【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：-数列的综合应用

1 9 第五节 数列的综合应用 时间 45 分钟 分值 75 分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 各项都是正数的等比数列 an 中 a2 a3 a1成等差数列 1 2 则的值为 a4 a5 a3 a4 A B 5 1 2 5 1 2 C D 或 1 5 2 5 1 2 5 1 2 解析 设 an 的公比为 q q 0 由 a3 a2 a1 得 q2 q 1 0 解得 q 而 q 1 5 2 a4 a5 a3 a4 1 5 2 答案 B 2 据科学计算 运载 神舟 的 长征 二号系列火箭在点火 后第一秒钟通过的路程为 2 km 以后每秒钟通过的路程增加 2 km 在到达离地面 240 km 的高度时 火箭与飞船分离 则这一过程需要 的时间是 A 10 秒钟 B 13 秒钟 C 15 秒钟 D 20 秒钟 解析 设每一秒钟通过的路程依次为 a1 a2 a3 an则数列 an 是首项 a1 2 公差 d 2 的等差数列 由求和公式有 na1 240 即 2n n n 1 240 解得 n 15 n n 1 d 2 答案 C 2 9 3 设函数 f x xm ax 的导函数 f x 2x 1 则数列 n N 的前 n 项和是 1 f n A B n n 1 n 2 n 1 C D n n 1 n 1 n 解析 由 f x mxm 1 a 2x 1 得 m 2 a 1 f x x2 x 则 1 f n 1 n n 1 1 n 1 n 1 Sn 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n n 1 答案 A 4 已知数列 an 的通项公式为 an log2 n N 设其前 n n 1 n 2 项和为 Sn 则使 Sn 5 成立的自然数 n A 有最小值 63 B 有最大值 63 C 有最小值 31 D 有最大值 31 解析 an log2 log2 n 1 log2 n 2 n 1 n 2 Sn a1 a2 an log22 log23 log23 log24 log2 n 1 log2 n 2 1 log2 n 2 由 Sn6 即 n 2 64 n 62 n 有最小值 63 答案 A 3 9 5 已知数列 an bn 满足 a1 1 且 an an 1是函数 f x x2 bnx 2n的两个零点 则 b10等于 A 24 B 32 C 48 D 64 解析 依题意有 anan 1 2n 所以 an 1an 2 2n 1 两式相除 得 2 所以 a1 a3 a5 成等比数列 an 2 an a2 a4 a6 成等比数列 而 a1 1 a2 2 所以 a10 2 24 32 a11 1 25 32 又因为 an an 1 bn 所以 b10 a10 a11 64 答案 D 6 抛物线 y n2 n x2 2n 1 x 1 与 x 轴交点分别为 An Bn n N 以 AnBn 表示该两点的距离 则 A1B1 A2B2 A2 010B2 010 的值是 A B 2 009 2 010 2 010 2 011 C D 2 011 2 012 2 012 2 013 解析 令 y 0 则 n2 n x2 2n 1 x 1 0 设两根分别为 x1 x2 则 x1 x2 x1x2 2n 1 n2 n 1 n2 n 解得 x1 x2 1 n 1 n 1 AnBn 1 n 1 n 1 A1B1 A2B2 AnBn 1 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 4 9 1 n 1 n n 1 A1B1 A2B2 A2 010B2 010 2 010 2 011 答案 B 二 填空题 本大题共 3 小题 每小题 5 分 共 15 分 7 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 则该数列 1 an 前 26 项的和为 解析 由于 a1 1 a2 2 an 2 1 an 所以 a3 1 a4 a5 1 a6 2 1 2 所以 an 是周期为 4 的数列 故 S26 6 1 2 10 1 2 1 1 2 答案 10 8 已知数列 an 满足 a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 an n 解析 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 n 1 n 2 1 33 33 n2 n 所以 n 1 an n 33 n 设 f x x 1 则 f x 1 33 x 33 x2 令 f x 0 得 x 或 x 53 5 63 6 21 2 53 5 21 2 所以的最小值为 an n 21 2 答案 21 2 9 2013 安徽卷 如图 互不相同的点 A1 A2 An 和 B1 B2 Bn 分别在角 O 的两条边上 所有 AnBn相互平行 且所有梯形 AnBnBn 1An 1的面积均相等 设 OAn an 若 a1 1 a2 2 则数列 an 的通项公式是 解析 A1B1 A2B2 A3B3 AnBn 不妨设 A1A2 A2A3 B1B2 B2B3 OA1 OB1 OA2 OB2 OA3 OB3 OAn OBn 梯形 A1A2B2B1 A2A3B3B2 An 1AnBnBn 1的面积均为 S O 梯形 A1A2B2B1的面积为 S 则 S a sin a sin 22sin 12sin sin 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 梯形 A2A3B3B2的面积 6 9 S a sin a sin sin 1 2 2 3 1 2 2 2 3 2 可解得 a3 同理 a4 故 an 7103n 2 答案 an 3n 2 三 解答题 本大题共 3 小题 每小题 10 分 共 30 分 10 已知二次函数 f x ax2 bx 的图象过点 4n 0 且 f 0 2n n N 1 求 f x 的解析式 2 若数列 an 满足 f 且 a1 4 求数列 an 的通 1 an 1 1 an 项公式 解 1 由 f x 2ax b Error 解之得 a b 2n 即 f x x2 2nx n N 1 2 1 2 2 由 2n 2n 1 an 1 1 an 1 an 1 1 an 由累加得 n2 n an n N 1 an 1 4 4 2n 1 2 11 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M M 的价值在使用过程中逐年减少 从第 2 年到第 6 年 每年初 M 的价 值比上年初减少 10 万元 从第 7 年开始 每年初 M 的价值为上年 初的 75 1 求第 n 年初 M 的价值 an的表达式 2 设 An 若 An大于 80 万元 则 M 继续使用 a1 a2 an n 否则须在第 n 年初对 M 更新 证明 须在第 9 年初对 M 更新 7 9 解 1 当 n 6 时 数列 an 是首项为 120 公差为 10 的等差 数列 an 120 10 n 1 130 10n 当 n 6 时 数列 an 是以 a6为首项 公比为 的等比数列 又 3 4 a6 70 所以 an 70 n 6 3 4 因此 第 n 年初 M 的价值 an的表达式为 an Error 2 设 Sn表示数列 an 的前 n 项和 由等差及等比数列的求和公 式得 当 1 n 6 时 Sn 120n 5n n 1 An 120 5 n 1 125 5n 当 n 7 时 由于 S6 570 故 Sn S6 a7 a8 an 570 70 4 3 4 1 3 4 n 6 780 210 n 6 3 4 An 780 210 3 4 n 6 n 因为 an 是递减数列 所以 An 是递减数列 又 A8 82 80 780 210 3 4 2 8 47 64 8 9 A9 76 80 780 210 3 4 3 9 79 96 所以须在第 9 年初对 M 更新 12 设不等式组Error 所表示的平面区域为 Dn 记 Dn内的整点 个数为 an n N 整点即横坐标和纵坐标均为整数的点 1 求数列 an 的通项公式 2 记数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Tn 若对于一切的 Sn 3 2n 1 正整数 n 总有 Tn m 求实数 m 的取值范围 解 1 由 x 0 y 0 3n nx 0 得 0 x 3 x 1 或 x 2 Dn内的整点在直线 x 1 和 x 2 上 记直线 y nx 3n 为 l l 与直线 x 1 x 2 的交点的纵坐标分 别为 y1