfxfxfxf x 故是以 2 为周期的偶函数 f x 例例 1212 判断下列函数的有界性 1 2 221 222 x y xx 解解 由 有 则 22 2abab 22 22 1 12 1 xxxx 22 22222 1 1 22 1 12 1 xxx xxxx 2 32211 22222 x xx 2 2213 2222 x xx 例例 1313 设 证明 1 0 0 1 若是的单减函数 则 f x 0 f xfxfx 2 若是的单减函数 则 f x x 0 f xfxfx 3 f abf af b 0 0ab 证证 1 由题设知 01 01 xx xx 0 x 由于单减 有 则 f x fxf x fxf x fxfxf xf xf x 2 由于单减 有 则 f x x fxf x xx fxf x xx fxf x fxf x fxfxf x 3 令 则xab a ab b ab f af bf ab 例例 1414 求下列函数的反函数 分析 分析 求分段函数的反函数 要注意的不同取值范围对应原来函数的值域x 第 1 章 函 数 7 2 21 2 3 1 10 1 2 1 2 xx xx y 解解 当时 的值域为10 x 1 2 1 2 xy 1 2 1 y 12 yx 当时 的值域为21 x 2 3 1 xy 3 4 1 y 23 yx 故 1 211 2 4 321 3 yy x yy 3 4 123 1 2 1 1